вот ещё видео моего старого доклада про гипотезу Эндрюса-Кёртиса

https://youtu.be/sQ6rRSOLX6M?si=ebfn6rRwGkXvvE5n

Дима Каледин, математик (старожилы русского интернета могут знать его имя по старому ЖЖ), опубликовал 600-страничную статью , в которой описывает новый подход к абстрактной теории гомотопии, над которым он работал много лет. Он предлагает этот подход в качестве альтернативы популярной в последние 20 лет теории категорий бесконечных порядков Джейкоба Лурье.

Я совершенно некомпетентен в этих вопросах и не имею собственного мнения о работе Каледина (или о школе Лурье), но должен сказать, что первые 40 страниц статьи Каледина - введение - прочел с огромным интересом; что-то понял, другое пропустил, и все равно интересно. Рекомендую.

Очень понравились слова Каледина о силе нарратива, это что-то, в чем я неоднократно убеждаюсь в своей жизни и своих мыслях снова и снова:

"I still remember a talk in Tokyo, in 2008, after which a prominent algebraic geometer came to me and said something like this: “I liked your talk; of course, the last thing the world needs are new foundations for homological algebra, but at least, there was a story”. This was one of the best pieces of advice I ever had: no matter what you do, people will listen if there is a story."

Антон Капустин, у которого я прочитал об этой работе, тоже хвалит ее введение и замечает, что хорошо бы кто-то выпустил книгу, состоящую только из особенно хороших предисловий к математическим статьям или книгам. Да, такое я бы с удовольствием почитал.

Комплекс Виеториса-Рипса окружности

Комплекс Виеториса-Рипса VR(X,r) метрического пространства X — это (абстрактный) симплициальный комплекс, симплексы которого — это конечные непустые подмножества Х диаметра строго меньше r, где r — это положительный вещественный параметр. Этот комплекс используется в геометрической теории групп, метрической геометрии, и топологическом анализе данных. Например, в геометрической теории групп они пользуются тем, что для гиперболической группы G и для любого выбора конечного набора порождающих в ней, комплекс Виеториса-Рипса графа Кэли стягиваем для любого достаточно большого параметра r.

Есть теорема о том, что для компактного Риманова многообразия M и достаточно малого параметра r>0 геометрическая реализация VR(M,r) гомотопически эквивалентна M. То есть при малых r гомотопический тип VR(M,r) не зависит от метрики, а зависит только от гомотопического типа M. Что происходит с гомотопическим типом VR(M,r) при больших значениях параметра r — это загадочный вопрос.

Например, если взять окружность периметра один S^1 с внутренней метрикой, то все сферы нечётных размерностей S^1, S^3, S^5,... появляются как гомотопические типы VR(S^1,r).

Например,

0 < r ≤ 1/3 ⇒ |VR(S^1,r)| ≃ S^1;

1/3 < r ≤ 2/5 ⇒ |VR(S^1,r)| ≃ S^3;

2/5 < r ≤ 3/7 ⇒ |VR(S^1,r)| ≃ S^5;

....

1/2 ≤ r ⇒ |VR(S^1,r)| стягиваемо.

Таким вот необычным способом можно получить все нечётные сферы из окружности.

Есть гипотеза, что для любого компактного Риманова многообразия M связность |VR(M,r)| возрастает с ростом r.

Есть так же какие-то вычисления для эллипсов с Евклидовой метрикой.

https://arxiv.org/abs/1503.03669

https://publish.illinois.edu/ymb/files/2020/03/Hausmann-1995-On-the-Vietoris-Rips-complexes-and-a-cohomology-th.pdf

https://arxiv.org/abs/1704.04956

𝑙_p-комплексы Виеториса-Рипса

Мы с моим китайским другом Сяоменгом выложили препринт, в котором определяем обобщение комплекса Виеториса-Рипса, зависящее от дополнительного параметра
1≤𝑝≤∞. В этом определении используется 𝑙_p-норма. При 𝑝=∞ получается обычный комплекс Виеториса-Рипса, а при 𝑝=1 — пространство, гомологии которого — это размытые магнитудные гомологии.

