Кофейный теоретик

Пельменная математика.

Размышлял я тут по академической надобности об энтропии и ёмкости пространств. И оказался в одном неформальном, алкогольном и, при том, весьма дружелюбном пространстве, на тематическом вечере, посвящённом лепке пельменей из лося. И внезапно сформулировалась задача вполне математическая, но при этом в завлекательно гастрономическом виде.

Итак.

Дана плоская тарелка. Какое максимальное количество одинаковых пельменей можно на неё положить в один слой так, чтобы они не сваливались с тарелки?

Несколько пояснений. Форма тарелки, строго говоря, может быть любой (ну и многомерной, конечно, тоже — лишь бы была ограниченной). Условие «не сваливаться» с тарелки вместе с требованием быть плоской значит следующее: центр пельменя должен находиться внутри тарелки.

Формальная постановка задачи такая: каково максимальное число не пересекающихся шаров данного радиуса можно расположить так, чтобы их центры находились внутри данной области? Собственно говоря, это число и называется ёмкостью области (ну, ёмкостью тарелки).

Аналогично можно поставить вопрос о минимально необходимом количестве пельменей, для того, чтобы полностью скрыть тарелку.

Математически, это значит, что мы хотим узнать минимальное число (возможно пересекающихся) шаров, объединение которых полностью содержит в себе данную область. Это число называют энтропией области.

В случае обычной круглой тарелки (плоской, как в сервизе), я думаю, что этот вопрос имеет ответом гексагональную упаковку. В целом, для сферических областей при достаточно маленьких (относительно тарелки) радиусах пельменей эта задача эквивалентна обычной задаче об упаковке.

Эта задача в общем случае не решена (и, вероятно, никогда не будет). При этом задача важная и ей довольно много занимаются. К примеру в случае размерностей 8 и 24, задачу об упаковке в 2016 году решила Марина Вязовская, за что получила в 2022 Филдсовскую медаль (и кучу других премий).

С энтропией и ёмкостью, особенно для произвольных областей, дела обстоят ещё сложнее. Кое-что можно на русском языке понять из древней статьи В.М. Тихомирова и А.Н. Колмогорова, и из статей, который на неё ссылаются (на матнете их довольно много). Кстати, в помянутой статье есть довольно примечательные отсылки на связь с теорией информации (например, с теоремой Котельникова, она же теорема Найквиста) и на связь с кодами, исправляющими ошибки.

Ну, а в моих «грубых делах» энтропия и ёмкость оказываются важным инструментом для определения роста пространства. И мне, к примеру, оказывается важным в основном сам факт конечности и очень грубые оценки. Но об этом как-нибудь в другой раз.

Ну, а что касается пельменей… Надеюсь, что на мою тарелку положат пельменей никак не меньше числа энтропии. И вообще, ответственно заявляю, что в барах я делом занимаюсь!

UPD: про прогресс задачи об упаковке видео подсказали.
#научпоп

Wikipedia

Плотная упаковка равных сфер

Плотная упаковка равных сфер — такое расположение одинаковых неперекрывающихся сфер в пространстве, при котором занимаемая внутренними областями этих сфер доля пространства (плотность упаковки) максимальна, а также задача комбинаторной геометрии о поиске…

www.group-telegram.com/us/forodirchNEWS.com/2873

5.0K viewsedited  Jan 5 at 09:10

Пельменная математика.

Размышлял я тут по академической надобности об энтропии и ёмкости пространств. И оказался в одном неформальном, алкогольном и, при том, весьма дружелюбном пространстве, на тематическом вечере, посвящённом лепке пельменей из лося. И внезапно сформулировалась задача вполне математическая, но при этом в завлекательно гастрономическом виде.

Итак.

Дана плоская тарелка. Какое максимальное количество одинаковых пельменей можно на неё положить в один слой так, чтобы они не сваливались с тарелки?

Несколько пояснений. Форма тарелки, строго говоря, может быть любой (ну и многомерной, конечно, тоже — лишь бы была ограниченной). Условие «не сваливаться» с тарелки вместе с требованием быть плоской значит следующее: центр пельменя должен находиться внутри тарелки.

Формальная постановка задачи такая: каково максимальное число не пересекающихся шаров данного радиуса можно расположить так, чтобы их центры находились внутри данной области? Собственно говоря, это число и называется ёмкостью области (ну, ёмкостью тарелки).

Аналогично можно поставить вопрос о минимально необходимом количестве пельменей, для того, чтобы полностью скрыть тарелку.

Математически, это значит, что мы хотим узнать минимальное число (возможно пересекающихся) шаров, объединение которых полностью содержит в себе данную область. Это число называют энтропией области.

В случае обычной круглой тарелки (плоской, как в сервизе), я думаю, что этот вопрос имеет ответом гексагональную упаковку. В целом, для сферических областей при достаточно маленьких (относительно тарелки) радиусах пельменей эта задача эквивалентна обычной задаче об упаковке.

Эта задача в общем случае не решена (и, вероятно, никогда не будет). При этом задача важная и ей довольно много занимаются. К примеру в случае размерностей 8 и 24, задачу об упаковке в 2016 году решила Марина Вязовская, за что получила в 2022 Филдсовскую медаль (и кучу других премий).

С энтропией и ёмкостью, особенно для произвольных областей, дела обстоят ещё сложнее. Кое-что можно на русском языке понять из древней статьи В.М. Тихомирова и А.Н. Колмогорова, и из статей, который на неё ссылаются (на матнете их довольно много). Кстати, в помянутой статье есть довольно примечательные отсылки на связь с теорией информации (например, с теоремой Котельникова, она же теорема Найквиста) и на связь с кодами, исправляющими ошибки.

Ну, а в моих «грубых делах» энтропия и ёмкость оказываются важным инструментом для определения роста пространства. И мне, к примеру, оказывается важным в основном сам факт конечности и очень грубые оценки. Но об этом как-нибудь в другой раз.

Ну, а что касается пельменей… Надеюсь, что на мою тарелку положат пельменей никак не меньше числа энтропии. И вообще, ответственно заявляю, что в барах я делом занимаюсь!

UPD: про прогресс задачи об упаковке видео подсказали.
#научпоп

BY Кофейный теоретик