#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐻 — ортоцентр остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, 𝐹 — основание высоты из 𝐶 на 𝐴𝐵, и пусть 𝑃 — отражение 𝐻 относительно 𝐵𝐶. Предположим, что окружность, описанная около треугольника 𝐴𝐹𝑃, пересекает прямую 𝐵𝐶 в двух различных точках 𝑋 и 𝑌. Докажите, что 𝐶 — середина 𝑋𝑌.
Задача. Пусть 𝐻 — ортоцентр остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, 𝐹 — основание высоты из 𝐶 на 𝐴𝐵, и пусть 𝑃 — отражение 𝐻 относительно 𝐵𝐶. Предположим, что окружность, описанная около треугольника 𝐴𝐹𝑃, пересекает прямую 𝐵𝐶 в двух различных точках 𝑋 и 𝑌. Докажите, что 𝐶 — середина 𝑋𝑌.
#разминка #в_стране_чудес
Задача. Карта столицы Страны Чудес представляет собой квадрат, разбитый на равные квадратики-кварталы. Всего по вертикали 101 квадратик и по гороизонтали тоже.
Средняя температура в апреле в каждом из этих кварталов равна 20°C. Однако в 2025 году Зима после Масленицы решила не уходить и заморозила центральный квартал города, опустив в нем температу до 0°C (остальные кварталы на момент заморозки так и остались с температурой 20°C).
В каждую последующую после заморозки наносекунду происходят следующие события в таком порядке:
1. Для каждого квартала, кроме центрального (в нем температура всегда 0°C), новая температура вычисляется как среднее арифметическое температур соседних кварталов (тех, которые имеют общую сторону).
2. Все температуры (кроме центрального квартала) одновременно обновляются до рассчитанных значений.
Алиса может свободно перемещаться между кварталами, но замерзнет, если температура во всех кварталах упадет ниже 10⁻²⁰²⁵ градусов. Заморозки продлятся 10⁷⁵ наносекунд, после чего температура всюду вернется к привычным 20°C.
Удастся ли Алисе не замерзнуть в апреле?
Задача. Карта столицы Страны Чудес представляет собой квадрат, разбитый на равные квадратики-кварталы. Всего по вертикали 101 квадратик и по гороизонтали тоже.
Средняя температура в апреле в каждом из этих кварталов равна 20°C. Однако в 2025 году Зима после Масленицы решила не уходить и заморозила центральный квартал города, опустив в нем температу до 0°C (остальные кварталы на момент заморозки так и остались с температурой 20°C).
В каждую последующую после заморозки наносекунду происходят следующие события в таком порядке:
1. Для каждого квартала, кроме центрального (в нем температура всегда 0°C), новая температура вычисляется как среднее арифметическое температур соседних кварталов (тех, которые имеют общую сторону).
2. Все температуры (кроме центрального квартала) одновременно обновляются до рассчитанных значений.
Алиса может свободно перемещаться между кварталами, но замерзнет, если температура во всех кварталах упадет ниже 10⁻²⁰²⁵ градусов. Заморозки продлятся 10⁷⁵ наносекунд, после чего температура всюду вернется к привычным 20°C.
Удастся ли Алисе не замерзнуть в апреле?
#геом_разминка
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑃 и 𝑄 лежат на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно, так что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 касается 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Пусть 𝐸 лежит на стороне 𝐵𝐶 так, что 𝐵𝐷 = 𝐸𝐶. Прямая 𝐷𝑃 снова пересекает описанную окружность треугольника 𝐶𝐷𝑄 в точке 𝑋, а прямая 𝐷𝑄 снова пересекает описанную окружность треугольника 𝐵𝐷𝑃 в точке 𝑌.
Докажите, что 𝐷, 𝐸, 𝑋 и 𝑌 лежат на одной окружности.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑃 и 𝑄 лежат на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно, так что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 касается 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Пусть 𝐸 лежит на стороне 𝐵𝐶 так, что 𝐵𝐷 = 𝐸𝐶. Прямая 𝐷𝑃 снова пересекает описанную окружность треугольника 𝐶𝐷𝑄 в точке 𝑋, а прямая 𝐷𝑄 снова пересекает описанную окружность треугольника 𝐵𝐷𝑃 в точке 𝑌.
