Пусть p — большое простое число (хотя бы 5). В каком диапазоне известна p-компонента в стабильных гомотопических группах сфер?

Зафиксирую тут, что нагуглил. Удобно обозначить q:=2p-2.

-1. Методом убивающих пространств легко показать, что в размерностях <2q есть только одна копия Z/p, которая сидит в q-ой группе. То есть легко досчитать примерно до ~4p. При p=5 получается 15.

0. Hirosi Toda в серии статей "p-primary components of homotopy groups" (1958-1959) досчитал до p^2q-4, то есть примерно до 2p^3. При p=5 получается 196. Видимо, он комбинировал метод убивающих пространств с EHP-последовательностями, композициями, скобками Тоды. В книжке "Композиционные методы..." почему-то сформулирован результат только до размерности pq-2 ~ 2p^2; не знаю, почему.

1. Методами Тоды много считал Shichiro Oka. В серии статей The Stable Homotopy Groups of Spheres (1971-1975) этим методом он посчитал компоненты до размерности (2p^2+p-2)q-6, то есть примерно до 4p^3. При p=5 получается 416.

2. Комбинируя с вычислениями Накамуры* второго листа в с.п. Адамса, Ока смог продвинуться ещё на 4p размерностей и добраться до (2p^2+p)q-4. При p=5 получается 436.

3. Используя те же вычисления Накамуры, но для с.п. Адамса-Новикова (и спектра Брауна-Петерсона, следуя Миллеру и Нейзендорферу), Marc Aubry посчитал компоненты до размерности
(3p^2+4p)q-1, то есть примерно до 6p^3. При p=5 получается 759.
(статья "Calculs de groupes d'homotopie stables de la sphere, par la suite spectrale d'Adams-Novikov", 1984. Это диссертация под руководством Лемэра.)

4. В книжке Douglas Ravenel "Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres" (1986) предлагается некий "метод бесконечного спуска" (использующий, помимо с.п. А.-Н., всякие накопленные знания про BP, хроматическую теорию, введённые Равенелем спектры T(m)...).
Равенел не говорит, насколько далеко удаётся продвинуться для любого p, но при p=5 проводит показательные вычисления и добирается до 999.

5. Наконец, в тексте Hirofumi Nakai, Douglas Ravenel "The method of infinite descent in stable homotopy theory II" высказана надежда, что примерно теми же методами можно добраться примерно до p^4q ~ 2p^5. Этот текст появился как препринт в 2008, выложен на архив в 2018, опубликован в 2024 в New York Journal of Mathematics. При публикации в нём появился абзац:

It is unlikely that either author will take up this computational project any time soon. The purpose of the present paper is to document what we believe to be the most promising method of extending the computation of [Rav04, Chapter 7] in hopes that some more energetic mathematicians will use it in the future.

*Osamu Nakamura, On the cohomology of the mod p Steenrod algebra (1975)

P.S. Конечно, в описанных размерностях известны не только группы, но и композиционные умножения между ними; у Aubry соответствующая алгебра даже задана образующими и соотношениями

Обозначим V:=A∩B и W:=A∪B, и докажем, например, сюръективность i1.

Вот так мы рассуждаем сейчас:
«Так как j1 и j2 сюръективны, в данном случае точная последовательность Майера—Вьеториса превращается в короткую точную последовательность

0 -> H_*(V) -F-> H_*(A)⊕H_*(B) -G-> H_*(W) -> 0,
где F(u) := i1(u)⊕i2(u) и G(x⊕y) := j1(x)-j2(y).

Пусть теперь x∈H_*(A); тогда j1(x)∈H_*(W). Так как j2 сюръективно, имеем j1(x)=j2(y) для некоторого y∈H_*(B). Получаем G(x⊕y)=0. Наша последовательность точна, поэтому x⊕y=F(x') для некоторого x'∈H_*(V). Итак, x=i1(x'). Сюръективность доказана.»

