Компьютерная математика Weekly

L-системы, или Как нарисовать снежинку и дерево

1.
начнем со слова A и дальше будем итерировать такие замены: A→AB, B→A (на каждой итерации одновременно заменяются все буквы по указанным правилам)

будут получаться всё большие отрезки интересного слова Фибоначчи — про него можно прочитать в статье Вити Клепцына в «Квантике» (№№5-6 за 2020 год)

такого рода правила (“L-системы”) легко реализовать — например, так:

def lsystem(seed,rules,iterations):
    for _ in range(iterations):
        seed = "".join(
            rules[letter] if letter in rules else letter
            for letter in seed)
    return seed

print(lsystem("A",{"A":"AB","B":"A"},5))

2.
такого рода правила порождают слова с фрактальной структурой… так что можно попробовать превратить их во фрактальные картинки

можно начать, например, со снежинки Коха: мы стартуем с правильного треугольника, а дальше на каждой итерации заменяем каждый отрезок на зубец («_ → _/\_»)

это можно закодировать так:

snowflake = lsystem("F++F++F",{"F":"F-F++F-F"},4)

где “F” означает «идем вперед и рисуем отрезок», а “+” и “-” — изменения направления

(про такое, кстати, тоже писали в «Квантике»: Валя Кириченко и Владлен Тиморин объясняли, как это связано со словом Туэ-Морса и проч.)

осталось это реально нарисовать — например, при помощи matplotlib:

import math
import matplotlib.pyplot as plt

def turtleprint(string,alpha0=0,alpha=90,step=1):
    fig = plt.figure()
    fig.set_size_inches(6,6)
    ax = fig.gca()
    ax.set_aspect('equal')

    x,y = 0,0
    heading = alpha0
    for command in string:
        if command == "F":
            x0,y0 = x,y
            x = x0 + step*math.cos(math.radians(heading))
            y = y0 + step*math.sin(math.radians(heading))
            plt.plot([x0,x],[y0,y],color='k')
        if command == "+":
            heading += alpha
        if command == "-":
            heading -= alpha

    plt.axis('off')
    plt.show()

для 4 итераций получается буквально картинка сверху

можно в таком духе генерировать и, скажем, несамопересекающиеся кривые, приближающиеся к заполнению квадрата — например, вот так:

turtleprint(lsystem("-L",{"L":"LF+RFR+FL-F-LFLFL-FRFR+","R":"-LFLF+RFRFR+F+RF-LFL-FR"},4))

(продолжение следует)

www.group-telegram.com/us/compmathweekly.com/24

656 viewsGrigory Merzon, edited  Jan 21 at 06:26

L-системы, или Как нарисовать снежинку и дерево

1.
начнем со слова A и дальше будем итерировать такие замены: A→AB, B→A (на каждой итерации одновременно заменяются все буквы по указанным правилам)

будут получаться всё большие отрезки интересного слова Фибоначчи — про него можно прочитать в статье Вити Клепцына в «Квантике» (№№5-6 за 2020 год)

такого рода правила (“L-системы”) легко реализовать — например, так:

def lsystem(seed,rules,iterations):
    for _ in range(iterations):
        seed = "".join(
            rules[letter] if letter in rules else letter
            for letter in seed)
    return seed

print(lsystem("A",{"A":"AB","B":"A"},5))

snowflake = lsystem("F++F++F",{"F":"F-F++F-F"},4)

import math
import matplotlib.pyplot as plt

def turtleprint(string,alpha0=0,alpha=90,step=1):
    fig = plt.figure()
    fig.set_size_inches(6,6)
    ax = fig.gca()
    ax.set_aspect('equal')

    x,y = 0,0
    heading = alpha0
    for command in string:
        if command == "F":
            x0,y0 = x,y
            x = x0 + step*math.cos(math.radians(heading))
            y = y0 + step*math.sin(math.radians(heading))
            plt.plot([x0,x],[y0,y],color='k')
        if command == "+":
            heading += alpha
        if command == "-":
            heading -= alpha

    plt.axis('off')
    plt.show()

turtleprint(lsystem("-L",{"L":"LF+RFR+FL-F-LFLFL-FRFR+","R":"-LFLF+RFRFR+F+RF-LFL-FR"},4))

BY Компьютерная математика Weekly