#геом_разминка
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена медиана 𝐵𝑀. На касательной в точке 𝐶 к описанной окружности треугольника 𝐵𝑀𝐶 отмечена точка 𝐷 так, что ∠𝐶𝐵𝐷 = 90°. Отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝑀 пересекаются в точке 𝐸. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝐵𝐷𝐸 лежит на прямой 𝐴𝐶.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена медиана 𝐵𝑀. На касательной в точке 𝐶 к описанной окружности треугольника 𝐵𝑀𝐶 отмечена точка 𝐷 так, что ∠𝐶𝐵𝐷 = 90°. Отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝑀 пересекаются в точке 𝐸. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝐵𝐷𝐸 лежит на прямой 𝐴𝐶.
#геом_разминка
Задача. Серединный перпендикуляр к диагонали 𝐴𝐶 вписанного четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает прямые 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄. Докажите, что биссектрисы углов 𝐴𝐵𝐶 и 𝑃𝐵𝑄 совпадают.
Задача. Серединный перпендикуляр к диагонали 𝐴𝐶 вписанного четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает прямые 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄. Докажите, что биссектрисы углов 𝐴𝐵𝐶 и 𝑃𝐵𝑄 совпадают.
#своими_руками #конкурс
Мы в Туле!
Тула известна еще с XVII века своими самоварами и пряниками🎁
Когда то именно с самовара на ЛКТГ и начался наш канал. А сейчас нас уже больше полутора тысяч 🔥
Поэтому мы сделали для вас вкуснейший пряник с клубничным повидлом 🍓
Его получит победитель нашего мини-конкурса 🥳
Правила просты: предлагайте идеи, что мы можем еще сделать своими руками в комментариях с хэштегом #конкурс 👇
Идея непременно должна быть связана с математикой, но никакого счета в геоме🧮
Мы в Туле!
Тула известна еще с XVII века своими самоварами и пряниками
Когда то именно с самовара на ЛКТГ и начался наш канал. А сейчас нас уже больше полутора тысяч 🔥
Поэтому мы сделали для вас вкуснейший пряник с клубничным повидлом 🍓
Его получит победитель нашего мини-конкурса 🥳
Правила просты: предлагайте идеи, что мы можем еще сделать своими руками в комментариях с хэштегом #конкурс 👇
Идея непременно должна быть связана с математикой, но никакого счета в геоме
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Прямая, проходящая через центр 𝐼 вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, перпендикулярна 𝐴𝐼 и пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐶′ и 𝐵′ соответственно. В треугольниках треугольниках 𝐵𝐶′𝐼 и 𝐶𝐵′𝐼 провели высоты 𝐶′𝐶₁ и 𝐵′𝐵₁ соответственно. Пусть точка 𝑀 — середина отрезка 𝐵₁𝐶₁. Докажите, что 𝑀𝐼 ⊥ 𝐵𝐶.
Задача. Прямая, проходящая через центр 𝐼 вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, перпендикулярна 𝐴𝐼 и пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐶′ и 𝐵′ соответственно. В треугольниках треугольниках 𝐵𝐶′𝐼 и 𝐶𝐵′𝐼 провели высоты 𝐶′𝐶₁ и 𝐵′𝐵₁ соответственно. Пусть точка 𝑀 — середина отрезка 𝐵₁𝐶₁. Докажите, что 𝑀𝐼 ⊥ 𝐵𝐶.
#разминка
Задача. Квадратный трехчлен 𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏 имеет целые корни, по модулю большие 2. Докажите, что |𝑎 + 𝑏 + 1| — составное число.
Задача. Квадратный трехчлен 𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏 имеет целые корни, по модулю большие 2. Докажите, что |𝑎 + 𝑏 + 1| — составное число.
#геом_разминка #конкурс
Мы рады подвести итоги нашего недавнего конкурса. За идею сделать своими руками Сангаку награждается пряником Михаил Евдокимов🎁
Кто не знает, Сангаку — деревянные таблички с задачами, распространенные в XVII веке в Японии. Зачастую авторы табличек выставляли их в храмах — как подношение богам и как вызов другим прихожанам.
Кстати, сегодняшняя разминка как раз за авторством победителя нашего конкурса 🔥
Задача. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, точка 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐶. Прямая 𝐵𝑂 пересекает высоты 𝐴𝐴₁ и 𝐶𝐶₁ в точках 𝐻𝑎 и 𝐻𝑐 соответственно. Описанные окружности треугольников 𝐵𝐻𝑎𝐴 и 𝐵𝐻𝑐𝐶 вторично пересекаются в точке 𝐾. Докажите, что 𝐾 лежит на прямой 𝐵𝑀
Хорошего вам дня ☺️
Мы рады подвести итоги нашего недавнего конкурса. За идею сделать своими руками Сангаку награждается пряником Михаил Евдокимов
Кто не знает, Сангаку — деревянные таблички с задачами, распространенные в XVII веке в Японии. Зачастую авторы табличек выставляли их в храмах — как подношение богам и как вызов другим прихожанам.
