#комбинаторика #геометрия #алгебра #задача
Предлагаем вам задачу с командной олимпиады проходящего прямо сейчас турнира Колмогорова!
Дано простое число p, пусть n=p^2+p+1. Рассмотрим семейство F из (p+1)-элементных подмножеств в n-элементном множестве X такое, что никакая пара подмножеств из F не пересекается ровно по одному элементу. Найдите максимальный размер такого семейства F.
Предлагаем вам задачу с командной олимпиады проходящего прямо сейчас турнира Колмогорова!
Дано простое число p, пусть n=p^2+p+1. Рассмотрим семейство F из (p+1)-элементных подмножеств в n-элементном множестве X такое, что никакая пара подмножеств из F не пересекается ровно по одному элементу. Найдите максимальный размер такого семейства F.
Forwarded from Jacob Shubin
А так, это же просто Erdos-Sos problem, частный случай
В общем виде то открытая проблема, обычно ее решают для больших n, но если n определенного вида, то результаты бывают и для всех n
Например, вот тут похожее было
https://arxiv.org/pdf/2408.00484
В общем виде то открытая проблема, обычно ее решают для больших n, но если n определенного вида, то результаты бывают и для всех n
Например, вот тут похожее было
https://arxiv.org/pdf/2408.00484
#геометрия #задача
Прямая, проходящая через ортоцентр треугольника ABC пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Сторона BC, перпендикуляр к AB в точке D и перпендикуляр к AC в точке E образуют треугольник T. Докажите, что описанные окружности треугольников T и ABC касаются.
Прямая, проходящая через ортоцентр треугольника ABC пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Сторона BC, перпендикуляр к AB в точке D и перпендикуляр к AC в точке E образуют треугольник T. Докажите, что описанные окружности треугольников T и ABC касаются.
#комбинаторика #задача
N олигархов построили себе страну c N городами, каждый олигарх владеет ровно одним городом. Кроме того, каждый олигарх построил несколько дорог между городами: любая пара городов соединена максимум одной дорогой каждого из олигархов (между двумя городами может быть несколько дорог, принадлежащих разным олигархам). Суммарно было построено d дорог. Некоторые олигархи хотели бы создать корпорацию, объединив свои города и дороги, так чтобы при этом из любого города корпорации можно было доехать до любого другого ее города по дорогам этой корпорации, возможно, заезжая по дороге в города других олигархов. Но оказалось, что никакая группа, в которой меньше N олигархов создать корпорацию не может! При каком наибольшем d это возможно?
N олигархов построили себе страну c N городами, каждый олигарх владеет ровно одним городом. Кроме того, каждый олигарх построил несколько дорог между городами: любая пара городов соединена максимум одной дорогой каждого из олигархов (между двумя городами может быть несколько дорог, принадлежащих разным олигархам). Суммарно было построено d дорог. Некоторые олигархи хотели бы создать корпорацию, объединив свои города и дороги, так чтобы при этом из любого города корпорации можно было доехать до любого другого ее города по дорогам этой корпорации, возможно, заезжая по дороге в города других олигархов. Но оказалось, что никакая группа, в которой меньше N олигархов создать корпорацию не может! При каком наибольшем d это возможно?
#геометрия #задача
Касательную в произвольной точке к описанной окружности треугольника ABC отразили относительно его сторон. Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного тремя полученными прямыми, касается окружности (ABC).
Касательную в произвольной точке к описанной окружности треугольника ABC отразили относительно его сторон. Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного тремя полученными прямыми, касается окружности (ABC).
В комментариях к последней задаче был поднят насущный вопрос указания источников к выкладываемым задачам. Кто-то считает, что источник помогает сразу понять уровень задачи (и это полезно) или найти официальное решение, а кто-то считает, что это мешает беспристрастному решению самой задачи и может остановить тех, кто побоится сложной олимпиады, а также снижает мотивацию писать свои решения. Поэтому мы хотим спросить вас, уважаемые подписчики, хотели бы вы видеть источники выкладываемых задач?
