Рассмотрим набор окружностей на плоскости, как справа на картинке. Построим граф, где вершины отвечают окружностям, а ребро проводим, если соответствующие окружности касаются. Понятно, что получится планарный граф (см. слева).
Красивейшая теорема: (Кёбе, Андреев, Тёрстон...) любой планарный граф может быть так реализован.
Красивейшее следствие (Липтон-Тарьян): из любого планарного графа на n вершинах можно так выкинуть порядка sqrt(n) вершин, что граф распадётся на (хотя бы две) компоненты, в каждой из которых не более 3n/4 вершин.
Рассмотрим набор окружностей на плоскости, как справа на картинке. Построим граф, где вершины отвечают окружностям, а ребро проводим, если соответствующие окружности касаются. Понятно, что получится планарный граф (см. слева).
Красивейшая теорема: (Кёбе, Андреев, Тёрстон...) любой планарный граф может быть так реализован.
Красивейшее следствие (Липтон-Тарьян): из любого планарного графа на n вершинах можно так выкинуть порядка sqrt(n) вершин, что граф распадётся на (хотя бы две) компоненты, в каждой из которых не более 3n/4 вершин.
The last couple days have exemplified that uncertainty. On Thursday, news emerged that talks in Turkey between the Russia and Ukraine yielded no positive result. But on Friday, Reuters reported that Russian President Vladimir Putin said there had been some “positive shifts” in talks between the two sides. After fleeing Russia, the brothers founded Telegram as a way to communicate outside the Kremlin's orbit. They now run it from Dubai, and Pavel Durov says it has more than 500 million monthly active users. Individual messages can be fully encrypted. But the user has to turn on that function. It's not automatic, as it is on Signal and WhatsApp. Asked about its stance on disinformation, Telegram spokesperson Remi Vaughn told AFP: "As noted by our CEO, the sheer volume of information being shared on channels makes it extremely difficult to verify, so it's important that users double-check what they read." Now safely in France with his spouse and three of his children, Kliuchnikov scrolls through Telegram to learn about the devastation happening in his home country.
from ar
