Публикуем задачи первого тура кубка Колмогорова. Обсудить их вы можете в комментариях👇
Задача. Внутри остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 60°, выбирается переменная точка 𝑃 так, что ∠𝐵𝑃𝐶 = 120°. Точки 𝑃₂, 𝑃₃ симметричны точке 𝑃 относительно сторон 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 соответственно. Прямые 𝐵𝑃₂, 𝐶𝑃₃ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 проходит через точку, отличную от 𝐴 и не зависящую от выбора 𝑃.
Публикуем задачи первого тура кубка Колмогорова. Обсудить их вы можете в комментариях👇
Задача. Внутри остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 60°, выбирается переменная точка 𝑃 так, что ∠𝐵𝑃𝐶 = 120°. Точки 𝑃₂, 𝑃₃ симметричны точке 𝑃 относительно сторон 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 соответственно. Прямые 𝐵𝑃₂, 𝐶𝑃₃ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 проходит через точку, отличную от 𝐴 и не зависящую от выбора 𝑃.
The picture was mixed overseas. Hong Kong’s Hang Seng Index fell 1.6%, under pressure from U.S. regulatory scrutiny on New York-listed Chinese companies. Stocks were more buoyant in Europe, where Frankfurt’s DAX surged 1.4%. A Russian Telegram channel with over 700,000 followers is spreading disinformation about Russia's invasion of Ukraine under the guise of providing "objective information" and fact-checking fake news. Its influence extends beyond the platform, with major Russian publications, government officials, and journalists citing the page's posts. Stocks dropped on Friday afternoon, as gains made earlier in the day on hopes for diplomatic progress between Russia and Ukraine turned to losses. Technology stocks were hit particularly hard by higher bond yields. The Dow Jones Industrial Average fell 230 points, or 0.7%. Meanwhile, the S&P 500 and the Nasdaq Composite dropped 1.3% and 2.2%, respectively. All three indexes began the day with gains before selling off. Meanwhile, a completely redesigned attachment menu appears when sending multiple photos or vides. Users can tap "X selected" (X being the number of items) at the top of the panel to preview how the album will look in the chat when it's sent, as well as rearrange or remove selected media.
from ar