Кстати, сегодняшняя разминка как раз за авторством победителя нашего конкурса 🔥
Задача. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, точка 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐶. Прямая 𝐵𝑂 пересекает высоты 𝐴𝐴₁ и 𝐶𝐶₁ в точках 𝐻𝑎 и 𝐻𝑐 соответственно. Описанные окружности треугольников 𝐵𝐻𝑎𝐴 и 𝐵𝐻𝑐𝐶 вторично пересекаются в точке 𝐾. Докажите, что 𝐾 лежит на прямой 𝐵𝑀
Хорошего вам дня ☺️
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#разминка
Задача. Можно ли на плоскости разместить +100500 парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость?
Задача. Можно ли на плоскости разместить +100500 парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость?
#разминка #в_стране_чудес
Задача. Среди 31 пирожка 30 с вишневым вареньем и один с мясом. Мышке Соне можно дать понюхать ровно пять пирожков, она безошибочно указывает начинку трех из них (на свое усмотрение), а потом мгновенно засыпает. Мышку можно будить сколько угодно раз и снова просить понюхать какие-нибудь пять пирожков. Алиса страшно не любит не сладкие пирожки, сможет ли она с помощью Сони определить пирожок с мясом?
Задача. Среди 31 пирожка 30 с вишневым вареньем и один с мясом. Мышке Соне можно дать понюхать ровно пять пирожков, она безошибочно указывает начинку трех из них (на свое усмотрение), а потом мгновенно засыпает. Мышку можно будить сколько угодно раз и снова просить понюхать какие-нибудь пять пирожков. Алиса страшно не любит не сладкие пирожки, сможет ли она с помощью Сони определить пирожок с мясом?
#разминка
Задача. Можно ли разрезать какой-нибудь правильный многоугольник на равные остроугольные неравнобедренные треугольники?
Задача. Можно ли разрезать какой-нибудь правильный многоугольник на равные остроугольные неравнобедренные треугольники?
#геом_разминка
Задача. На высоте 𝐴𝐻 внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶, отметили точку 𝑋. Оказалось, что 𝐴𝐵 + 𝐶𝑋 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝑋. Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный
Задача. На высоте 𝐴𝐻 внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶, отметили точку 𝑋. Оказалось, что 𝐴𝐵 + 𝐶𝑋 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝑋. Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный
#геом_разминка
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отмечена середина 𝑀 стороны 𝐵𝐶. Точка 𝐷 на стороне 𝐴𝐶 такова, что 𝐷𝑀 ⊥𝐵𝐶. Отрезки 𝐴𝑀 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑋. Оказалось, что 2𝐵𝑋 = 𝐴𝐶. Докажите, что 𝑋 — середина отрезка 𝐴𝑀.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отмечена середина 𝑀 стороны 𝐵𝐶. Точка 𝐷 на стороне 𝐴𝐶 такова, что 𝐷𝑀 ⊥𝐵𝐶. Отрезки 𝐴𝑀 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑋. Оказалось, что 2𝐵𝑋 = 𝐴𝐶. Докажите, что 𝑋 — середина отрезка 𝐴𝑀.
#геом_валентинка #по_факту
Один из авторов нашего канала нарисовал вот такую прикольную валентинку ❤️
Лемма о соосных окружностях. Даны две окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Окружность Γ проходит через точки 𝐴 и 𝐵. Пусть из точки 𝑋 лежащей на Γ можно провести касательные 𝑋𝑌 и 𝑋𝑍 к окружностям 𝜔₁ и 𝜔₂ соответственно. Тогда отношение отрезков 𝑋𝑌/𝑋𝑍 будет постоянно и не будет зависеть от выбора 𝑋.
Делитесь своими способами выразить свои чувства при помощи геометрии с тегом #геом_валентинка👇
Пусть отношения постоянно вас радуют! Любите геометрию и оставайтесь с "Фулл и точка"!
Один из авторов нашего канала нарисовал вот такую прикольную валентинку ❤️
Лемма о соосных окружностях. Даны две окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ пересекающиеся в точках 𝐴 и 𝐵. Окружность Γ проходит через точки 𝐴 и 𝐵. Пусть из точки 𝑋 лежащей на Γ можно провести касательные 𝑋𝑌 и 𝑋𝑍 к окружностям 𝜔₁ и 𝜔₂ соответственно. Тогда отношение отрезков 𝑋𝑌/𝑋𝑍 будет постоянно и не будет зависеть от выбора 𝑋.
