Задача с тренировочной олимпиады МТ-кружков. Автор задачи Stanley Rabinowitz

Окружность ω с центром O касается внешним образом окружности Ω в точке T. Из точки A на окружности Ω проведены касательные AP и AQ к окружности ω. Прямые AT и PQ пересекаются в точке R. Докажите, что прямая RO пересекает окружность Ω в точке, диаметрально противоположной точке A.

оставлю это тут в качестве мема...

На сторонах вписанного четырехугольника как на диагоналях построили ромбы с равными сторонами. Докажите, что четыре точки лежат на одной окружности.

Понравилась забавная задача. Решение довольно простое, но я не понял, что это за закон природы такой... может кто-то умеет объяснять.

На картинке три красных окружности равны. Доказать, что сумма радиусов красной и черной окружностей равна радиусу вписанной окружности треугольника.

Привет тем, кто готовится к региону!

Еще один привет тем, кто готовится к региону!

Внутри треугольника ABC выбрана точка X так, что ∠XAB=2∠XBA, ∠XAC=2∠XCA. Точка M — середина дуги BAC. Докажите, что XA=XM.

личный рекорд)
от стартового промта до видео - полчаса. в основном на размеры видео, цвета, ну и как всегда пришлось повозиться с косяками в анимированной части. но это всегда было самое сложное...
стартовый промт в комментариях.

Классика с польской олимпиады 1986, она же с олимпиады западного Китая 2011...

Для 11-классников, которые почему-то все еще готовятся к региону, хорошее упражнение по стереометрии.

В сечении правильного 2n-гранного угла плоскостью лежит 2n-угольник (не обязательно правильный). Ребра полученной пирамиды, соединяющие вершину с основанием, покрасили в шахматном порядке в красный и синий цвета. Докажите, что среднее гармоническое длин красных отрезков равно среднему гармоническому длин синих.

Прикольная задача 11.5 с сегодняшнего региона. Найдите сумму красного с синего угла. От себя, правда, скажу, что я против накладывания противоестественных лишних условий...

В треугольнике ABC с углом 100° при вершине A медианы BK и CN пересекаются в точке M. Прямая, проходящая через точку M и параллельная BC, пересекает описанную окружность треугольника AKN в точках Q и P. Найдите сумму углов BPC и BQC.

Для тех, кому не спится. Задача про пересекающиеся эллипсы.