Поступление в классы Матвертикали
На сайте ресурсного центра Матвертикали появилась информация о критериях поступления в классы проекта. Их можно посмотреть по этой ссылке.
На сайте ресурсного центра Матвертикали появилась информация о критериях поступления в классы проекта. Их можно посмотреть по этой ссылке.
Наименьший отрезок
Выкладываю очередную задачу на наименьшее значение. Из точки М на стороне треугольника светит прожектор, который освещает угол 60 градусов. Стороны светового угла пересекают две другие стороны данного треугольника в точках К и Е. Интуитивно понятно, что отрезок КЕ не может быть слишком коротким. Какова его наименьшая длина, если точка М движется по стороне АС треугольника АВС?
Выкладываю очередную задачу на наименьшее значение. Из точки М на стороне треугольника светит прожектор, который освещает угол 60 градусов. Стороны светового угла пересекают две другие стороны данного треугольника в точках К и Е. Интуитивно понятно, что отрезок КЕ не может быть слишком коротким. Какова его наименьшая длина, если точка М движется по стороне АС треугольника АВС?
Наименьший отрезок. Решение.
Выкладываю решение задачи про наименьший отрезок, которое не использует методы вариаций или «малых шевелений». Таким же методом легко доказать, что радиус R описанной окружности любого треугольника всегда не меньше диаметра 2r его вписанной окружности. Подумайте, как это можно сделать:)
Выкладываю решение задачи про наименьший отрезок, которое не использует методы вариаций или «малых шевелений». Таким же методом легко доказать, что радиус R описанной окружности любого треугольника всегда не меньше диаметра 2r его вписанной окружности. Подумайте, как это можно сделать:)
Два квадрата
Выкладываю задачу про конфигурацию двух квадратов. Три их вершины лежат на сторонах друг друга. Интересно, что отношение площадей таких квадратов зависит лишь от угла между их сторонами. Чему равен этот угол, если площади квадратов относятся как 24:25?
Как относятся их стороны в общем случае?
Свои ответы пишите в комментах.
Выкладываю задачу про конфигурацию двух квадратов. Три их вершины лежат на сторонах друг друга. Интересно, что отношение площадей таких квадратов зависит лишь от угла между их сторонами. Чему равен этот угол, если площади квадратов относятся как 24:25?
Как относятся их стороны в общем случае?
Свои ответы пишите в комментах.
Два квадрата. Решение.
Выкладываю решение задачи с двумя квадратами. Интерес представляет формула для отношения сторон таких квадратов в зависимости от угла между ними. Несложно доказать, что данное отношение достигает своего минимума при угле в 45 градусов. Нам это потребуется в следующей задаче о переправе через канал с поворотом с помощью нескольких досок.
Продолжение следует.
Выкладываю решение задачи с двумя квадратами. Интерес представляет формула для отношения сторон таких квадратов в зависимости от угла между ними. Несложно доказать, что данное отношение достигает своего минимума при угле в 45 градусов. Нам это потребуется в следующей задаче о переправе через канал с поворотом с помощью нескольких досок.
Продолжение следует.
Переправа через ров
Как переправиться через ров, поворачивающий под прямым углом, с помощью двух досок, которые короче ширины рва? Такая гениальная задача на смекалку хорошо известна. Интуиция подсказывает, что оптимальное положение досок симметрично относительно биссектрисы угла канала. Строго же это можно доказать, используя результат задачи с двумя квадратами предыдущего поста.
А что будет, если досок три или пять? Наверняка их длину тогда можно уменьшить. Какой длины хватит в каждом случае? Доски считаем равными отрезками, поэтому ищем систему таких отрезков, соединяющих края рва. Свои ответы и конфигурации пишите в комментах.
Как переправиться через ров, поворачивающий под прямым углом, с помощью двух досок, которые короче ширины рва? Такая гениальная задача на смекалку хорошо известна. Интуиция подсказывает, что оптимальное положение досок симметрично относительно биссектрисы угла канала. Строго же это можно доказать, используя результат задачи с двумя квадратами предыдущего поста.
А что будет, если досок три или пять? Наверняка их длину тогда можно уменьшить. Какой длины хватит в каждом случае? Доски считаем равными отрезками, поэтому ищем систему таких отрезков, соединяющих края рва. Свои ответы и конфигурации пишите в комментах.
ЕГЭ
Продолжаем рубрику подготовки к Единому Экзамену по геометрии — до него остались считанные недели. Последние два года задачи второй части ЕГЭ стали немного проще и, скорее всего, в этом году их не будут усложнять.
Я предлагаю вам новую задачу в том же формате и примерно такой же сложности. Как обычно, свои ответы пишите в комментах.
Продолжаем рубрику подготовки к Единому Экзамену по геометрии — до него остались считанные недели. Последние два года задачи второй части ЕГЭ стали немного проще и, скорее всего, в этом году их не будут усложнять.
Я предлагаю вам новую задачу в том же формате и примерно такой же сложности. Как обычно, свои ответы пишите в комментах.
Переправа через ров. Решение.
