Пусть p — большое простое число (хотя бы 5). В каком диапазоне известна p-компонента в стабильных гомотопических группах сфер?

Зафиксирую тут, что нагуглил. Удобно обозначить q:=2p-2.

-1. Методом убивающих пространств легко показать, что в размерностях <2q есть только одна копия Z/p, которая сидит в q-ой группе. То есть легко досчитать примерно до ~4p. При p=5 получается 15.

0. Hirosi Toda в серии статей "p-primary components of homotopy groups" (1958-1959) досчитал до p^2q-4, то есть примерно до 2p^3. При p=5 получается 196. Видимо, он комбинировал метод убивающих пространств с EHP-последовательностями, композициями, скобками Тоды. В книжке "Композиционные методы..." почему-то сформулирован результат только до размерности pq-2 ~ 2p^2; не знаю, почему.

1. Методами Тоды много считал Shichiro Oka. В серии статей The Stable Homotopy Groups of Spheres (1971-1975) этим методом он посчитал компоненты до размерности (2p^2+p-2)q-6, то есть примерно до 4p^3. При p=5 получается 416.

2. Комбинируя с вычислениями Накамуры* второго листа в с.п. Адамса, Ока смог продвинуться ещё на 4p размерностей и добраться до (2p^2+p)q-4. При p=5 получается 436.

3. Используя те же вычисления Накамуры, но для с.п. Адамса-Новикова (и спектра Брауна-Петерсона, следуя Миллеру и Нейзендорферу), Marc Aubry посчитал компоненты до размерности
(3p^2+4p)q-1, то есть примерно до 6p^3. При p=5 получается 759.
(статья "Calculs de groupes d'homotopie stables de la sphere, par la suite spectrale d'Adams-Novikov", 1984. Это диссертация под руководством Лемэра.)

4. В книжке Douglas Ravenel "Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres" (1986) предлагается некий "метод бесконечного спуска" (использующий, помимо с.п. А.-Н., всякие накопленные знания про BP, хроматическую теорию, введённые Равенелем спектры T(m)...).
Равенел не говорит, насколько далеко удаётся продвинуться для любого p, но при p=5 проводит показательные вычисления и добирается до 999. В любом случае, это похоже на ~8p^3.

5. Наконец, в тексте Hirofumi Nakai, Douglas Ravenel "The method of infinite descent in stable homotopy theory II" высказана надежда, что примерно теми же методами можно добраться примерно до p^3q ~ 2p^4. Этот текст появился как препринт в 2008, выложен на архив в 2018, опубликован в 2024. При публикации в нём появился абзац:

It is unlikely that either author will take up this computational project any time soon. The purpose of the present paper is to document what we believe to be the most promising method of extending the computation of [Rav04, Chapter 7] in hopes that some more energetic mathematicians will use it in the future.

*Osamu Nakamura, On the cohomology of the mod p Steenrod algebra (1975)

P.S. Конечно, в описанных размерностях известны не только группы, но и композиционные умножения между ними; у Aubry соответствующая алгебра даже задана образующими и соотношениями

https://nyjm.albany.edu/j/2024/30-8p.pdf

упомянутая выше статья Hirofumi Nakai, Douglas Ravenel. The method of infinite descent in stable homotopy theory II

https://education.tbank.ru/school/events/sbory_math/

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1eqso0nRFraS2ZjH185mCJVm2Qh_EVAKh74g6EQt6WM4/edit

https://www.youtube.com/playlist?list=PLjCCarnDJNsvTiBw67eigOuu-9bwcQLAt

Т-банк организует серию мат. занятий для школьников («бесплатный онлайн-интенсив к муниципальному этапу ВсОШ»). Проводят занятия Г.Вольфсон, О.Калимуллина, Д.Мухин, Ф.Нилов, Д.Швецов и другие. Начало сегодня (12.11)

онлайн-лекция @forest_school_am в субботу 16 ноября

трансляцию обещают по ссылке https://meet.google.com/uam-sejh-hrb

пусть f и g — независимые случайные величины, равномерно распределенные на [0;1]

задача: объяснить, почему max(f,g) распределена как √f

объяснения от 3b1b: https://youtu.be/Pny70rNPJLk

https://arxiv.org/abs/2411.07409

«This article reflects on the life and mathematical contributions of Pierre Cartier, a distinguished figure in 20th- and 21st-century mathematics. As a key member of the Bourbaki collective, Cartier played a pivotal role in the formalization and modernization of mathematics. His work spanned fields such as algebraic geometry, representation theory, mathematical physics, and category theory, leaving an indelible mark on the discipline. Beyond his technical achievements, Cartier was celebrated for his intellectual generosity and humanistic approach to science, shaping not only mathematical thought but also the broader cultural understanding of the field.»

Alain Connes, Joseph Kouneiher. Pierre Cartier: A Visionary Mathematician

20 ноября 2024 г. пройдет Научная сессия МИАН, посвященная подведению итогов 2024 года.
http://www.mathnet.ru/conf2512

https://youtu.be/VZYE9A5BIOQ

видеозапись рассказа А.Д.Блинкова про книжку ”Тождества сокращенного умножения”, которая должна скора выйти в серии ШМК

https://mccme.ru/nir/seminar/

21 ноября на семинаре учителей математики выступает Алексей Горбачев

«Поговорим о кружках. Есть много замечательных примеров математических кружков, которые ведут энтузиасты. И на порядок больше мест, где у детей почти нет шансов нормально заниматься. Обсудим, как организовать кружок, какие сложности возникают, как помочь учителю и как сделать процесс полезным и интересным для всех его участников.»

19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие

Квадрат разрезан на прямоугольники. В каждом прямоугольнике отмечена одна сторона. Доказать, что сумма длин отмеченных сторон не меньше стороны квадрата.

У задачи выше есть разные решения — например, такое:

Будем считать сторону квадрата равной 1. Если одна из сторон прямоугольника равна A, то его площадь не больше A (ведь вторая сторона не больше 1). Поэтому суммарна длина отмеченных отрезков не меньше суммарной площади всех прямоугольников, т.е. 1.

Задача, кстати, была на ММО и на Турнире городов, предложил ее В.В.Произволов.

Предыдущее рассуждение учит, что квадрат нельзя закрыть планками, суммарная ширина которых меньше стороны квадрата, если каждую планку класть параллельно одной из сторон.

А если их разрешается класть как угодно? Оказывается, все равно планками суммарной ширины меньше 1 нельзя покрыть единичный квадрат… и даже единичный круг нельзя.

У этого утверждения есть замечательное геометрическое доказательство, опирающееся на лемму Архимеда. Можно прочитать его в статье А.Акопяна в Кванте — https://www.mathnet.ru/rus/kvant3725