Пусть надо посчитать "объём" метрического пространства X в предположении, что оно "d-мерно". Как это сделать, если всё, что мы умеем, — это вычислять расстояние между точками?
Первая наивная мысль: если X можно покрыть несколькими ограниченными множествами A1,..,An, то объём, наверно, не превосходит diam(A1)^d +...+ diam(An)^d. Всё-таки, Ai можно засунуть* в шар диаметра diam(Ai), а этот шар в каком-то смысле "d-мерный"...
Но это не работает: рассмотрим скомканный лист бумаги. Его диаметр маленький (сантиметров 10), но настоящая площадь листа может оказаться больше, чем 100 см². То есть покрытие слишком грубое, не улавливает "локальное устройство" метрики. Большие шары — плохие шары.
А если покрывать шариками по миллиметру в диаметре, то в каждом из них 1-2 слоя бумаги, практически не изогнутых; площадь удаётся оценить гораздо точнее. Но оценка всё ещё будет "заниженной"...
*напоминание: diam(A) ≤ D, если расстояние между любыми двумя точками множества A не превосходит числа D
Пусть надо посчитать "объём" метрического пространства X в предположении, что оно "d-мерно". Как это сделать, если всё, что мы умеем, — это вычислять расстояние между точками?
Первая наивная мысль: если X можно покрыть несколькими ограниченными множествами A1,..,An, то объём, наверно, не превосходит diam(A1)^d +...+ diam(An)^d. Всё-таки, Ai можно засунуть* в шар диаметра diam(Ai), а этот шар в каком-то смысле "d-мерный"...
Но это не работает: рассмотрим скомканный лист бумаги. Его диаметр маленький (сантиметров 10), но настоящая площадь листа может оказаться больше, чем 100 см². То есть покрытие слишком грубое, не улавливает "локальное устройство" метрики. Большие шары — плохие шары.
А если покрывать шариками по миллиметру в диаметре, то в каждом из них 1-2 слоя бумаги, практически не изогнутых; площадь удаётся оценить гораздо точнее. Но оценка всё ещё будет "заниженной"...
*напоминание: diam(A) ≤ D, если расстояние между любыми двумя точками множества A не превосходит числа D
"This time we received the coordinates of enemy vehicles marked 'V' in Kyiv region," it added. Investors took profits on Friday while they could ahead of the weekend, explained Tom Essaye, founder of Sevens Report Research. Saturday and Sunday could easily bring unfortunate news on the war front—and traders would rather be able to sell any recent winnings at Friday’s earlier prices than wait for a potentially lower price at Monday’s open. What distinguishes the app from competitors is its use of what's known as channels: Public or private feeds of photos and videos that can be set up by one person or an organization. The channels have become popular with on-the-ground journalists, aid workers and Ukrainian President Volodymyr Zelenskyy, who broadcasts on a Telegram channel. The channels can be followed by an unlimited number of people. Unlike Facebook, Twitter and other popular social networks, there is no advertising on Telegram and the flow of information is not driven by an algorithm. But Telegram says people want to keep their chat history when they get a new phone, and they like having a data backup that will sync their chats across multiple devices. And that is why they let people choose whether they want their messages to be encrypted or not. When not turned on, though, chats are stored on Telegram's services, which are scattered throughout the world. But it has "disclosed 0 bytes of user data to third parties, including governments," Telegram states on its website. DFR Lab sent the image through Microsoft Azure's Face Verification program and found that it was "highly unlikely" that the person in the second photo was the same as the first woman. The fact-checker Logically AI also found the claim to be false. The woman, Olena Kurilo, was also captured in a video after the airstrike and shown to have the injuries.
from fr