Выкладываю решение задачи о переправе через ров с помощью узких досок. Предлагаемая конструкция из пяти таких досок симметрична относительно биссектрисы угла рва и довольно легко считается. Для неё хватит досок с длиной 8 м 20 см. У меня нет уверенности, что это самый оптимальный вариант — такой вывод напрашивается из оптимальной конструкции для трех досок, которая несимметрична. Эту конструкцию с расчетами я выложу в следующем посте так как она более сложна и здесь не поместится. Продолжение следует.
Выкладываю решение задачи о переправе через ров с помощью узких досок. Предлагаемая конструкция из пяти таких досок симметрична относительно биссектрисы угла рва и довольно легко считается. Для неё хватит досок с длиной 8 м 20 см. У меня нет уверенности, что это самый оптимальный вариант — такой вывод напрашивается из оптимальной конструкции для трех досок, которая несимметрична. Эту конструкцию с расчетами я выложу в следующем посте так как она более сложна и здесь не поместится. Продолжение следует.
Две пятерки
На связи админ канала = супруга Автора.
Две пятерки – 55 – ровно столько исполняется сегодня М.А. К сожалению, он встречает этот день на выходе из реанимации (опять). ((
Сейчас уже угрозы для жизни нет - такой вот подарок от судьбы. Если кто-нибудь захочет оставить поздравление под этим сообщением, юбиляр наверняка прочитает и будет рад.
Уверена, что в следующем учебном году канал возобновит работу и здесь опять будут появляться замечательные авторские задачи!
На связи админ канала = супруга Автора.
Две пятерки – 55 – ровно столько исполняется сегодня М.А. К сожалению, он встречает этот день на выходе из реанимации (опять). ((
Сейчас уже угрозы для жизни нет - такой вот подарок от судьбы. Если кто-нибудь захочет оставить поздравление под этим сообщением, юбиляр наверняка прочитает и будет рад.
Уверена, что в следующем учебном году канал возобновит работу и здесь опять будут появляться замечательные авторские задачи!
Друзья, спасибо!
Всем большое спасибо за поздравления - они очень поддерживают! Я уже вышел из больницы. К сожалению, пока мне надо избегать нагрузок, а осенью, надеюсь, будут появляться и новые задачи, и новые песни, и даже выйдет новый диск.
Смогу ли вести занятия в школе в следующем году - пока непонятно, но совершенно точно продолжу работу над учебником стереометрии.
В ближайшее время поделюсь своими старыми материалами для подготовки к ЕГЭ ))
Всем большое спасибо за поздравления - они очень поддерживают! Я уже вышел из больницы. К сожалению, пока мне надо избегать нагрузок, а осенью, надеюсь, будут появляться и новые задачи, и новые песни, и даже выйдет новый диск.
Смогу ли вести занятия в школе в следующем году - пока непонятно, но совершенно точно продолжу работу над учебником стереометрии.
В ближайшее время поделюсь своими старыми материалами для подготовки к ЕГЭ ))
Подготовка к ЕГЭ
Вот три задачи из моих материалов для подготовки к ЕГЭ. А тех, кто присоединился к каналу недавно, выкладываем обзор публикаций прошлого года.
- презентации к вебинару по геометрическим задачам профильного ЕГЭ: часть первая, вторая, четвертая и третья;
- презентация по стереометрическим задачам;
- Усложненные задачи формата ЕГЭ+ можно найти здесь (с решением), здесь (решение),а также здесь и здесь.
Вот три задачи из моих материалов для подготовки к ЕГЭ. А тех, кто присоединился к каналу недавно, выкладываем обзор публикаций прошлого года.
- презентации к вебинару по геометрическим задачам профильного ЕГЭ: часть первая, вторая, четвертая и третья;
- презентация по стереометрическим задачам;
- Усложненные задачи формата ЕГЭ+ можно найти здесь (с решением), здесь (решение),а также здесь и здесь.
Части круга.
Предлагаю вашему вниманию свою задачу на части круга. Она интересна тем, что вообще имеет определенный ответ, который вдобавок является рациональной функцией от числа пи. Перед тем как решать задачу, интересно проверить свою интуицию: попробуйте догадаться, около какого целого числа < 16 находится площадь третьей части круга. А потом найдите его точное значение!
Предлагаю вашему вниманию свою задачу на части круга. Она интересна тем, что вообще имеет определенный ответ, который вдобавок является рациональной функцией от числа пи. Перед тем как решать задачу, интересно проверить свою интуицию: попробуйте догадаться, около какого целого числа < 16 находится площадь третьей части круга. А потом найдите его точное значение!
Леонард Эйлер
Все, кто знаком с математикой, знают про принцип математической индукции — цепь домино: если ее фишки стоят так, что каждая при своем падении задевает следующую, достаточно толкнуть первую —
и упадут все. На этом принципе основано шуточное определение российского математика: таковым можно считать того, кого математиком назвал другой русский математик. То есть в данном определении работает так называемый индуктивный переход.
А кого же тогда считать первой стоящей фишкой домино — базой индукции? Конечно, Леонарда Эйлера! Именно с него началась русская научная школа — одна из самых сильных в мире.
