В основе очень многих математических утверждений лежит идея, называемая принципом Дирихле. Его формулировка кажется очевидной: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой находится не менее ᶻ /ₖ зайцев». Доказательство принципа Дирихле строится от противного. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем ᶻ /ₖ . Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k · ᶻ /ₖ = z. Противоречие!
Рассмотрим применение принципа Дирихле на примерах.
Задача 1. Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседние одноцветные грани. Решение. Рассмотрим три грани куба, имеющие общую вершину. Назовём их «зайцами», а данные цвета — «клетками». По принципу Дирихле найдутся две грани, окрашенные в один цвет. Они и будут соседними.
Задача 2. Имеется 37 конфет 4 сортов. Верно ли, что не менее 10 из них будут какого-то одного сорта? Решение. Назовём «клетками» сорта конфет, а «зайцами» — сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 37/4 «зайцев». Так как 9 < 37/4 < 10, то найдется 10 конфет одного сорта.
Задача 3. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок. Решение. Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трёх дырок.
Задача 4. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании). Решение. Пусть в компании n человек. Тогда количество друзей для одного человека из компании может принимать n различных значений: 0, 1, 2, ..., n – 1. Казалось бы, принцип Дирихле не работает: у нас имеется n человек и n различных возможностей на количество друзей. Однако, если есть человек, имеющий n – 1 друга, то он дружит со всеми, следовательно, нет человека, который имеет 0 друзей. Противоречие.
В основе очень многих математических утверждений лежит идея, называемая принципом Дирихле. Его формулировка кажется очевидной: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой находится не менее ᶻ /ₖ зайцев». Доказательство принципа Дирихле строится от противного. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем ᶻ /ₖ . Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k · ᶻ /ₖ = z. Противоречие!
Рассмотрим применение принципа Дирихле на примерах.
Задача 1. Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседние одноцветные грани. Решение. Рассмотрим три грани куба, имеющие общую вершину. Назовём их «зайцами», а данные цвета — «клетками». По принципу Дирихле найдутся две грани, окрашенные в один цвет. Они и будут соседними.
Задача 2. Имеется 37 конфет 4 сортов. Верно ли, что не менее 10 из них будут какого-то одного сорта? Решение. Назовём «клетками» сорта конфет, а «зайцами» — сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 37/4 «зайцев». Так как 9 < 37/4 < 10, то найдется 10 конфет одного сорта.
Задача 3. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок. Решение. Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трёх дырок.
Задача 4. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании). Решение. Пусть в компании n человек. Тогда количество друзей для одного человека из компании может принимать n различных значений: 0, 1, 2, ..., n – 1. Казалось бы, принцип Дирихле не работает: у нас имеется n человек и n различных возможностей на количество друзей. Однако, если есть человек, имеющий n – 1 друга, то он дружит со всеми, следовательно, нет человека, который имеет 0 друзей. Противоречие.
Telegram has become more interventionist over time, and has steadily increased its efforts to shut down these accounts. But this has also meant that the company has also engaged with lawmakers more generally, although it maintains that it doesn’t do so willingly. For instance, in September 2021, Telegram reportedly blocked a chat bot in support of (Putin critic) Alexei Navalny during Russia’s most recent parliamentary elections. Pavel Durov was quoted at the time saying that the company was obliged to follow a “legitimate” law of the land. He added that as Apple and Google both follow the law, to violate it would give both platforms a reason to boot the messenger from its stores. In the past, it was noticed that through bulk SMSes, investors were induced to invest in or purchase the stocks of certain listed companies. "There are a lot of things that Telegram could have been doing this whole time. And they know exactly what they are and they've chosen not to do them. That's why I don't trust them," she said. Telegram has gained a reputation as the “secure” communications app in the post-Soviet states, but whenever you make choices about your digital security, it’s important to start by asking yourself, “What exactly am I securing? And who am I securing it from?” These questions should inform your decisions about whether you are using the right tool or platform for your digital security needs. Telegram is certainly not the most secure messaging app on the market right now. Its security model requires users to place a great deal of trust in Telegram’s ability to protect user data. For some users, this may be good enough for now. For others, it may be wiser to move to a different platform for certain kinds of high-risk communications. The SC urges the public to refer to the SC’s I nvestor Alert List before investing. The list contains details of unauthorised websites, investment products, companies and individuals. Members of the public who suspect that they have been approached by unauthorised firms or individuals offering schemes that promise unrealistic returns
from ar
