Еще одна задача, которую я обожаю. Она красивая, средняя по сложности и имеет просто миллиард самых разных решений, среди которых хочу отметить такое, на мой взгляд, самое изящное: повороты
В остроугольном неравнобедренном треугольнике АВС с наименьшей
стороной ВС отмечены ортоцентр Н и центр описанной окружности O. Окружность (АНС) пересекает отрезок АВ в точках А и Х, окружность (АНВ) пересекает отрезок АС в точках A и Y.
(!) Центр S окружности (XHY) лежит на прямой ОН
В остроугольном неравнобедренном треугольнике АВС с наименьшей
стороной ВС отмечены ортоцентр Н и центр описанной окружности O. Окружность (АНС) пересекает отрезок АВ в точках А и Х, окружность (АНВ) пересекает отрезок АС в точках A и Y.
(!) Центр S окружности (XHY) лежит на прямой ОН
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Утренняя разминка
В четырёхугольнике ABCD ∠A = 90⁰, ∠B = 91⁰. Известно, что BC = AD. Пусть серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются в точке Х.
(!) ∠AXB = ?
(картинка в комментариях)
В четырёхугольнике ABCD ∠A = 90⁰, ∠B = 91⁰. Известно, что BC = AD. Пусть серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются в точке Х.
(!) ∠AXB = ?
(картинка в комментариях)
Утренняя заминка
Дан треугольник ABC. На прямых AB, AC выбраны такие точки K и L соответственно, что AL = BL, AK = CK. Биссектрисы углов LBC и KCB пересекаются в точке Ja. Пусть O, I - центр (ABC) и инцентр треугольника ABC соответственно.
(!) Ja, O, I лежат на одной прямой
Следствие. Аналогично определим Jb, Jc. Тогда Ja, Jb, Jc коллинеарны (и лежат на OI). Отдельно это утверждение весьма нетривиально, и доказывается при помощи обобщенной теоремы Наполеона
Дан треугольник ABC. На прямых AB, AC выбраны такие точки K и L соответственно, что AL = BL, AK = CK. Биссектрисы углов LBC и KCB пересекаются в точке Ja. Пусть O, I - центр (ABC) и инцентр треугольника ABC соответственно.
(!) Ja, O, I лежат на одной прямой
Следствие. Аналогично определим Jb, Jc. Тогда Ja, Jb, Jc коллинеарны (и лежат на OI). Отдельно это утверждение весьма нетривиально, и доказывается при помощи обобщенной теоремы Наполеона
Две похожие задачи с немного похожими решениями
1. (Ол ЮМШ 2024 10-11) Три треугольника таковы, что второй вписан в первый, третий вписан во второй и гомотетичен первому.
(!) Если описанные окружности первого и второго касаются, то и описанные окружности второго и третьего тоже касаются
2. Три треугольника таковы, что второй – педальный треугольник некоторой точки относительно первого, а третий – педальный треугольник той же точки относительной второго.
(!) То же, что и в первой задаче
upd.Вторая задача является следствием первой, но есть красивое решение, работающие только для второй задачи
1. (Ол ЮМШ 2024 10-11) Три треугольника таковы, что второй вписан в первый, третий вписан во второй и гомотетичен первому.
(!) Если описанные окружности первого и второго касаются, то и описанные окружности второго и третьего тоже касаются
2. Три треугольника таковы, что второй – педальный треугольник некоторой точки относительно первого, а третий – педальный треугольник той же точки относительной второго.
(!) То же, что и в первой задаче
upd.
Мои_листочки.pdf
139 KB
Сегодня проводил пару интенсива к региону для девятиков. Несмотря на то, что это 9 класс, на мой взгляд, листик очень тяжелый. Думаю, даже для продвинутых в геоме он потребует хотя бы 2 часа для полного прорешивания...
Еще хочу обратить внимание, что 8 задача – пятерка рега прошлого года 9 класса, у которой я нашел решение, подходящее под тему листка, и которого нет в официальных...
Еще хочу обратить внимание, что 8 задача – пятерка рега прошлого года 9 класса, у которой я нашел решение, подходящее под тему листка, и которого нет в официальных...
Небольшая подборка задач на теорему Пифагора и формулу Стюарта