Этот универсальный гений много сделал не только для физики, теории чисел, астрономии и картографии, но и для элементарной геометрии, поэтому ему посвящена статья в 8 классе нашего учебника.
Неделю назад в программе Леонида Млечина «Свет и тени» на телевидении вышла передача о жизни Леонарда Эйлера, в которой я тоже принял небольшое участие. Делюсь с вами ссылкой на эту программу: https://rutube.ru/video/0e99a27dce3455c94628c81f3c180e5d/
Все, кто знаком с математикой, знают про принцип математической индукции — цепь домино: если ее фишки стоят так, что каждая при своем падении задевает следующую, достаточно толкнуть первую —
и упадут все. На этом принципе основано шуточное определение российского математика: таковым можно считать того, кого математиком назвал другой русский математик. То есть в данном определении работает так называемый индуктивный переход.
А кого же тогда считать первой стоящей фишкой домино — базой индукции? Конечно, Леонарда Эйлера! Именно с него началась русская научная школа — одна из самых сильных в мире.
Этот универсальный гений много сделал не только для физики, теории чисел, астрономии и картографии, но и для элементарной геометрии, поэтому ему посвящена статья в 8 классе нашего учебника.
Неделю назад в программе Леонида Млечина «Свет и тени» на телевидении вышла передача о жизни Леонарда Эйлера, в которой я тоже принял небольшое участие. Делюсь с вами ссылкой на эту программу: https://rutube.ru/video/0e99a27dce3455c94628c81f3c180e5d/
RUTUBE
Леонард Эйлер. «Свет и тени» — программа Леонида Млечина
#ОТР #светитени
Программа «Свет и тени».
В этом выпуске:
Леонард Эйлер – швейцарский, прусский и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие физики и астрономии. Наряду с Лагранжем, он является крупнейшим математиком XVIII…
Программа «Свет и тени».
В этом выпуске:
Леонард Эйлер – швейцарский, прусский и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие физики и астрономии. Наряду с Лагранжем, он является крупнейшим математиком XVIII…
Три окружности
Предлагаю свою задачу на исследование. Как известно, две различные окружности имеют не больше 2 точек пересечения. Три же окружности пересекаются в двух точках далеко не всегда. Тем не менее, в предлагаемой задаче так будет при выполнении всего одного условия. Попробуйте понять какого! Подсказка: эта задача имеет красивое и не совсем плоское решение:)
Предлагаю свою задачу на исследование. Как известно, две различные окружности имеют не больше 2 точек пересечения. Три же окружности пересекаются в двух точках далеко не всегда. Тем не менее, в предлагаемой задаче так будет при выполнении всего одного условия. Попробуйте понять какого! Подсказка: эта задача имеет красивое и не совсем плоское решение:)
Части круга. Решение.
Многие читатели легко справились с этой задачей, тем не менее я все равно выложу свое решение — оно интересно тем, что прямо связывает его метод с правильными многоугольниками, вписанными в данный круг. Если же хорды сегментов будут пересекаться не на окружности, а внутри круга, решение задачи сильно усложнится и приведет уже к трансцендентному уравнению. Аналогичная ситуация будет, если площади сегментов не будут равными. Приводить эти уравнения мы здесь не будем.
Многие читатели легко справились с этой задачей, тем не менее я все равно выложу свое решение — оно интересно тем, что прямо связывает его метод с правильными многоугольниками, вписанными в данный круг. Если же хорды сегментов будут пересекаться не на окружности, а внутри круга, решение задачи сильно усложнится и приведет уже к трансцендентному уравнению. Аналогичная ситуация будет, если площади сегментов не будут равными. Приводить эти уравнения мы здесь не будем.
Три окружности. Решение
Выкладываю решение этой задачи с выходом в трехмерное пространство. Сфера, проходящая через вершины треугольника, касается другой плоскости только, если описанная окружность данного треугольника лежит по одну сторону от неё. Причем, таких сфер в общем случае будет две. Доказать это утверждение легко: центр нужной сферы должен лежать на перпендикуляре к плоскости треугольника, проходящем через центр его описанной окружности, и на таком же расстоянии от плоскости касания. Тогда трехмерная задача легко сводится к плоской.
В результате три окружности с радиусами, равными касательным, будут иметь только две точки пересечения, если прямая (PQ) не имеет с окружностью треугольника общих точек.
Выкладываю решение этой задачи с выходом в трехмерное пространство. Сфера, проходящая через вершины треугольника, касается другой плоскости только, если описанная окружность данного треугольника лежит по одну сторону от неё. Причем, таких сфер в общем случае будет две. Доказать это утверждение легко: центр нужной сферы должен лежать на перпендикуляре к плоскости треугольника, проходящем через центр его описанной окружности, и на таком же расстоянии от плоскости касания. Тогда трехмерная задача легко сводится к плоской.
В результате три окружности с радиусами, равными касательным, будут иметь только две точки пересечения, если прямая (PQ) не имеет с окружностью треугольника общих точек.