над любым кольцом оказывается верно! у Лемэра записано над полем, наверно и доказательство обобщается, но проще передоказать.
Например, пункт (1): индукция по размерности. Пусть в размерностях <n доказали, что сюръективен. Возьмём элемент b∈B степени n. Он задаёт элемент [b]∈Tor^B_1, в который переходит какой-то [a]∈Tor^A_1. То есть b=f(a)+ разложимый элемент. Но разложимый элемент в связной градуированной алгебре — это многочлен от элементов меньших степеней! Они лежат в Im(f) по предположению индукции. Поэтому b∈Im(f). Сюръективность доказана.
Пункт (2) на первый взгляд поинтереснее, но там тоже лобовое рассуждение. Используем бар-конструкцию, чтобы вычислить Tor_2. Элементы k-модуля (I(B)⊗I(B)⊗I(B))_n связаны с B_{<n}; по предположению индукции, в этих градуировках всё биективно
над любым кольцом оказывается верно! у Лемэра записано над полем, наверно и доказательство обобщается, но проще передоказать.
Например, пункт (1): индукция по размерности. Пусть в размерностях <n доказали, что сюръективен. Возьмём элемент b∈B степени n. Он задаёт элемент [b]∈Tor^B_1, в который переходит какой-то [a]∈Tor^A_1. То есть b=f(a)+ разложимый элемент. Но разложимый элемент в связной градуированной алгебре — это многочлен от элементов меньших степеней! Они лежат в Im(f) по предположению индукции. Поэтому b∈Im(f). Сюръективность доказана.
Пункт (2) на первый взгляд поинтереснее, но там тоже лобовое рассуждение. Используем бар-конструкцию, чтобы вычислить Tor_2. Элементы k-модуля (I(B)⊗I(B)⊗I(B))_n связаны с B_{<n}; по предположению индукции, в этих градуировках всё биективно
"Russians are really disconnected from the reality of what happening to their country," Andrey said. "So Telegram has become essential for understanding what's going on to the Russian-speaking world." Telegram has gained a reputation as the “secure” communications app in the post-Soviet states, but whenever you make choices about your digital security, it’s important to start by asking yourself, “What exactly am I securing? And who am I securing it from?” These questions should inform your decisions about whether you are using the right tool or platform for your digital security needs. Telegram is certainly not the most secure messaging app on the market right now. Its security model requires users to place a great deal of trust in Telegram’s ability to protect user data. For some users, this may be good enough for now. For others, it may be wiser to move to a different platform for certain kinds of high-risk communications. In this regard, Sebi collaborated with the Telecom Regulatory Authority of India (TRAI) to reduce the vulnerability of the securities market to manipulation through misuse of mass communication medium like bulk SMS. Russians and Ukrainians are both prolific users of Telegram. They rely on the app for channels that act as newsfeeds, group chats (both public and private), and one-to-one communication. Since the Russian invasion of Ukraine, Telegram has remained an important lifeline for both Russians and Ukrainians, as a way of staying aware of the latest news and keeping in touch with loved ones. What distinguishes the app from competitors is its use of what's known as channels: Public or private feeds of photos and videos that can be set up by one person or an organization. The channels have become popular with on-the-ground journalists, aid workers and Ukrainian President Volodymyr Zelenskyy, who broadcasts on a Telegram channel. The channels can be followed by an unlimited number of people. Unlike Facebook, Twitter and other popular social networks, there is no advertising on Telegram and the flow of information is not driven by an algorithm.
from ar