Рассуждение строгое и чисто алгебраическое; его проще придумать с листочком бумаги, чем с закрытыми глазами

А вот как его себе видит Новиков: (цитата не точная, картинка моя. возможно, уместно сказать, что у него W — гладкое (n+1)-мерное многообразие, которое разбито компактным n-мерным подмногообразием V на две части A и B; но на рассуждение это не влияет)

«Пусть x∈H_*(A) и z⊂A — представляющий его цикл. Тогда z гомологичен в W некоторому циклу z', лежащему в B, с помощью плёнки c⊂W. Пересечение c ∩ V есть цикл z''⊂V, представляющий класс гомологий x'∈H_*(V) такой, что i1(x')=x.»

Это не доказательство, а рассказ, что происходит на самом деле. Строгое доказательство я придумал и написал в предыдущем посте — это было совсем не сложно (если надо, даже распишу, почему это то же самое что у Новикова) — и при этом я не получил понимания ситуации. А это, может быть, и самое важное

Воспоминания учеников Уильяма Тёрстона (1946—2012)
https://www.ams.org/publications/journals/notices/201601/rnoti-p31.pdf

в том числе воспоминания Benson Farb'а "On being Thurstonised".
Перевод от Аннетты: https://telegra.ph/O-tom-kak-byt-Tyorstonovym-11-22

(доказательство теоремы о шарнирных механизмах, которая там упоминается: https://arxiv.org/abs/math/9803150 )

и немного мыслей самого Тёрстона о том, как люди понимают математику.

We humans have a wide range of abilities that help us perceive and analyze mathematical content. We perceive abstract notions not just through seeing but also by hearing, by feeling, by our sense of body motion and position. Our geometric and spatial skills are highly trainable, just as in other high-performance activities. In mathematics we can use the modules of our minds in flexible ways—even metaphorically. A whole-mind approach to mathematical thinking is vastly more effective than the common approach that only manipulates symbols.
(Из введения к The Best Writing on Mathematics 2010, см. https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9781400836123-001/html )

на картинке — кусочек замечательного эссе https://arxiv.org/abs/math/9404236
(перевод кусочка побольше от @LaunchControlCenter : https://telegra.ph/how-to-understand-math-08-26 )

с днём гомотопических пушаутов
#картинка
(легко понять, что каждый квадрат в верхней диаграмме является гомотопическим пушаутом. а ещё их можно склеивать, и так получается пушаут внизу.)

оказывается, в первой части некролога по Тёрстону тоже есть воспоминания коллег (Хефлигера, Эпштейна, Салливана):
https://www.ams.org/journals/notices/201511/rnoti-p1318.pdf

1. ориентация это выбор порождающей в кое-какой бесконечной циклической группе
2. ориентация это выбор компоненты связности в многообразии всех реперов кое-какого векторного пространства V (конечномерного, над R).

Эти определения связаны через теорему де Рама, то есть очень странным образом. Сопоставим реперу внешнее произведение входящих в него векторов; получим точку в многообразии всех реперов одномерного векторного пространства W (старшей внешней степени пространства V); по сути, точку многообразия W\{0}, которое является подмножеством топологической группы (W,+). В ней на самом деле сидит "решётка" — бесконечная циклическая группа, и в каждой компоненте связности пространства W\{0} лежит ровно одна образующая этой решётки. (Причем от выбора решетки это не зависит.)

Странно, что всё это кажется нам естественным

P.S.
а ещё из этого чуда следует, что "непрерывная" и "дискретная" интуиции насчёт "прошлого" и "будущего" почему-то совпадают

вот ещё мощнейшее совпадение непрерывного и дискретного.

у групп Ли есть экспоненциальное отображение: зафиксировав вектор в T_eG, можно идти вдоль него по G бесконечно долго, каждый раз сдвигая его себе под ноги. Поэтому из любой точки, лежащей в образе exp:T_eG -> G, извлекается корень любой степени (если туда можно дойти за время t, то это все равно что n раз шагнуть на t/n)

шокирует, что верно и обратное: если из элемента связной группы Ли извлекаются все корни, то до него можно дойти пешком. это не просто доказать (в частности, нужна теория вещественных алгебраических групп)

Stories about Friedhelm Waldhausen by members of the algebraic topology community

Friedhelm Waldhausen passed away on November 21, 2024. The following are thoughts and stories about Waldhausen that were shared by members of the alg-top email list.

