#геом_разминка

Задача. Точки 𝑋, 𝑌 лежат на стороне 𝐶𝐷 выпуклого пятиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, причем 𝑋 находится между 𝑌 и 𝐶. Оказалось, что треугольники △𝑋𝐶𝐵, △𝐴𝐵𝑋, △𝐴𝑋𝑌, △𝐴𝑌𝐸, △𝑌𝐸𝐷 подобны (с именно таким соответствием вершин). Докажите, что описанные окружности треугольников △𝐴𝐶𝐷, △𝐴𝑋𝑌 касаются друг друга.

Мечтайте! Мечты становятся еще круче, если формируют реальность по своему образу и подобию 🧚‍♀️

#геом_разминка

Задача. Точки 𝑀 и 𝑁 выбраны на биссектрисе 𝐴𝐿 треугольника 𝐴𝐵𝐶 таким образом, что ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐴𝐶𝑁 = 21°. Пусть 𝑋 — точка внутри треугольника такая, что 𝐵𝑋 = 𝐶𝑋 и ∠𝐵𝑋𝐶 = 2∠𝐵𝑀𝐿. Найдите ∠𝑀𝑋𝑁.

Пусть у вас сегодня найдется ответ на все вопросы 🌌

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с углом ∠𝐴 = 60°. Точка 𝑇 взята внутри треугольника так, что ∠𝐴𝑇𝐵 = ∠𝐵𝑇𝐶 = ∠𝐶𝑇𝐴 = 120°. Пусть 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Докажите, что 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 2𝐴𝑀.

Посмотрите на мир под другим углом и увидете красоту в привычных деталях 🖼📐

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — выпуклый четырехугольник такой, что прямая 𝐵𝐷 делит угол 𝐴𝐵𝐶 пополам. Описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекает стороны 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄, соответственно. Прямая, проходящая через 𝐷 параллельно 𝐴𝐶, пересекает прямые 𝐵𝐶 и 𝐵𝐴 в точках 𝑅 и 𝑆 соответственно. Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, и 𝑆 лежат на одной окружности.

Пусть параллельно с делами вас сопровождает улыбка 😊

#геом_разминка

Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 описан около окружности 𝜔. Пусть 𝐸 — ближайшая к 𝐴 точка пересечения 𝜔 и диагонали 𝐴𝐶. Точка 𝐹 диаметрально противоположна точке 𝐸 на окружности 𝜔. Касательная к 𝜔 в точке 𝐹 пересекает прямые 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝐴₁, 𝐶₁, 𝐴₂ и 𝐶₂ соответственно. Докажите, что 𝐴₁𝐶₁ = 𝐴₂𝐶₂.

Москвичи ежедневно тратят в метро время, достаточное чтобы описать полный круг кольцевой ветки или проехать половину центрального диаметра. А вы проводите время в пути с пользой — решайте наши разминки 🕗

#геом_разминка

Если записать сегодняшнюю дату "по-американски", то получится 11/23. Приглядевшись 🧐 мы увидим первые четыре числа последовательности Фибоначчи.

В эту замечательную дату мир 🌎 празднует день одного из самых влиятельных математиков средневековья 🏰 — Леонардо Боначчи.

Как известно, отношение соседних членов последовательности Фибоначчи стремиться к еще одному культовому объекту математики — золотому сечению 🐚

Поздравляем вас с днем Фибоначчи и дарим прекрасную задачку на золотое сечение 😍

Задача. Дан квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 с точкой 𝑃, лежащей на стороне 𝐴𝐵. Докажите, что если прямая Эйлера треугольника 𝑃𝐶𝐷 проходит через точку 𝐵, то точка 𝑃 делит отрезок 𝐵𝐴 в золотом сечении (𝑃𝐵/𝑃𝐴 =𝐴𝐵/𝐵𝑃).

#геом_разминка

Вчера прошла московская регата для 11 классов. Предлагаем вам забавную задачку с нее 🛳

Задача. В пятиугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸: 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸, ∠𝐴 = ∠𝐸 = 45°, 𝐵𝐶 ⊥ 𝐶𝐷, 𝐴𝐸 = 10, 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 = 6. Найдите площадь пятиугольника.