Делитесь своими способами выразить свои чувства при помощи геометрии с тегом #геом_валентинка👇
Пусть отношения постоянно вас радуют! Любите геометрию и оставайтесь с "Фулл и точка"!
#разминка #в_стране_чудес #день_валентина
Задача. У Королевы Червей есть гвардия из 52 карт-стражей. Среди них есть четыре масти: пики, черви, крести и бубны, каждая из которых имеет карты-стражи с номерами 1, 2, . . . , 13. Королева решает устроить суд над пятью стражами (какими заранее не известно).
Однако, Алисе и Мартовскому Зайцу заранее известны правила суда.
До прихода Алисы Королева в присутствии Зайца выбирает пять карт, которые собирается судить. Затем Королева разрешает Зайцу выбрать четырех из пяти обвиняемых и расставить их в определенном порядке. Пятого обвиняемого уводят в чулан, после чего впускают Алису в зал.
Если Алиса, глядя только на четырех обвиняемых и их порядок, называет с первой попытки масть и номер стража заточенного в чулане, то всех арестантов милуют. Иначе — казнят.
Могут ли Алиса и Заяц договориться заранее так, чтобы гарантировать помилование всем заключенным?
Задача. У Королевы Червей есть гвардия из 52 карт-стражей. Среди них есть четыре масти: пики, черви, крести и бубны, каждая из которых имеет карты-стражи с номерами 1, 2, . . . , 13. Королева решает устроить суд над пятью стражами (какими заранее не известно).
Однако, Алисе и Мартовскому Зайцу заранее известны правила суда.
До прихода Алисы Королева в присутствии Зайца выбирает пять карт, которые собирается судить. Затем Королева разрешает Зайцу выбрать четырех из пяти обвиняемых и расставить их в определенном порядке. Пятого обвиняемого уводят в чулан, после чего впускают Алису в зал.
Если Алиса, глядя только на четырех обвиняемых и их порядок, называет с первой попытки масть и номер стража заточенного в чулане, то всех арестантов милуют. Иначе — казнят.
Могут ли Алиса и Заяц договориться заранее так, чтобы гарантировать помилование всем заключенным?
Сонная #геом_разминка
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐻 — высота, а 𝐴𝑀 — медиана. Точки 𝑋 и 𝑌 на прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно таковы, что 𝐴𝑋 = 𝑋𝐶 и 𝐴𝑌 = 𝑌𝐵. Докажите, что середина 𝑋𝑌 равноудалена от 𝐻 и 𝑀.
Желаем и вам выспаться сегодня!
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐻 — высота, а 𝐴𝑀 — медиана. Точки 𝑋 и 𝑌 на прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно таковы, что 𝐴𝑋 = 𝑋𝐶 и 𝐴𝑌 = 𝑌𝐵. Докажите, что середина 𝑋𝑌 равноудалена от 𝐻 и 𝑀.
Желаем и вам выспаться сегодня!
#геом_разминка
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. Окружность, проходящая через вершины 𝐴 и 𝐷, пересекает прямые 𝐴𝐵, 𝐵𝐷, 𝐴𝐶, 𝐶𝐷 в точках 𝐵₁, 𝐵₂, 𝐶₁, 𝐶₂ соответственно. Прямые 𝐵₁𝐵₂ и 𝐶₁𝐶₂ пересекаются в точке 𝐾. Докажите, что точка 𝐾 равноудалена от прямых 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷.
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. Окружность, проходящая через вершины 𝐴 и 𝐷, пересекает прямые 𝐴𝐵, 𝐵𝐷, 𝐴𝐶, 𝐶𝐷 в точках 𝐵₁, 𝐵₂, 𝐶₁, 𝐶₂ соответственно. Прямые 𝐵₁𝐵₂ и 𝐶₁𝐶₂ пересекаются в точке 𝐾. Докажите, что точка 𝐾 равноудалена от прямых 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷.
#геом_разминка
Задача. Правильный шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 вписан в окружность. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках 𝐴 и 𝐷 соответственно, так, что прямая 𝑃𝑄 касается меньшей дуги 𝐸𝐹 этой окружности. Найдите угол между прямыми 𝑃𝐵 и 𝑄𝐶.
Задача. Правильный шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 вписан в окружность. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках 𝐴 и 𝐷 соответственно, так, что прямая 𝑃𝑄 касается меньшей дуги 𝐸𝐹 этой окружности. Найдите угол между прямыми 𝑃𝐵 и 𝑄𝐶.