Задача 45:
Автор - GeoGen, Ким Пётр
В треугольнике ABC I - центр вписанной окружности, а D - её точка касания со стороной BC. Отражение D относительно середины BC - точка E. A' - диаметрально противоположная точке A на окружности (ABC). G - проекция D на прямую через A' параллельную BC.
Докажите, что (DEG) касается (ABC).
Автор - GeoGen, Ким Пётр
В треугольнике ABC I - центр вписанной окружности, а D - её точка касания со стороной BC. Отражение D относительно середины BC - точка E. A' - диаметрально противоположная точке A на окружности (ABC). G - проекция D на прямую через A' параллельную BC.
Докажите, что (DEG) касается (ABC).
Задача 48:
Автор - Чуев Савва
Обобщение одного известного факта про точку Болтая...
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. E - точка пересечения его диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон AB и CD, Б - проекция Ο на EF. На сторонах AB и CD, как на основаниях, во внешнюю сторону построены подобные равнобедренные треугольники ABX и CDY. Докажите, что точки O, Б, X, Y лежат на одной окружности.
Автор - Чуев Савва
Обобщение одного известного факта про точку Болтая...
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. E - точка пересечения его диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон AB и CD, Б - проекция Ο на EF. На сторонах AB и CD, как на основаниях, во внешнюю сторону построены подобные равнобедренные треугольники ABX и CDY. Докажите, что точки O, Б, X, Y лежат на одной окружности.
Задача 49:
Автор - Пучков Пётр, GeoGen
Ещё одна задача про точку без названия из Олимпиадной геометрии
В треугольнике ABC проведена высота AD, а Ш - точка Шалтая для вершины A. Прямая, проходящая через why-точку и точку D, вторично пересекает описанную окружность треугольника AШD в точке E. Докажите, что середина M отрезка между why-точкой и точкой A равноудалена от E и Ш.
Автор - Пучков Пётр, GeoGen
Ещё одна задача про точку без названия из Олимпиадной геометрии
В треугольнике ABC проведена высота AD, а Ш - точка Шалтая для вершины A. Прямая, проходящая через why-точку и точку D, вторично пересекает описанную окружность треугольника AШD в точке E. Докажите, что середина M отрезка между why-точкой и точкой A равноудалена от E и Ш.
Задача 51:
Автор - Пучков Пëтр
Обобщение леммы 255
P₁ и P₂ - изогонально сопряжены в треугольнике ABC. X₁ и X₂ - проекции B на AP₁ и AP₂, а Y₁ и Y₂ - проекции B на CP₁ и CP₂ соответственно.
1) Точки X₁ и X₂, Y₁ и Y₂ симметричны относительно средней линии треугольника ABC. Если P₁ и P₂ совпадают (случай инцентра), то X₁ = X₂, Y₁ = Y₂ лежат на средней линии.
2) Обобщённые точки 255 лежат на хордах педальной окружности точек P₁ и P₂. Если A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ - проекции точек P₁ и P₂ на стороны BC, AC и AB треугольника соответственно, то X₁ ∈ A₁B₂, X₂ ∈ A₂B₁, Y₁ ∈ B₂C₁, Y ∈ B₁C₂.
Автор - Пучков Пëтр
Обобщение леммы 255
P₁ и P₂ - изогонально сопряжены в треугольнике ABC. X₁ и X₂ - проекции B на AP₁ и AP₂, а Y₁ и Y₂ - проекции B на CP₁ и CP₂ соответственно.
1) Точки X₁ и X₂, Y₁ и Y₂ симметричны относительно средней линии треугольника ABC. Если P₁ и P₂ совпадают (случай инцентра), то X₁ = X₂, Y₁ = Y₂ лежат на средней линии.
2) Обобщённые точки 255 лежат на хордах педальной окружности точек P₁ и P₂. Если A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ - проекции точек P₁ и P₂ на стороны BC, AC и AB треугольника соответственно, то X₁ ∈ A₁B₂, X₂ ∈ A₂B₁, Y₁ ∈ B₂C₁, Y ∈ B₁C₂.
Задача 53:
Автор - Пучков Пëтр
Источник - Олимпиада по геометрии имени Шарыгина 2024, задача 9.4
При каких n на плоскости можно отметить несколько точек и окружностей так, что выполнены условия:
- На каждой окружности лежит ровно n точек
- Через каждую точку проходит ровно n окружностей
- У каждой окружности отмечен центр
Автор - Пучков Пëтр
Источник - Олимпиада по геометрии имени Шарыгина 2024, задача 9.4
При каких n на плоскости можно отметить несколько точек и окружностей так, что выполнены условия:
- На каждой окружности лежит ровно n точек
- Через каждую точку проходит ровно n окружностей
- У каждой окружности отмечен центр
Хотели бы сделать объявление:
С 18 по 23 августа на аопсе (ссылка ниже) будет проходить очень интересная олимпиада MGO 2024.