#чётамнаархиве
подарок для любителей мэшапов,
наука про приложения срезанных узлов в четырехмерной топологии (Hayden-Piccirillo)
+
наука про прямоугольные группы Коксетера (M.Davis' reflection group trick)
=
экзотические гладкие структуры на замкнутых асферичных 4-многообразиях
https://arxiv.org/abs/2411.19400

пишут кстати что у Гордана не бомбануло с "неконструктивности" теоремы Гильберта о базисе, это скорее всего миф
https://wayback.archive-it.org/all/20090116011956/http://people.math.jussieu.fr/~harris/theology.pdf

да, с точки зрения жителя симплициального жилищного комплекса, линк это горизонт.

а двойственность Экманна-Хилтона, с точки зрения жителя категории клеточных комплексов, как бы переставляет человека и мир ("субъект и объект"?). И она о происходящем.

корасслоение: если ты, то и я могу за тобой.
расслоение: происходящее с тобой может отразиться и на мне

#Lean
Многие знают, что после успешно завершённого Liquid Tensor Experiment Кевин Баззард и команда отдохнули немного, и вновь взялись за работу. Они занимаются формализацией доказательства Великой теоремы Ферма.

В своём блоге Кевин рассказал об их продвижениях до сих пор. И это совершенно прекрасная история, написанная живым и слегка ироническим языком.

Кратко, его товарищи в процессе работы, прописывая основания кристальных когомологий, обнаружили, что оригинальное доказательство не компилируется. В нём нашлась неустранимая дыра: доказательство ссылается на статью N.Roby 1965 года, Лемма 8 из которой неверна. Что удивительно, N.Roby доказывает её, неправильно цитируя свою же статью 1963 года.

Кевин пишет, что для него в этот момент обрушилось всё доказательство; теорема Ферма стала вновь стала открытой проблемой. Но он знал, что раз теория кристальных когомологий используется последние пятьдесят лет, то она работает, и нужно лишь по-новому обосновать верное утверждение.

Кевин, чем писать электронные письма экспертам, выпил кофе с одним профессором, пообедал с другим, и в конце концов нашёлся текст Артура Огуса, который закрывал дыру, а сам Артур взялся закрывать известные ему дыры в этом своём тексте.

Кевин заключает замечанием о том, в каком хрупком состоянии находится современная математика, сколько критических деталей известны лишь специалистам и нигде толком не прописаны.
--------

Меня в этой истории вдохновляет, что к нам в математику как будто приходит живой трибунал, универсальный калькулятор истинности. Пока утверждение не компилируется Lean'ом, оно не считается доказанным.

Похожая история была в XIX веке: Вейерштрасс, Коши, Пеано, Гильберт, все занимались отделением математики от натурфилософии, постановкой её на формальные рельсы. Их критиковали за излишнюю строгость, за изгнание творчества из математики; но, как и в случае с Lean'ом, ответ есть лишь один: если мы занимаемся математикой, хотим быть уверенными в истинности утверждения, всегда иметь опору под ногами, иметь проверяемые универсальные результаты, нужно модернизировать наш средневековый цех всеми доступными современными технологиями. За Lean'ом будущее!

Обсудим (хотя бы наполовину)?)

На трюк с группами отражений Дэвиса вдохновили Hsiang&Hsiang, Тёрстон и Винберг. Трюк помогает строить странные асферичные замкнутые многообразия (например, некоторые из них нельзя накрыть Rⁿ: Davis, 1983.)

(X асферично, если его односвязное накрытие стягиваемо. Тогда пишут X=K(G,1), где G=π_1(X). Любые два пространства типа K(G,1) гомотопически эквивалентны.)

Например, из трюка следует
Предложение. Пусть существует конечный клеточный комплекс типа K(π,1). Тогда существует замкнутое многообразие типа K(G,1), где группа G ретрагируется на π.

Для групп Баумслага-Солитера
π=BS(p,q):=<a,b|ab^p=b^q a>
соответствующий двумерный комплекс будет иметь тип K(π,1) по теореме Линдона. А ещё известно: централизатор элемента b в BS(1,2) изоморфен Z[1/2]={m/2^k} \subset Q.

Вывод: для любого n≥4 найдется n-мерное (асферичное) компактное многообразие M такое, что π_1(M) содержит подгруппу Z[1/2] (в частности, бесконечно делимые элементы)!

(Mess, "Examples of Poincare Duality groups", 1990)