#задача #комбинаторика
Пусть 𝑚 ≥ 𝑛 - положительные числа. У Миши есть 𝑚𝑛 постеров с различными размерами 𝑘 × 𝑙 где 𝑚 ≥ 𝑘 ≥ 1 и 𝑛 ≥ 𝑙 ≥ 1. Он должен развесить их все по очереди на стене своей спальни, не поворачивая их. Каждый раз, когда он вывешивает плакат, он может разместить его либо на свободном месте на стене, либо в таком месте, где он полностью закрывает один видимый плакат и не перекрывает другие видимые плакаты. Определите минимальную площадь стены, которую будут закрывать плакаты.
Пусть 𝑚 ≥ 𝑛 - положительные числа. У Миши есть 𝑚𝑛 постеров с различными размерами 𝑘 × 𝑙 где 𝑚 ≥ 𝑘 ≥ 1 и 𝑛 ≥ 𝑙 ≥ 1. Он должен развесить их все по очереди на стене своей спальни, не поворачивая их. Каждый раз, когда он вывешивает плакат, он может разместить его либо на свободном месте на стене, либо в таком месте, где он полностью закрывает один видимый плакат и не перекрывает другие видимые плакаты. Определите минимальную площадь стены, которую будут закрывать плакаты.
#геометрия #задача
Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках X и Y, лежат внутри окружности Ω и касаются её в точках A и B. Прямая AB повторно пересекает окружности ω1 и ω2 в точках C и D соответственно. Вписанная в криволинейный треугольник CDX окружность касается стороны CD в точке Z. Докажите, что XZ — биссектриса угла AXB.
Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках X и Y, лежат внутри окружности Ω и касаются её в точках A и B. Прямая AB повторно пересекает окружности ω1 и ω2 в точках C и D соответственно. Вписанная в криволинейный треугольник CDX окружность касается стороны CD в точке Z. Докажите, что XZ — биссектриса угла AXB.
#комбинаторика #задача
В стране n городов и n дорожных компаний. Между некоторыми парами городов проложены дороги, каждая принадлежит какой-то из компаний. Между двумя городами может быть проложено больше одной дороги. Каждая компания владеет нечётным числом дорог, причём эти дороги образуют замкнутый маршрут. Докажите, что найдётся замкнутый маршрут нечётной длины, все дороги которого принадлежат разным компаниям.
В стране n городов и n дорожных компаний. Между некоторыми парами городов проложены дороги, каждая принадлежит какой-то из компаний. Между двумя городами может быть проложено больше одной дороги. Каждая компания владеет нечётным числом дорог, причём эти дороги образуют замкнутый маршрут. Докажите, что найдётся замкнутый маршрут нечётной длины, все дороги которого принадлежат разным компаниям.
#геометрия #задача
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω. Лучи AB и DC пересекаются в точке P. W — середина меньшей дуги BC. Прямые AW и CD пересекаются в точке R, а прямые DW и AB — в Q. Окружность γ касается отрезков PB, PC и Ω внешним образом. Докажите, что окружности γ и (WRQ) касаются.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω. Лучи AB и DC пересекаются в точке P. W — середина меньшей дуги BC. Прямые AW и CD пересекаются в точке R, а прямые DW и AB — в Q. Окружность γ касается отрезков PB, PC и Ω внешним образом. Докажите, что окружности γ и (WRQ) касаются.
#комбинаторика #задача
В правильном 100-угольнике 41 вершина покрашена в чёрный, а оставшиеся 59 вершин — в белый. Докажите, что существуют 24 попарно непересекающихся (по внутренности) выпуклых четырёхугольника с вершинами в вершинах 100-угольника такие, что каждый из них имеет три вершины одного цвета и одну другого.
В правильном 100-угольнике 41 вершина покрашена в чёрный, а оставшиеся 59 вершин — в белый. Докажите, что существуют 24 попарно непересекающихся (по внутренности) выпуклых четырёхугольника с вершинами в вершинах 100-угольника такие, что каждый из них имеет три вершины одного цвета и одну другого.