Дневник Бродского

Мне вчера рассказали очень крутое, а главное, естественное доказательство квадратичного закона взаимности Гаусса. Видимо, оно является переведенным на язык теории Галуа стандартным рассуждением с рассмотрением сумм экспонент. Наверное, это рассуждение будет не очень понятно школьникам, так для его осознания надо немного шарить за кольца целых и достаточно базовую теорию Галуа.

Начну с формулировки. Пусть у вас имеется некоторое простое число p. Тогда ненулевые остатки по модулю p бывают двух видов: a называется квадратичным вычетом, если a = x^2 для некоторого другого остатка x. В противном случае a называется квадратичным невычетом. В первом случае будем писать (a | p) = 1, во втором (a | p) = -1. Так вот квадратичный закон взаимности утверждает, что для двух простых чисел p и q больших 2 выполняется следующее тождество: (p | q) * (q | p) = (-1)^(p-1/ 2) * (q-1 / 2)

У этого утверждения существует множества доказательств, в том числе и совсем элементарные, не требующие даже знаний комплексных чисел. Однако расплата за элементарность, как это обычно и бывает, это крайне вычурные рассуждения, которые очень сложно придумать. Я же хочу дать набросок короткого и понятного рассуждения, которое опирается на несовсем элементарный аппарат.

Итак, начнем с того, что рассмотрим eps — комплексный корень степени p из 1. У Q(eps) (оно же поле разложения многочлена x^p - 1 / x - 1) есть единственное квадратичное подрасширение Q(\sqrt(D) ) при некотором целом D, так как в группа Галуа Q(eps) это (Z/pZ)^* имеет единственную подгруппу индекса 2. Очень хорошо, давайте теперь изучим кольца целых двух полученных полей. O(eps) это Z[eps], а O(\sqrt(D)) это либо Z[\sqrt(D)] либо Z[( 1 + \sqrt(D) ) / 2].

Теперь заведем второе простое число q. Идея заключается в том, чтобы посмотреть на простые идеалы, которые весят над q в интересующих нас кольцах целых. Их изучение немедленно приведет к квадратичному закону. Заметим, что q не ветвится в Z[eps] так как q по тривиальным причинам не делит disk(x^p - 1 / x - 1). Это заодно означает, что q не ветвится и в Z[sqrt(D)]. Кажется, дискриминант Z[ 1 + sqrt(D) / 2] это 2D или 4D (точно не помню), но так или иначе так как q больше 2 и не делит D, то и эту шутку оно не делит. Получаем, что q в любом случае неразветвленно в каждом из наших колец целых.

Пусть I и I* это простые идеалы, висящие над q в Z[eps] и втором кольце соответственно. Теорема Дедекинда нам сообщает, что в Gal(Q(eps)) можно найти такой элемент S, что S(x) сравнимо с x^q по модулю I для любого x из Z[eps], и аналогичный S* можно найти в Gal(Q(sqrt(D)). Далее у нас имеется сюрьектинвный гомоморфизм их Gal(Q(eps)) = (Z / pZ)^* в Gal(Q(\sqrt(D)) = {-1, 1} (по умножению): четные степени первообразного корня он переводит в 1, а нечетные в -1, то есть этот гомоморфизм это просто (x | p). Если теперь написать, что S переходит в S*, то в точности получится квадратичный закон!

www.group-telegram.com/ca/kusaka_daily.com/226

2.5K viewsedited  Mar 22, 2024 at 10:04

Мне вчера рассказали очень крутое, а главное, естественное доказательство квадратичного закона взаимности Гаусса. Видимо, оно является переведенным на язык теории Галуа стандартным рассуждением с рассмотрением сумм экспонент. Наверное, это рассуждение будет не очень понятно школьникам, так для его осознания надо немного шарить за кольца целых и достаточно базовую теорию Галуа.

Начну с формулировки. Пусть у вас имеется некоторое простое число p. Тогда ненулевые остатки по модулю p бывают двух видов: a называется квадратичным вычетом, если a = x^2 для некоторого другого остатка x. В противном случае a называется квадратичным невычетом. В первом случае будем писать (a | p) = 1, во втором (a | p) = -1. Так вот квадратичный закон взаимности утверждает, что для двух простых чисел p и q больших 2 выполняется следующее тождество: (p | q) * (q | p) = (-1)^(p-1/ 2) * (q-1 / 2)

У этого утверждения существует множества доказательств, в том числе и совсем элементарные, не требующие даже знаний комплексных чисел. Однако расплата за элементарность, как это обычно и бывает, это крайне вычурные рассуждения, которые очень сложно придумать. Я же хочу дать набросок короткого и понятного рассуждения, которое опирается на несовсем элементарный аппарат.

Итак, начнем с того, что рассмотрим eps — комплексный корень степени p из 1. У Q(eps) (оно же поле разложения многочлена x^p - 1 / x - 1) есть единственное квадратичное подрасширение Q(\sqrt(D) ) при некотором целом D, так как в группа Галуа Q(eps) это (Z/pZ)^* имеет единственную подгруппу индекса 2. Очень хорошо, давайте теперь изучим кольца целых двух полученных полей. O(eps) это Z[eps], а O(\sqrt(D)) это либо Z[\sqrt(D)] либо Z[( 1 + \sqrt(D) ) / 2].

Теперь заведем второе простое число q. Идея заключается в том, чтобы посмотреть на простые идеалы, которые весят над q в интересующих нас кольцах целых. Их изучение немедленно приведет к квадратичному закону. Заметим, что q не ветвится в Z[eps] так как q по тривиальным причинам не делит disk(x^p - 1 / x - 1). Это заодно означает, что q не ветвится и в Z[sqrt(D)]. Кажется, дискриминант Z[ 1 + sqrt(D) / 2] это 2D или 4D (точно не помню), но так или иначе так как q больше 2 и не делит D, то и эту шутку оно не делит. Получаем, что q в любом случае неразветвленно в каждом из наших колец целых.

Пусть I и I* это простые идеалы, висящие над q в Z[eps] и втором кольце соответственно. Теорема Дедекинда нам сообщает, что в Gal(Q(eps)) можно найти такой элемент S, что S(x) сравнимо с x^q по модулю I для любого x из Z[eps], и аналогичный S* можно найти в Gal(Q(sqrt(D)). Далее у нас имеется сюрьектинвный гомоморфизм их Gal(Q(eps)) = (Z / pZ)^* в Gal(Q(\sqrt(D)) = {-1, 1} (по умножению): четные степени первообразного корня он переводит в 1, а нечетные в -1, то есть этот гомоморфизм это просто (x | p). Если теперь написать, что S переходит в S*, то в точности получится квадратичный закон!

BY Дневник Бродского