Составители задач - очень опытные геометры, среди них есть:
- Жюри олимпиады Шарыгина
- Золотые медалисты уровня Advanced Иранской геометрической Олимпиады
- Победители SAGF и Discord Geometry Olympiad
- Победители ВСОШ и кандидаты в сборную России на Международную Математическую Олимпиаду
Сложность задач будет достаточно высока: по шкале Imo Shortlist:
p1/p4 - G4
p2/p5 - G6/G7
p3/p6 - G8+
При этом в отличии от других олимпиад по геометрии высокой сложности на этой олимпиаде не будет:
- нагромождённых конструкций (все условия не более 4 строк в длину и обладают поразительной красотой)
- сложных объектов (каких-нибудь никому не известных замечательных точек, коник, или кубик)
- геометрических неравенств или комбинаторной геометрии
От себя могу добавить, что на мой взгляд, на этой олимпиаде будет несколько задач, которые могут претендовать на звание самых красивых задач в истории. Всем рекомендую поучаствовать!
https://artofproblemsolving.com/community/c594864h3379839_mgo_2024_announced
С 18 по 23 августа на аопсе (ссылка ниже) будет проходить очень интересная олимпиада MGO 2024.
Составители задач - очень опытные геометры, среди них есть:
- Жюри олимпиады Шарыгина
- Золотые медалисты уровня Advanced Иранской геометрической Олимпиады
- Победители SAGF и Discord Geometry Olympiad
- Победители ВСОШ и кандидаты в сборную России на Международную Математическую Олимпиаду
Сложность задач будет достаточно высока: по шкале Imo Shortlist:
p1/p4 - G4
p2/p5 - G6/G7
p3/p6 - G8+
При этом в отличии от других олимпиад по геометрии высокой сложности на этой олимпиаде не будет:
- нагромождённых конструкций (все условия не более 4 строк в длину и обладают поразительной красотой)
- сложных объектов (каких-нибудь никому не известных замечательных точек, коник, или кубик)
- геометрических неравенств или комбинаторной геометрии
От себя могу добавить, что на мой взгляд, на этой олимпиаде будет несколько задач, которые могут претендовать на звание самых красивых задач в истории. Всем рекомендую поучаствовать!
https://artofproblemsolving.com/community/c594864h3379839_mgo_2024_announced
Задача 53:
Автор - Прозоров Роман, GeoGen
Источник - MGO 2024, задача 1
Пусть I - инцентр ABC. Пусть l - произвольная прямая, про- ходящая через I. l пересекает (ABC) в точках X и Y и пересекает BC в точке Z. Прямая, проходящая через Z и параллельная AI пересекает AX и AY в точках D и E соответственно.
Доказать, что точки A, I, D, E лежат на одной окружности.
Автор - Прозоров Роман, GeoGen
Источник - MGO 2024, задача 1
Пусть I - инцентр ABC. Пусть l - произвольная прямая, про- ходящая через I. l пересекает (ABC) в точках X и Y и пересекает BC в точке Z. Прямая, проходящая через Z и параллельная AI пересекает AX и AY в точках D и E соответственно.
Доказать, что точки A, I, D, E лежат на одной окружности.
Задача 54:
Автор - Прозоров Роман
Источник: MGO 2024, задача 2
Пусть Γ - описанная окружность ABC. Пусть ω - вневписанная окружность, противоположная A, а Ia - её центр. Прямые l и m - общие касательные к Γ и ω. Пусть a′ - отражение BC относительно Ia. Назовём пересечения l и m с a′ X и Y.
Доказать, что существует окружность, проходящая через X, Y и касающаяся AB, AC, Γ.
Автор - Прозоров Роман
Источник: MGO 2024, задача 2
Пусть Γ - описанная окружность ABC. Пусть ω - вневписанная окружность, противоположная A, а Ia - её центр. Прямые l и m - общие касательные к Γ и ω. Пусть a′ - отражение BC относительно Ia. Назовём пересечения l и m с a′ X и Y.
Доказать, что существует окружность, проходящая через X, Y и касающаяся AB, AC, Γ.
Задача 55:
Автор - Ким Пётр
Источник: MGO 2024, задача 3
Пусть ABCD - вписанный четырёхугольник. Пусть w1 и w2 - две окружности, проходящие через A, B и C, D соответственно и пересекающиеся вне окружности (ABCD).
