Задача с тренировочной работы кружка в хамовниках

Оказалось, что ортоцентр лежит на прямой, соединяющей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.
(!) H, I, M на одной прямой

Мне понравилась задача, а ещё она всплывала тут https://www.group-telegram.com/zadacha_dna/251

Всем кто зарегистрировался напоминаю.
Завтра по адресу ул. Солянка 14А пройдёт великая межгалактическая устная олимпиада по геометрии
Начало в 10:00
С собой ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно взять паспорт/свидетельство о рождении и письменные принадлежности
Картинка для привлечения внимания

Счастливые люди, особенно Стас с липтоном)
Всем спасибо, что пришли!

К окружности с центром в точке О и радиусом, меньшим радиуса описанной окружности АВС, провели касательную и рассмотрели её образ при изогональном сопряжении - гиперболу.

(!) Угол между асимптотами полученной гиперболы не зависит выбора касательной

При нулевом радиусе окружности утверждение будет звучать так:
Гипербола, изогонально сопряженная прямой, проходящей через О - равнобокая

И ещё немного в тему равнобоких гипербол.

По-моему, прикольное решение задачи https://www.group-telegram.com/zadacha_dna/410

Добрая задача! Немного удивился, когда придумал сегодня утром но выглядит как баян.

Утренняя разминка

Точка L- основание биссектрисы угла C треугольника ABC. На отрезке AB как на диаметре построена окружность Г, причём плоскость, в которой она лежит, перпендикулярна плоскости (АВС). Через L проведена произвольная хорда DE окружности Г.
(!) CL- биссектриса угла DCE.

Нестереометрическая утренняя разминка

Окружности пересекаются в точке А. Прямая l, проходящая через А, вторично пересекает окружности в точках P и Q. Постройте циркулем и линейкой прямую l так, что
а) PQ имеет максимальную длину из всех возможных
б) AP×AQ имеет максимальную величину из всех возможных

Пункты независимы

Ночная разминка

Вписанная окружность ω с центром I касается стороны BC в точке D. Оказалось, что отрезок AD бьётся окружностью ω пополам.
(!) Окружность (BIM) касается BC

Выбрали произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности треугольника АВС в точке А. Из точек B и C проведены касательные BQ и CP к ω, причём BQ и CP пересекаются внутри треугольника АВС.
(!) Прямая PQ проходит через точку, независящую от выбора ω

Ещё одна ночная разминка

Точка Н - ортоцентр треугольника АВС. Перпендикуляр из точки Н на биссектрису угла А пересекает прямую АВ в точке Е. Прямая, параллельная АС и проходящая через точку Е, пересекает описанную окружность треугольника BHE в точке Х. Прямая CX вторично пересекает окружность (BHE) в точке У.
(!) Окружность (AHY) касается биссектрисы угла А

Утренняя разминка

Окружности ω1 и ω2 не имеют общих точек. Прямая l пересекает их точках A, B и C, D.
(!) существует точка X, независящая от выбора прямой l, такая, что ∠AXC = ∠BXD

Утренний баян

На вписанной окружности треугольника выбрана точка Х. Из точки Х проведены касательные к вневписанным окружностям.
(!) Если точка Х лежит на средней линии треугольника, то из отрезков касательных можно составить прямоугольный треугольник