Диагональные орграфы, Кошулевы алгебры и триангуляции гомологических сфер
Магнитудные гомологии орграфа G -- это биградуированная абелева группа MH_{n,l}(G), где n,l -- целые числа. Такая странная теория гомологий орграфов, которая помнит слишком много информации, но непонятно какой. Магнитудные гомологии определяются и для обобщенных метрических пространств, но сейчас я хочу поговорить об орграфах. Графы я буду считать частным случаем орграфов, где каждое неориентированное ребро -- это пара ориентированных рёбер в обе стороны. Расстояние d(x,y) из вершины x в вершину y определяется как длина кратчайшего ориентированного пути, и если пути нет, то расстояние равно бесконечности.
При n=0 ненулевые магнитудные гомологии бывают только при l=0, и MH_{0,0} -- это свободная абелева группа, ранг которой равен количеству вершин.
При n=1 ненулевые магнитудные гомологии бывают только при l=1, и MH_{1,1} -- это свободная абелева группа, ранг которой равен количеству рёбер.
При n=2 магнитудные гомологии бывают нетривиальными уже для любого l=2,3,4,...
Однако для многих простых примеров орграфов по непонятной причине оказывается, что магнитудные гомологии сконцентрированы на диагонали. То есть они равны нулю при n не равном l. Такие орграфы назвали диагональными.
Например, неориентированные деревья диагональны, полные графы диагональны. Если взять джойн любых двух графов, то получается диагональный граф. Ещё бокс произведение диагональных графов диагонально. Это уже даёт большой запас диагональных графов. Граф икосаэдра ещё диагонален. Есть и другие интересные маленькие примеры. Но если пробуешь как-то описать все такие графы, то сталкиваешься с тем, что это какая-то жесть. Очень сложный какой-то класс графов. Не получается описать. И мы со Львом тут недавно связали этот класс орграфов с двумя известными темами: Кошулевыми алгебрами, и гомологическими сферами. Это отчасти объясняет сложность этого класса.
-------------------------- Связь с Кошулевыми алгебрами
По орграфу G можно построить такую градуированную алгебру σG над полем k, которую я называю алгеброй расстояний. Как векторное пространство она порождена парами вершин (x,y), таких, что d(x,y)<∞. Умножение определяется так, что (x,y)(y,z) равно (x,z), если d(x,y)+d(y,z) = d(x,z); 0, если d(x,y)+d(y,z) > d(x,z). Градуировка определяется так, что степень (x,y) равна d(x,y).
Не очень сложно доказать такую теорему:
ТЕОРЕМА: G диагонален тогда и только тогда, когда алгебра σG Кошулева для любого поля k.
Кошулевы алгебры — это довольно замороченный класс алгебр, внутри класса квадратичных алгебр. Квадратичные алгебры — это понятно, а вот Кошулевы — это жесть. Зато для диагональных графов мы понимаем, что их алгебра расстояний квадратична. Это позволяет описать очень удобное необходимое условие диагональности в комбинаторных терминах.
Диагональные орграфы, Кошулевы алгебры и триангуляции гомологических сфер
Магнитудные гомологии орграфа G -- это биградуированная абелева группа MH_{n,l}(G), где n,l -- целые числа. Такая странная теория гомологий орграфов, которая помнит слишком много информации, но непонятно какой. Магнитудные гомологии определяются и для обобщенных метрических пространств, но сейчас я хочу поговорить об орграфах. Графы я буду считать частным случаем орграфов, где каждое неориентированное ребро -- это пара ориентированных рёбер в обе стороны. Расстояние d(x,y) из вершины x в вершину y определяется как длина кратчайшего ориентированного пути, и если пути нет, то расстояние равно бесконечности.
При n=0 ненулевые магнитудные гомологии бывают только при l=0, и MH_{0,0} -- это свободная абелева группа, ранг которой равен количеству вершин.
При n=1 ненулевые магнитудные гомологии бывают только при l=1, и MH_{1,1} -- это свободная абелева группа, ранг которой равен количеству рёбер.
При n=2 магнитудные гомологии бывают нетривиальными уже для любого l=2,3,4,...
Однако для многих простых примеров орграфов по непонятной причине оказывается, что магнитудные гомологии сконцентрированы на диагонали. То есть они равны нулю при n не равном l. Такие орграфы назвали диагональными.
Например, неориентированные деревья диагональны, полные графы диагональны. Если взять джойн любых двух графов, то получается диагональный граф. Ещё бокс произведение диагональных графов диагонально. Это уже даёт большой запас диагональных графов. Граф икосаэдра ещё диагонален. Есть и другие интересные маленькие примеры. Но если пробуешь как-то описать все такие графы, то сталкиваешься с тем, что это какая-то жесть. Очень сложный какой-то класс графов. Не получается описать. И мы со Львом тут недавно связали этот класс орграфов с двумя известными темами: Кошулевыми алгебрами, и гомологическими сферами. Это отчасти объясняет сложность этого класса.
-------------------------- Связь с Кошулевыми алгебрами
По орграфу G можно построить такую градуированную алгебру σG над полем k, которую я называю алгеброй расстояний. Как векторное пространство она порождена парами вершин (x,y), таких, что d(x,y)<∞. Умножение определяется так, что (x,y)(y,z) равно (x,z), если d(x,y)+d(y,z) = d(x,z); 0, если d(x,y)+d(y,z) > d(x,z). Градуировка определяется так, что степень (x,y) равна d(x,y).
Не очень сложно доказать такую теорему:
ТЕОРЕМА: G диагонален тогда и только тогда, когда алгебра σG Кошулева для любого поля k.
Кошулевы алгебры — это довольно замороченный класс алгебр, внутри класса квадратичных алгебр. Квадратичные алгебры — это понятно, а вот Кошулевы — это жесть. Зато для диагональных графов мы понимаем, что их алгебра расстояний квадратична. Это позволяет описать очень удобное необходимое условие диагональности в комбинаторных терминах.
BY Математическая свалка Сепы
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
To that end, when files are actively downloading, a new icon now appears in the Search bar that users can tap to view and manage downloads, pause and resume all downloads or just individual items, and select one to increase its priority or view it in a chat. The War on Fakes channel has repeatedly attempted to push conspiracies that footage from Ukraine is somehow being falsified. One post on the channel from February 24 claimed without evidence that a widely viewed photo of a Ukrainian woman injured in an airstrike in the city of Chuhuiv was doctored and that the woman was seen in a different photo days later without injuries. The post, which has over 600,000 views, also baselessly claimed that the woman's blood was actually makeup or grape juice. Lastly, the web previews of t.me links have been given a new look, adding chat backgrounds and design elements from the fully-features Telegram Web client. Multiple pro-Kremlin media figures circulated the post's false claims, including prominent Russian journalist Vladimir Soloviev and the state-controlled Russian outlet RT, according to the DFR Lab's report. Sebi said data, emails and other documents are being retrieved from the seized devices and detailed investigation is in progress.
from br
