При этом словарь получается нетривиальным. То есть площадь это площадь и есть (просто при горизонтальном растяжении в R раз и вертикальном в R^2 она умножается на R^3 — но равные площади остаются равными). А вот с длинами интереснее — если мы из « параболической » картинки возвращаемся обратно, к окружности, то у нас вертикальное сжатие в R раз сильнее горизонтального, так что на длину результата практически влияет только разность абсцисс. Что, собственно, мы можем видеть на этой картинке: две касательных к параболе из заданной точки вовсе не равны (левый синий и красный отрезки). Но равны их разности абсцисс — компоненты, перпендикулярные оси параболы.

У окружности есть повороты, сохраняющие её центр. Чтобы поворот не унёс наше «окно наблюдения» слишком далеко, поворачивать нужно на угол порядка (1/R). Тогда в пределе получатся параболические повороты — линейные преобразования
(x,y) -> (x+t, y+tx+(t^2/2)).

Углы превратятся в параболические углы — если раньше угол наклона прямой y=kx+c можно было определить как arctg k (мы пока не задумываемся про π и знак/ориентацию), то теперь это просто k. Потому что при обратном сжатии такая прямая превратится в почти горизонтальную, с коэффициентом k/R — а арктангенс маленького числа это почти что оно само. Зато никакого «полного угла» в параболическом смысле нет.

https://math.ucr.edu/home/baez/klein.html

замощения сферы одинаковым правильными сферическими многоугольниками соответствуют правильным многогранникам

а что хорошего можно сделать из замощений плоскости Лобачевского?

если правильным образом их покрасить, а потом отождествить части одного цвета, можно получить интересные римановы поверхности

по ссылке объясняется, например, как таким образом получить квартику Клейна

почитать про нее можно в сборнике «The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve» https://library2.msri.org/books/Book35/contents.html

(в него входит, в частности, известная статья N.Elkies. The Klein Quartic in Number Theory)

И непериодический паркет (с той самой, недавно открытой, «шляпой Эйнштейна» — плиткой, из которой паркет можно сделать только непериодическим) у них тоже есть: https://etudes.ru/mathgrounds/aperiodic-tiling/