Попутного вам ветра сегодня 🌬

#геом_разминка

Задача. На картинке все зелёные отрезки равны. Докажите, что сумма красных отрезков равна сумме синих

Сегодня стартует турнир Колмогорова. Всем участникам удачи 🍀

Пусть если вам еще не покорились горы покорится хотя бы холм Колм 🏞

#геом_разминка

Задача. Обозначим через 𝑂 центр описанной окружности остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть точка 𝑃 на стороне 𝐴𝐵 такая что ∠𝐵𝑂𝑃  = ∠𝐴𝐵𝐶, и пусть точка 𝑄 на стороне 𝐴𝐶 такова, что ∠𝐶𝑂𝑄 = ∠𝐴𝐶𝐵. Докажите, что отражение 𝐵𝐶 в прямой 𝑃𝑄 касается описанной окружости треугольника 𝐴𝑃𝑄.

Хорошего вам утра и отразите все удары дня ! 🥊

#колм

Сегодня на турнире Колмогорова прошла командная олимпиада. Выкладываем условия задач 🔥

Ее итоги можете обусдить в комментариях 👇

Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность с центром в точке 𝑂. Отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑃. Лучи 𝐶𝐵 и 𝐷𝐴 пересекаются в точке 𝑄. Окружность, описанная около треугольника 𝐴𝑃𝐵, вторично пересекает отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 в точках 𝐴₁ и 𝐵₁ соответственно. Окружность, описанная около треугольника 𝐶𝑃𝐷, вторично пересекает отрезки 𝐵₁𝐶 и 𝐴₁𝐷 в точках 𝐶₁ и 𝐷₁ соответственно. Докажите, что прямые 𝐴₁𝐶₁, 𝐵₁𝐷₁ и 𝑄𝑂 пересекаются в одной точке.

#геом_разминка

Задача. Параллелограммы 𝐴𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐸𝐹𝐺 расположены на плоскости так, что 𝐷𝐸 = 𝐶𝐹. Прямые 𝐵𝐺, 𝐷𝐸 и 𝐶𝐹, пересекаясь, ограничивают треугольник ∆. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Доброго вам утра ☀️, бодрого дня ☕️ и уютного вечера 🧸

#колм

Публикуем задачи первого тура кубка Колмогорова. Обсудить их вы можете в комментариях👇

Задача. Внутри остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 60°, выбирается переменная точка 𝑃 так, что ∠𝐵𝑃𝐶 = 120°. Точки 𝑃₂, 𝑃₃ симметричны точке 𝑃 относительно сторон 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 соответственно. Прямые 𝐵𝑃₂, 𝐶𝑃₃ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 проходит через точку, отличную от 𝐴 и не зависящую от выбора 𝑃.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — вписанный четырехугольник, в котором 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 не параллельны. Обозначим через 𝑀 середину 𝐶𝐷. Внутри 𝐴𝐵𝐶𝐷 взята такая точка 𝑃, что 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝐶𝑀. Докажите, что 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 и серединный перпендикуляр к отрезку 𝑀𝑃 пересекаются в одной точке.

Желаем вам быть счастливыми и никогда не унывать 🕊️

#колм

Сегодня на кубке Колмогорова 🏆 прошли вторые туры матбоев. Присоединяйтесь к обсуждению матчей и задач в комментариях👇

Задача. Точки 𝐻 и 𝑂 – ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на описанной окружности 𝜔 так, что ∠𝐵𝑃𝐻 = ∠𝐶𝑄𝐻 = 90°. Пусть прямая 𝑃𝑄 пересекает касательную к 𝜔, проведенную в точке 𝐴, в точке 𝑆, а отрезки 𝑂𝑃 и 𝑂𝑄 пересекают отрезки 𝐵𝐻 и 𝐶𝐻 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что 𝑂𝑆 ‖ 𝑋𝑌.