А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!)
Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного переноса, позволяющего отождествить касательные плоскости в разных точках сферы. А вектор скорости идущего вдоль забора человека — лежит в касательной плоскости в той точке, где человек сейчас находится; в частности, угол, на который он поворачивает в вершине — откладывается в касательной плоскости именно в этой вершине. А касательные плоскости в разных точках — разные.
Ну хорошо, а нельзя ли с этим что-нибудь сделать? Например: а что, если идущий человек попытается тащить касательную плоскость с собой?
Пусть он идёт вдоль пути длины L. Поделим его на N отрезков длины L/N. Человек прошёл один отрезок и перенёс касательную плоскость параллельно в R^3. Но в новой точке касательная плоскость другая — параллельно перенесённые вектора накренились на угол порядка (1/N) (точнее, (L/R) (1/N), где R — радиус сферы, но путь и сфера у нас фиксированы, а меняем мы N). Человек спохватился и что-нибудь с этим сделал — например, ортогонально спроецировал новые вектора на касательную плоскость в новой точке. («Какая ещё нормальная компонента? Вам показалось, тут ничего не было!») И так он сделал N раз.
А сильно ли у нас поменялись длины векторов к концу пути? У нас было N операций проецирования — так что на вид кажется, что сильно. Но. Каждая из них умножает длины на косинус соответствующего угла, который порядка (1/N). А cos x = 1 - x^2/2 + …, так что косинусы эти не просто близкие к 1, а отличаются на величину всего лишь порядка 1/N^2 ! Так что даже произведение N таких косинусов близко к 1 (логарифм у него порядка 1/N).
Итого — мы определили параллельный перенос вдоль кривой (на сфере, а на самом деле — на любой поверхности, и даже на любом многообразии, вложенном в хоть какое-нибудь R^n). И он оказался ортогональным — сохраняющим длины касательных векторов — преобразованием.
Но вот только… результат параллельного переноса будет зависеть от выбора пути! Или, что то же самое — пройдя по замкнутому пути, мы можем обнаружить (и почти всегда обнаружим), что наше касательное пространство как-то повернулось.
Собственно — для случая поверхности в R^3, именно этот поворот и есть дефект угла, то, на сколько сумма внешних углов отличается от 2π! Потому что — представим себе, что человек обходит многоугольник, например, на сфере. Он несёт с собой касательное пространство (ну хорошо, для реалистичности — его переносную модель), и отмечает на нём свою скорость. В каждой вершине он добавляет новый сектор-угол поворота. Вернувшись в исходную точку, он получает на своей модели все сектора-углы, на которые он повернулся. И казалось бы, это полный оборот, только заканчивается их сумма в его векторе скорости сейчас, а начинается — в том же самом векторе скорости, обнесённом вокруг всего многоугольника. То есть повёрнутом параллельным переносом!
Так что на формулу, что на сфере радиуса R сумма углов треугольника равна π+(S/R^2) — можно смотреть как на утверждение, что при обходе фигуры площади S параллельный перенос приводит к повороту на S/R^2 (с правильным знаком). (И это не конец рассказа, конечно.)
А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!)
Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного переноса, позволяющего отождествить касательные плоскости в разных точках сферы. А вектор скорости идущего вдоль забора человека — лежит в касательной плоскости в той точке, где человек сейчас находится; в частности, угол, на который он поворачивает в вершине — откладывается в касательной плоскости именно в этой вершине. А касательные плоскости в разных точках — разные.
Ну хорошо, а нельзя ли с этим что-нибудь сделать? Например: а что, если идущий человек попытается тащить касательную плоскость с собой?
Пусть он идёт вдоль пути длины L. Поделим его на N отрезков длины L/N. Человек прошёл один отрезок и перенёс касательную плоскость параллельно в R^3. Но в новой точке касательная плоскость другая — параллельно перенесённые вектора накренились на угол порядка (1/N) (точнее, (L/R) (1/N), где R — радиус сферы, но путь и сфера у нас фиксированы, а меняем мы N). Человек спохватился и что-нибудь с этим сделал — например, ортогонально спроецировал новые вектора на касательную плоскость в новой точке. («Какая ещё нормальная компонента? Вам показалось, тут ничего не было!») И так он сделал N раз.
А сильно ли у нас поменялись длины векторов к концу пути? У нас было N операций проецирования — так что на вид кажется, что сильно. Но. Каждая из них умножает длины на косинус соответствующего угла, который порядка (1/N). А cos x = 1 - x^2/2 + …, так что косинусы эти не просто близкие к 1, а отличаются на величину всего лишь порядка 1/N^2 ! Так что даже произведение N таких косинусов близко к 1 (логарифм у него порядка 1/N).
Итого — мы определили параллельный перенос вдоль кривой (на сфере, а на самом деле — на любой поверхности, и даже на любом многообразии, вложенном в хоть какое-нибудь R^n). И он оказался ортогональным — сохраняющим длины касательных векторов — преобразованием.
Но вот только… результат параллельного переноса будет зависеть от выбора пути! Или, что то же самое — пройдя по замкнутому пути, мы можем обнаружить (и почти всегда обнаружим), что наше касательное пространство как-то повернулось.
Собственно — для случая поверхности в R^3, именно этот поворот и есть дефект угла, то, на сколько сумма внешних углов отличается от 2π! Потому что — представим себе, что человек обходит многоугольник, например, на сфере. Он несёт с собой касательное пространство (ну хорошо, для реалистичности — его переносную модель), и отмечает на нём свою скорость. В каждой вершине он добавляет новый сектор-угол поворота. Вернувшись в исходную точку, он получает на своей модели все сектора-углы, на которые он повернулся. И казалось бы, это полный оборот, только заканчивается их сумма в его векторе скорости сейчас, а начинается — в том же самом векторе скорости, обнесённом вокруг всего многоугольника. То есть повёрнутом параллельным переносом!
Так что на формулу, что на сфере радиуса R сумма углов треугольника равна π+(S/R^2) — можно смотреть как на утверждение, что при обходе фигуры площади S параллельный перенос приводит к повороту на S/R^2 (с правильным знаком). (И это не конец рассказа, конечно.)
It is unclear who runs the account, although Russia's official Ministry of Foreign Affairs Twitter account promoted the Telegram channel on Saturday and claimed it was operated by "a group of experts & journalists." Official government accounts have also spread fake fact checks. An official Twitter account for the Russia diplomatic mission in Geneva shared a fake debunking video claiming without evidence that "Western and Ukrainian media are creating thousands of fake news on Russia every day." The video, which has amassed almost 30,000 views, offered a "how-to" spot misinformation. The regulator said it had received information that messages containing stock tips and other investment advice with respect to selected listed companies are being widely circulated through websites and social media platforms such as Telegram, Facebook, WhatsApp and Instagram. If you initiate a Secret Chat, however, then these communications are end-to-end encrypted and are tied to the device you are using. That means it’s less convenient to access them across multiple platforms, but you are at far less risk of snooping. Back in the day, Secret Chats received some praise from the EFF, but the fact that its standard system isn’t as secure earned it some criticism. If you’re looking for something that is considered more reliable by privacy advocates, then Signal is the EFF’s preferred platform, although that too is not without some caveats. Elsewhere, version 8.6 of Telegram integrates the in-app camera option into the gallery, while a new navigation bar gives quick access to photos, files, location sharing, and more.
from fr