Таким образом, мы объединяем эти две теории и утверждаем, что их следует изучать вместе. В частности, мы доказываем, что для компактного риманова многообразия 𝑀 при малом параметре 𝑟 этот комплекс гомотопически эквивалентен 𝑀 для любого 𝑝. Мы также приводим доказательства других свойств, которые ранее были известны для классического комплекса Виеториса-Рипса. Например, при переходе к пополнению метрического пространства гомотопический тип 𝑙_p-комплекса Виеториса-Рипса сохраняется.

Кроме того, мы доказываем свойство, которое удивило некоторых специалистов по магнитудным гомологиям. Мы показываем, что гомологии нашего 𝑙_p-комплекса Виеториса-Рипса коммутируют с фильтрующимися копределами метрических пространств. Важно отметить, что в этом доказательстве используется строгое неравенство в определении комплекса; для нестрогого неравенства это свойство не выполняется. В частности, строго размытые магнитудные гомологии коммутируют с фильтрующимися копределами, а нестрого размытые (как и обычные магнитудные) не коммутируют.

Подробности в прикреплённой далее презентации, и в архиве

https://arxiv.org/abs/2411.01857

Коммутативные квадраты абелевых групп часто появляются в математике. Полезно знать их базовые свойства. Если вы знаете спектральную последовательность бикомплекса, и рассмотрите коммутативный квадрат как бикомплекс, то вы сможете доказать эти свойства c закрытыми глазами, без листочка бумаги.

Следующие утверждения эквивалентны:
1) центральный квадрат — пулбэк;
2) последовательность
0 → A → A'⊕B → B'
точна;
3) α' — изоморфизм и β' — мономорфизм.

Двойственные утверждения тоже эквивалентны
1) центральный квадрат — пушаут;
2) последовательность
A → A'⊕B → B' → 0
точна;
3) α' — эпиморфизм и β' — изоморфизм.

Получаем, что и следующие утверждения эквивалентны.
1) центральный квадрат — пулбэк и пушаут;
2) последовательность
0 → A → A'⊕B → B' → 0
точна;
3) α' и β' — изоморфизмы.

Конечно, здесь всё симметрично относительно замены (α, β) на (φ,ψ). Поэтому α' и β' изоморфизмы тогда и только тогда, когда
φ' : Ker(α) → Ker(β)
ψ' : Coker(α) → Coker(β)
изоморфизмы.

Это работает в любой абелевой категории.

Теорема Акса-Гротендика и ультрафильтры.

1/2

Гриша Папаянов мне тут интересную тему рассказал. Есть такая теорема Акса-Гротендика, которая говорит, что любое инъективное полиномиальное отображение из n-мерного комплексного пространства в себя
ℂ^n → ℂ^n
сюръективно.

Интересна мне эта теорема не сама по себе, а методом доказательства, который рассказал мне Гриша, и которое можно найти по ссылке. Это абсолютно прозрачное доказательство, в котором используются конечные поля и ультрафильтры.

В доказательстве используется понятие фильтра, ультрафильтра, ультрапроизведения и предложения первого порядка, которые я напомню в следующих скрытых кусочках и гиперссылки сделаю (если знаете, можно не читать).

Фильтры.

Фильтр на множестве X — это такое множество F подмножеств X, что выполняются следующие аксиомы:
1) пустое множество не является элементом F;
2) F замкнуто относительно конечных пересечений;
3) F замкнуто относительно взятия надмножеств,
то есть если A ∈ F и A⊆B⊆X, то B ∈ F.

Например, окрестности какой-то точки в топологическом пространстве образуют фильтр. А ещё, если X бесконечно, то дополнения конечных множеств образуют фильтр.

Ультрафильтры.

Фильтры образуют упорядоченное множество по включению. Ультрафильтр — это максимальный по включению фильтр. Эквивалентно можно определить ультрафильтр как фильтр F, у которого для любого подмножества A⊆X, либо A∈F, либо X\A∈F.