Докажите, что 𝐷, 𝐸, 𝑋 и 𝑌 лежат на одной окружности.
#разминка
Задача. Можно ли изобразить пятиконечную звезду (см. рисунок) так, чтобы длины отрезков 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐸, 𝐸𝐹, 𝐹𝐺, 𝐺𝐻, 𝐻𝐼, 𝐼𝐽, 𝐽𝐴 составляли десять последовательных натуральных чисел?
Поздравляем всех с Днем космонавтики 🚀 Начните свой путь к звездам уже сегодня ✨
Задача. Можно ли изобразить пятиконечную звезду (см. рисунок) так, чтобы длины отрезков 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐸, 𝐸𝐹, 𝐹𝐺, 𝐺𝐻, 𝐻𝐼, 𝐼𝐽, 𝐽𝐴 составляли десять последовательных натуральных чисел?
Поздравляем всех с Днем космонавтики 🚀 Начните свой путь к звездам уже сегодня ✨
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑂 — центр окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 и Γ — окружности треугольника 𝐵𝑂𝐶. Предположим, что Γ пересекает прямую 𝐴𝐵 в точке 𝑃, отличной от точки 𝐵, и прямую 𝐴𝐶 в точке 𝑄, отличной от точки 𝐶. Пусть 𝑂𝑁 — диаметр окружности Γ.
Докажите, что четырехугольник 𝐴𝑃𝑁𝑄 является параллелограммом.
Удачи всем участникам устной олимпиады по геометрии 🍀
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑂 — центр окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 и Γ — окружности треугольника 𝐵𝑂𝐶. Предположим, что Γ пересекает прямую 𝐴𝐵 в точке 𝑃, отличной от точки 𝐵, и прямую 𝐴𝐶 в точке 𝑄, отличной от точки 𝐶. Пусть 𝑂𝑁 — диаметр окружности Γ.
Докажите, что четырехугольник 𝐴𝑃𝑁𝑄 является параллелограммом.
Удачи всем участникам устной олимпиады по геометрии 🍀
Сегодня состоялась устная олимпиада по геометрии 📐 Делимся условиями олимпиады 🔥
А задачи и итоги тура вы, как всегда, можете обсудить в комментах 👇
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, противолежащие стороны которого не параллельны, вписан в окружность. Пусть 𝑋𝑌 — произвольный диаметр этой окружности, 𝑃 — проекция точки 𝑋 на прямую 𝐴𝐵, 𝑄 — проекция точки 𝑌 на прямую 𝐶𝐷. Найдите ГМТ середин отрезков 𝑃𝑄.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 биссектрисы 𝐵𝐹 и 𝐶𝐸 пересекаются в точке 𝐼, 𝐺 — середина 𝐸𝐹 , 𝐾 — точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, проведенных в точках 𝐵 и 𝐶. Докажите, что точки 𝐾, 𝐼 и 𝐺 лежат на одной прямой.
А задачи и итоги тура вы, как всегда, можете обсудить в комментах 👇
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, противолежащие стороны которого не параллельны, вписан в окружность. Пусть 𝑋𝑌 — произвольный диаметр этой окружности, 𝑃 — проекция точки 𝑋 на прямую 𝐴𝐵, 𝑄 — проекция точки 𝑌 на прямую 𝐶𝐷. Найдите ГМТ середин отрезков 𝑃𝑄.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 биссектрисы 𝐵𝐹 и 𝐶𝐸 пересекаются в точке 𝐼, 𝐺 — середина 𝐸𝐹 , 𝐾 — точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, проведенных в точках 𝐵 и 𝐶. Докажите, что точки 𝐾, 𝐼 и 𝐺 лежат на одной прямой.
#геом_разминка
Публикуем еще одну задачу со вчерашнего тура устной по геометрии.
Задача. Пусть равные правильные треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐷𝐸𝐹 пересекаются по шестиугольнику 𝐾𝐽𝐼𝐻𝐺𝐿 (см. рис.). Известно, что биссектриса угла 𝐻𝐺𝐿 проходит через 𝐽, а биссектриса угла 𝐻𝐼𝐽 — через 𝐿. Докажите, что вписанные окружности этих треугольников совпадают.