Доказать, что если существует окружность, касающаяся AB, CD, w1, w2,то существует окружность или прямая, касающаяся BC, AD, w1, w2.
Автор - Ким Пётр
Источник: MGO 2024, задача 3
Пусть ABCD - вписанный четырёхугольник. Пусть w1 и w2 - две окружности, проходящие через A, B и C, D соответственно и пересекающиеся вне окружности (ABCD).
Доказать, что если существует окружность, касающаяся AB, CD, w1, w2,то существует окружность или прямая, касающаяся BC, AD, w1, w2.
Задача 56:
Автор - Григорий Забазнов
Источник: MGO 2024, задача 4
На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки E и F соответственно так,что B,E,F,C лежат на одной окружности. Прямые BF и CE пересекаются в точке K. Отражение прямой AK относительно биссетрисы угла BAC пересекает BF и CE в точках M и N.
Доказать, что если окружность (MKN) касается BC, то она касается и EF.
Автор - Григорий Забазнов
Источник: MGO 2024, задача 4
На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки E и F соответственно так,что B,E,F,C лежат на одной окружности. Прямые BF и CE пересекаются в точке K. Отражение прямой AK относительно биссетрисы угла BAC пересекает BF и CE в точках M и N.
Доказать, что если окружность (MKN) касается BC, то она касается и EF.
Задача 57:
Автор - Алексей Суворов
Источник - MGO 2024, задача 5
Пусть n - целое число и A1A{n+1}B{n+1}B1 - прямоугольник. Пусть точки A2, A3, ...An лежат на сторонe A1A{n+1} в именно таком порядке. (а также точка A2 должна лежать между A1 и A3). Пусть B2, B3, ...Bn лежат на стороне B1B{n+1} в именно таком порядке (а также точка B2 должна лежать между B1 и B3). Пусть S - множество радиусов вписанных окружностей треугольников вида AiBiB{i+1} где 0<i<n+1 и пусть T - множество радиусов вписанных окружностей треугольников вида BjAjA{j-1} где 1<j<n+2. Оказалось, что элементы S попарно различны и элементы T попарно различны. Также известно, что есть такие a из S и b из T, что S\a (все элементы S, кроме a) = T\b.
Докажите, что a = b.
Автор - Алексей Суворов
Источник - MGO 2024, задача 5
Пусть n - целое число и A1A{n+1}B{n+1}B1 - прямоугольник. Пусть точки A2, A3, ...An лежат на сторонe A1A{n+1} в именно таком порядке. (а также точка A2 должна лежать между A1 и A3). Пусть B2, B3, ...Bn лежат на стороне B1B{n+1} в именно таком порядке (а также точка B2 должна лежать между B1 и B3). Пусть S - множество радиусов вписанных окружностей треугольников вида AiBiB{i+1} где 0<i<n+1 и пусть T - множество радиусов вписанных окружностей треугольников вида BjAjA{j-1} где 1<j<n+2. Оказалось, что элементы S попарно различны и элементы T попарно различны. Также известно, что есть такие a из S и b из T, что S\a (все элементы S, кроме a) = T\b.
Докажите, что a = b.
Задача 58:
Автор - Роман Прозоров
Источник MGO 2024, задача 6
Внутри треугольника ABC отмечена точка P. Оказалось, что прямая, содержащая три внешних центра гомотетии пар вписанных в треугольники ABP, BCP, CPA окружности проходит через вершину ABC.
Доказать, что существует прямая, касающаяся окружностей, вписанных треугольники ABP, BCP, CPA.
Автор - Роман Прозоров
Источник MGO 2024, задача 6
Внутри треугольника ABC отмечена точка P. Оказалось, что прямая, содержащая три внешних центра гомотетии пар вписанных в треугольники ABP, BCP, CPA окружности проходит через вершину ABC.
Доказать, что существует прямая, касающаяся окружностей, вписанных треугольники ABP, BCP, CPA.
Задача 59:
Автор - Пётр Ким
Источник - Южный Математический Турнир 2024
В треугольнике ABC w - вписанная окружность. B-полувписанная окружность пересекает C-полувписанную окружность в точке X. Оказалось, что X лежит вне w. Из X провели касательные k и l к w.
Доказать, что существует окружность, касающаяся k и l и проходящая через B и C.
Автор - Пётр Ким
Источник - Южный Математический Турнир 2024
В треугольнике ABC w - вписанная окружность. B-полувписанная окружность пересекает C-полувписанную окружность в точке X. Оказалось, что X лежит вне w. Из X провели касательные k и l к w.
Доказать, что существует окружность, касающаяся k и l и проходящая через B и C.