Например, для любого x_0 ∈ X, все подмножества содержащие x_0, образуют ультрафильтр. Такие ультрафильтры называются главными. Если X конечно, то все ультрафильтры главные. Все остальные ультрафильтры явно не строятся, а строятся при помощи следующего утверждения, которое доказывается при помощи леммы Цорна: для любого фильтра существует ультрафильтр, который его содержит. В частности, для фильтра дополнений конечных множеств есть ультрафильтр, который его содержит, и он не главный.

Ультрапроизведение.

Если есть семейство множеств (X_i)_{i∈I}, проиндексированное множеством I, и задан ультрафильтр F на I, то можно взять произведение этого семейства и профакторизовать по такому отношению эквивалентности: два элемента произведения x,y эквивалентны, если
{ i : x_i = y_i } ∈ F.
Фактор произведения по этому отношению эквивалентности называется ультрапроизведением этого семейства.

Когда все X_i равны, то это называется ультрастепенью. Например, гипервещественные числа из нестандартного анализа — это ультрастепень поля вещественных чисел относительно не главного ультрафильтра.

Предложения первого порядка.

Предложение первого порядка для колец — это, грубо говоря, утверждение про кольцо, записанное в кванторах в терминах элементов этого кольца и их произведений, сумм, с использованием единицы и нуля в качестве выделенных элементов. Без использования вспомогательных множеств типа натуральных чисел, без использования подмножеств, или функций. Все переменные только из кольца. Строгое определение можно почитать в википедии. Например, свойство кольца быть коммутативным можно выразить при помощи предложения первого порядка. И свойство быть полем тоже. И свойство о том, что любой многочлен данной степени n имеет корень тоже. Но, например, свойство иметь счётную мощность, или какое-то фиксированное число порождающих, нельзя выразить как предложение первого порядка. Предложения первого порядка могут быть определены для любой сигнатуры. Это всё из теории моделей.

Фундаментальная теорема об ультрапроизведениях (Теорема Łoś'a) говорит, что если у вас есть семейство моделей X_i над какой-то сигнатурой, и какое-то предложение первого порядка, то оно выполняется для их ультрапроизведения относительно ультрафильтра F тогда и только тогда, когда множество индексов i, что оно выполняется для X_i, лежит в F.

В частности, если какое-то предложение первого порядка верно для всех X_i, то оно верно и для их ультрапроизведения.

Отсюда получаем, что ультрапроизведение полей — это поле. И ультрапроизведение алгебраически замкнутых полей — это алгебраически замкнутое поле.

2/2

Дальше при помощи этого всего добра доказываем теорему Акса-Гротендика.

Можно задаться вопросом, для каких полей F утверждение
"любое инъективное полиномиальное отображение из F^n в себя сюръективно"
верно?

Заметим, что если фиксировать n и степени всех n полиномов от n переменных, то это утверждение можно записать в виде предложения первого порядка.

Для конечных полей F это утверждение верно.

Если K_p — алгебраическое замыкание поля из p элементов, то из того, что любое его конечно порождённое подполе конечно, тоже получается, что это верно.

Значит оно верно и для ультрапроизведения K всех K_p по всем p относительно не главного ультрафильтра на множестве простых чисел.

Это ультрапроизведение K, так же как и все сомножители, является алгебраически замкнутым полем. И его характеристика равна нулю.

Обычное произведение всех K_p, понятное дело, имеет континуальную мощность. Можно показать, что и ультрапроизведение K имеет континуальную мощность. Это обычная задачка на теорию множеств: (Для этого достаточно заметить, что есть континуальное семейство функций ℕ → ℕ, разные члены которого совпадают только на конечном числе элементов. Чтобы построить такое семейство, нужно для каждой последовательности
a : ℕ → {0,1}
определить функцию
f_a : ℕ → ℕ
по формуле
f_a (n) = a(0)*2^0 + a(1)* 2^1 + ... +a(n)*2^n.)

Теорема Штайница говорит, что любое алгебраически замкнутое поле характеристики ноль и континуальной мощности изоморфно полю комплексных чисел. То есть K изоморфно ℂ. Теорема доказана.