Желаем вам хорошего настроения и побольше правильных решений👨🎓
Публикуем еще одну задачу со вчерашнего тура устной по геометрии.
Задача. Пусть равные правильные треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐷𝐸𝐹 пересекаются по шестиугольнику 𝐾𝐽𝐼𝐻𝐺𝐿 (см. рис.). Известно, что биссектриса угла 𝐻𝐺𝐿 проходит через 𝐽, а биссектриса угла 𝐻𝐼𝐽 — через 𝐿. Докажите, что вписанные окружности этих треугольников совпадают.
Желаем вам хорошего настроения и побольше правильных решений
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#разминка
Задача. На доске 2𝑛 × 2𝑛 стоит красная фишка. За один ход фишка либо передвигается ходом шахматного коня и не изменяет свой цвет, либо передвигается ходом шахматного слона и изменяет свой цвет с красного иа синий или с синего на красный. Через некоторое время оказалось что фишка побывала на всех клетках доски ровно дважды.
Докажите, что число клеток, на каждой из которых фишка побывала и синей, и красной, чётное.
Задача. На доске 2𝑛 × 2𝑛 стоит красная фишка. За один ход фишка либо передвигается ходом шахматного коня и не изменяет свой цвет, либо передвигается ходом шахматного слона и изменяет свой цвет с красного иа синий или с синего на красный. Через некоторое время оказалось что фишка побывала на всех клетках доски ровно дважды.
Докажите, что число клеток, на каждой из которых фишка побывала и синей, и красной, чётное.
#геом_разминка
#уголки_планеты
Сегодня вспоминаем поездку во Владимир — столицу одного из самых первых русских княжеств 🦁
Задача. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 выполняются равенства: ∠𝐶𝐵𝐷 = ∠𝐶𝐴𝐵 и ∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐵. Докажите, что из отрезков 𝐵𝐶, 𝐴𝐷 и 𝐴𝐶 можно сложить прямоугольный треугольник.
#уголки_планеты
Сегодня вспоминаем поездку во Владимир — столицу одного из самых первых русских княжеств 🦁
Задача. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 выполняются равенства: ∠𝐶𝐵𝐷 = ∠𝐶𝐴𝐵 и ∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐵. Докажите, что из отрезков 𝐵𝐶, 𝐴𝐷 и 𝐴𝐶 можно сложить прямоугольный треугольник.
Известно, что меч статуи Родины в Волгограде подвергался сильным колебаниям, поэтому его переделали по рекомендации этого великого математика. Назовите его
Anonymous Quiz
51%
Мстислав Всеволодович Келдыш
34%
Иван Валерьевич Ященко
15%
Виктор Пересиукин
Наум Яковлевич Виленкин создал курс высшей математики. Сама идея этого курса состояла в том, что лекции по различным разделам математики читали лучшие специалисты того времени. Как вы думаете где?
Anonymous Quiz
24%
В уведомлениях от Т-Банка
58%
По телевидению
18%
В паблике «Фулл и точка»
#геом_разминка
Сегодня состоится первый тур финала по математике. Присоединяемся к словам "короля математиков"👑 Карла Фридриха Гаусса и желаем всем участникам олимпиады удачи ☘️
А в качестве разминки великий ученый оставил специально для вас такую задачку:
Задача. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 серединные перпендикуляры к 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑃, а серединные перпендикуляры к 𝐵𝐶 и 𝐷𝐴 — в точке 𝑄. Докажите, что прямая 𝑃𝑄 перпендикулярна прямой Гаусса четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Сегодня состоится первый тур финала по математике. Присоединяемся к словам "короля математиков"
А в качестве разминки великий ученый оставил специально для вас такую задачку:
Задача. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 серединные перпендикуляры к 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑃, а серединные перпендикуляры к 𝐵𝐶 и 𝐷𝐴 — в точке 𝑄. Докажите, что прямая 𝑃𝑄 перпендикулярна прямой Гаусса четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM