Сплайны и #научпоп

Когда-то давно, Илья Богданов надоумил меня, что для демонстрации свойств сопряжённого пространства с первокурсниками можно вывести интерполяционный многочлен Лагранжа. Чуток подумав, я придумал как выводить ещё и сплайны. Заодно, "даром" получается и формула Тейлора.

В результате получился материал для семинара, который я каждый год и провожу у первокурсников в подходящий момент.

В этом году я полез перед семинаром в поиске ссылки и выяснил (к вящему изумлению), что найти место где бы это было изложено таким образом я не могу. Так что пришлось написать текст.

Не вполне могу оценить новизну: результаты все общеизвестные, но подход условно оригинальный.

В общем я наверное через какое-то время этот текст попробую дооформить как самостоятельный текст в каком-нибудь издании (надбавка за публикации сама себя не увеличит), но прямщас выложу в открытый доступ имеющуюся версию текста.

Буду признателен за библиографические рекомендации (вдруг кто знает где это изложено) ну и если в тексте есть какие-то ошибки\непонятности то тоже давайте знать. Писать можно и в комментарии, но лучше в бот @ForodirchBot

Ну и, пользуйтесь конечно! Надеюсь пригодится.

Математического волшебства пост.

Иллюзионист пишет некоторое число на бумаге, которую запирают в сейф. После этого двух зрителей просят написать на доске числа (первое и второе). Затем эти два числа складывают (получается третье). К третьему прибавляют второе (получив четвертое). Потом к четвёртому третье и так далее. Через некоторое время (скажем на 20-й итерации) иллюзионист просит посчитать отношение двух последних получившихся чисел (до третьего знака после запятой). Из сейфа извлекается лист бумаги и оказывается что на нём написано тоже самое число.

Я этот чудесный фокус подсмотрел в посте Константина Александровича Кнопа, о чём и держу в курсе.

Вопрос «что за число было написано» оставлю для домашнего изучения, а уважаемой публике предлагаю ответить на более общий: какова тема семинара (учебного, на первом курсе) перед которым я собираюсь в следующем году разыграть это нехитрое представление?

Меня в этом трюке привлекает, что рекурентные последовательности можно изучать по разному. Например, есть подход через линейную алгебру. Для последовательности с соотношением глубины два (n-e равно сумме двух предыдущих) мы замечаем, что вектор (a_{n+1}, a_n) это вектор (a_{n}, a_{n-1}) умноженный на подходящую матрицу. А значит вычисление n-го элемента (формула Бине для последовательностей Фиббоначи) сводится к вычислению степени некоторой матрицы. А чтобы посчитать степень матрицы нужно найти её жорданову нормальную форму. В подробностях это, кстати, сделано в книге с Андреем Владимировичем Ершовым. (Ужо простите за рекламу, но мы с той книжкой старались, а особенного спроса на неё нет — подозреваю что не в последнюю очередь из-за скучного названия).

По настоящему удивительно, что какими-то принципиально более простыми (школьными, грубо говоря) путями произошедшее не объяснишь. Ещё труднее было бы школьными методами объяснить почему у некоторых рекуррентных последовательностей явная формула для n-го члена будет содержать комплексные числа, а у формул глубины 5 (и более) никакой явной формулы вообще написать не получится.

Куда более масштабно этот эффект проявляется с великой теоремой Ферма. Не выполнение некоего целочисленного равенства является следствием из куда более масштабной и сложной теоремы (которую, собственно, Уайлс и доказал). И даже сама формулировка гипотезы Шимуры далеко выходит за пределы необходимого для понимания формулировки ВТФ.

На семинарах я стараюсь объяснить любезным слушателям, что математика может и не всегда решит их прикладные проблемы. Но без математики они часто не смогут даже понять в чём проблема. К примеру неустойчивость многих численных методов является следствием того банального факта, что производная в супремумной норме не ограничена.

Повторю (самому себе в первую очередь) старую мысль. При преподавании математики нужно не забывать мотивировки (раз), не быть чрезмерно серьёзным и занудным долбоёбом (два) и получше готовиться к занятиям, не забывая присваивать чужие педагогические находки (три).

Кстати, так что за число было написано на бумажке, помещённой в сейф?

#научпоп #матобр

Два года назад мы шикарно сходили в поход на Курилы. С логистикой нам помогал Андрей, канал которого я и прорекламирую. #реклама

Вообще, Курилы прям сказочное место, а Андрей по ним активно рассекает, так что будет красиво.

Ну и человек он толковый. Так что если соберётесь туда, то рекомендую:-)

Тут баба Валя предлагает ограничить набор в столичные вузы для студентов из провинции.

Валентина Ивановна, следуя своей логике, должна была бы окончить университет в Шепетовке, если таковой там есть --- не курсе. Впрочем, это уже детали.

Занятно наблюдать, как в сознании государственных людей прорастает архаичная модель мышления, наполненная идеями о "прикреплении к земле", "чертах оседлости" и прочим.

Вот было дело, когда в Советском Союзе, представителям нетитульных наций негласно, но вполне официально ограничивали доступ к высшему образованию. Знаете анекдот про "меняю пятый пункт на две судимости?", вот это оно.


Абитуриенты едут учиться в крупные города не из прихоти, а потому, что в родных городах тупо нет доступа к качественному образованию и карьерных перспектив. Валентина Ивановна, судя по всему, считает, что "и не надоть такого".

Развивать местные университеты, вкладываться в инфраструктуру, платить преподавателям достойные зарплаты? Не, что за глупости! Можно же просто запретить.

Есть замечательный фильм «Холодное лето 53го». Я пересказывать его не буду, но это действительно отличный фильм. Сюжетно, он про пораженных в правах (уже не заключенных, но ещё сосланных) бывших политзаключенных ГУЛАГа в 53-м году, примерно в дни когда представился тогдашний генсек. Помимо хорошего сюжета, там очень мощный финал, и совершенно пронзительный эпилог. Есть там очень тяжёлая сцена, как по Москве, такой очень солнечной и весенней, навстречу идут два человека, вернувшихся из лагерей. Чёрные, жутковатые фигуры-тени, медленно идут навстречу, останавливаются и закуривают.

Во втором слое там очень, к сожалению, актуальные вещи про собственное достоинство, про самоуважение и про то как по разному ведут себя люди, оказавшиеся в нечеловеческих условиях. Ну и вообще о том что такое предел для человека, и как он себя на этом пределе поведёт. Разные персонажи ведут себя очень по-разному…

В историческом контексте там 53-й год, начало марта, когда умер «тот» тиран, началась «Бериевская оттепель». И действительно, очень многие из выживших стали возвращаться. Не всех это, конечно, обрадовало. Например чуть позже, в 56-м году, застрелился Александр Фадеев, предводитель советских писателей. Впрочем это другая история и уже скорее «Хрущёвская оттепель».

Вообще фильм очень многослойный, посмотрите обязательно. Мне там запомнился маленький эпизод, когда один мелкий чиновник (дело происходит в «деревне на дальнем Севере») крутит в руках свежеприобретённую рамку для фотографии и значительно поясняет: «Фабричная!».

Я, когда первый раз фильм смотрел не совсем считал посыл этой нехитрой реплики.

Потом понял: и про чудовищную нищету в Союзе, и про голод послевоенных лет, и про то как истово люди надеялись на то, что родное советское государство построит им коммунизм, в котором «всё будет». И что такие мелкие штуки им доказывали: ждать осталось немного. Вон, уж, и рамку удалось добыть, и еда обычно есть. Не так много осталось, чтобы и туалетная бумага стала появляться. И не будем язвить, что повсеместного появления ватерклозетов и доступа к воде в каждом доме не случилось до сих пор.

А на днях я этот эпизод вспомнил, когда, зайдя в табачку купить зажигалку, продавец мне СО ЗНАЧЕНИЕМ предложил прочитать, что написано на торце свежезавезённой партии зажигалок (по 40 рублей штука).

Я прочитал «made in France», значительно кивнул, приподняв бровь, и, отсчитав 4 положенные монетки, удалился. А московская, залитая ярким солнечным светом, улица --- встретила меня весной.

В одном замечательном проекте я, вполне вероятно, буду читать в следующем году курс алгебры. И, скорее всего, в дополнение к этому записывать на основном месте работы ролики по некоторым темам из алгебры. Не знаю, удастся ли за следующий год записать «весь объём курса», но, по крайней мере, начну. Не в одно жало, конечно, а с помощью своих падаванов. Впрочем, о деталях — в другой раз.

Пока же хочу поделиться с дорогими подписчиками предварительной программой курса — ну и послушать мнение умных людей. 🙂

Вводные мысли по курсу.

* Рассчитываю на слушателей-математиков. При этом, по крайней мере в жанре «дополнительных лекций», должны быть приложения. Это значит, что не факт, что на основных лекциях эти приложения будут рассказаны, но до них должен быть «один шаг».

* Всякие вещи, связанные с геометрией (например, классификация поверхностей второго порядка), являются не мотивацией, а иллюстрацией. То есть выводятся из более общих теорем.

* В центре курса — структурные теоремы. Например, раз говорим о линейных операторах, значит, нужно их классифицировать (ЖНФ) и как можно быстрее.

* Детерминант вводим через алгебру Грассмана — через одномерность соответствующего пространства кососимметрических форм. И уж как следствие выводим его рекуррентную природу. Извращениям типа отдельного определения в 2- и 3-мерных случаях через площадь и объём говорим решительное «нет».

* Упора на маломерные пространства и конечные группы не делаем. При этом, конечно, на семинарах много времени уделяем как раз низким размерностям, чтобы можно было всё пощупать руками.

* Много говорим об отображениях, продвигаем рисование коммутативных диаграмм и категорный взгляд на происходящее. О формулах переписывания координат говорим мало — их оставляем в основном для семинаров.

* Литература. Есть несколько хороших книг, например Винберг, Axler, Булдырев–Павлов, Кострикин–Манин, которые близки мне по духу. При этом я (врать не буду) сильно смотрю в сторону того, что пишут на nLab. Но ежели будут ещё мысли по современной литературе, буду признателен.

Ну и сама программа в приложении к посту. Жду комментариев!

Мы ещё одно видео выложили. Про конкурсы и аттестации. Что есть что и кто есть ху.

Аттестация и конкурс это то, с чем неизбежно столкнется работник высшей школы. В новом выпуске «На дне образования» проливаем свет на эту процедуру, рассказываем о неочевидных сложностях, юридических аспектах и делимся опытом правозащитной работы.

Подписывайтесь на наши ресурсы, чтобы не пропустить новые видео, и делитесь полезной информацией со своими коллегами!

YouTube

VK

Facebook

Давно "кринжа для подписчиков" не было. А ведь базовая рубрика! Добрые люди принесли в комментарии ссылочку на текст "О применимости теории категориальных топосов в области эсхатологических понятий".

Если я правильно понял, то там теорию категорий с богословием скрестили. И даже с помощью леммы Йонеды изучают "цепь событий, ведущих к концу времён". Чтобы это ни значило.

Я иногда язвлю, что голый теоркат отдаёт богословием. Ну таперича это не просто шутки.

Если что, я в этом тексте не понял примерно ничего. Но выглядит достаточно безумно. Так что, как говорится, я просто оставлю это здесь.

Coarsebook. Я часто тут упоминаю грубую геометрию, и читаю по ней курс в НМУ. Так получилось, что последние несколько лет она у меня в центре научных интересов. И хотя у меня пока нет полноценных опубликованных работ по ней (но думаю, что уже скоро-скоро 😊), я решил не оттягивать и выложить наконец-то конспект лекций, известный в узком круге моих падаванов как coarsebook.

Несколько моментов.
1. На вопросы про приложения мне ответить сложно. Наука довольно молодая, и конкретных applications покамест нет. Но я абсолютно уверен что они будут.
2. Отцам основателям (Ю, Роу, Новак, Громов и другие) она была нужна в контексте грубой гипотезы Новикова. Зачем: не важно. На мой взгляд грубая геометрия давно уже вышла за рамки этой гипотезы и в целом является очень удачным языком и способом описания много каких других результатов. К примеру понятие роста группы намного яснее, если его обсуждать с грубой точки зрения.
3. Несколько итераций назад, книга была гораздо более похожа на книгу Роу, чем сейчас. Хотя влияние безусловно ощущается и сейчас.
4. Я буду очень признателен за присланные опечатки, ошибки и даже просто за замечания типа "там-то и там-то нихрена не понятно". Присылать лучше всего в бот @ForodirchBot — мне так будет их проще обрабатывать.

Идеальный формат присланной опечатки: стр N, строка K (сверху\снизу), написано "малако", нужно "молоко".

Если кому-то кажется, что где-то нужна та или иная иллюстрация — вам скорее всего не кажется. За идеи иллюстраций (в идеале за сами картинки или хотя бы эскизы) — буду очень благодарен отдельно.

5. О дальнейшей судьбе. Вероятнее всего, "будем публиковать" в МЦНМО. Месяц назад текст мне казался совершенным, сейчас не кажется 😊 Так что дорабатываю.

Ну и вообще, я буду рад отзывам и комментариям. Содержательно хвалебным — безусловно, но и критическим комментариям мои уши также открыты.