#разминка
Нашли интересные ограничители тротуара в Тбилиси.
Задача. Некоторые вершины икосаэдра нужно пометить так, чтобы каждая грань содержала помеченную вершину. Каково наименьшее число помеченных вершин, для которого это возможно?
Нашли интересные ограничители тротуара в Тбилиси.
Задача. Некоторые вершины икосаэдра нужно пометить так, чтобы каждая грань содержала помеченную вершину. Каково наименьшее число помеченных вершин, для которого это возможно?
#разминка
Задача. Две прямые линии делят квадрат со стороной 1 на четыре области. Покажите, что по крайней мере одна из областей имеет периметр, больший или равный 2.
Задача. Две прямые линии делят квадрат со стороной 1 на четыре области. Покажите, что по крайней мере одна из областей имеет периметр, больший или равный 2.
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с ∠𝐵𝐴𝐶 = 60°. Описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 — Ω, а ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶 — 𝐻. Пусть 𝑆 обозначает середину дуги 𝐵𝐶 треугольника Ω, которая не содержит 𝐴. Точка 𝑃 выбрана на Ω так, что ∠𝐻𝑃𝑆 = 90°. Докажите, что существует окружность, проходящая через 𝑃 и 𝑆 и касающаяся прямых 𝐴𝐵, 𝐴𝐶.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с ∠𝐵𝐴𝐶 = 60°. Описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 — Ω, а ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶 — 𝐻. Пусть 𝑆 обозначает середину дуги 𝐵𝐶 треугольника Ω, которая не содержит 𝐴. Точка 𝑃 выбрана на Ω так, что ∠𝐻𝑃𝑆 = 90°. Докажите, что существует окружность, проходящая через 𝑃 и 𝑆 и касающаяся прямых 𝐴𝐵, 𝐴𝐶.
#геом_разминка
Задача. Пусть точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 лежат на прямой в указанном порядке. 𝐴𝐵 — диаметр полуокружности 𝜔₁, 𝐴𝐶 — диаметр полуокружности 𝜔₂. Предположим, что 𝜔₁ и 𝜔₂ лежат по одну сторону от 𝐴𝐶. 𝐷 — точка на 𝜔₂ такая, что 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶. Окружность с центром в точке 𝐵 и радиусом 𝐵𝐷 пересекает 𝜔₁ в точке 𝐸. Точка 𝐹 выбрана на 𝐴𝐶 так, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐵𝐶 = 𝐵𝐹.
Задача. Пусть точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 лежат на прямой в указанном порядке. 𝐴𝐵 — диаметр полуокружности 𝜔₁, 𝐴𝐶 — диаметр полуокружности 𝜔₂. Предположим, что 𝜔₁ и 𝜔₂ лежат по одну сторону от 𝐴𝐶. 𝐷 — точка на 𝜔₂ такая, что 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶. Окружность с центром в точке 𝐵 и радиусом 𝐵𝐷 пересекает 𝜔₁ в точке 𝐸. Точка 𝐹 выбрана на 𝐴𝐶 так, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐵𝐶 = 𝐵𝐹.
#геом_разминка
Задача. Дана пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, основанием которой является выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 с перпендикулярными диагоналями 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷, а ортогональной проекцией вершины 𝑆 на основание является точка 𝑂 пересечения диагоналей основания. Докажите, что ортогональные проекции точки 𝑂 на боковые грани пирамиды лежат на окружности.
Задача. Дана пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, основанием которой является выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 с перпендикулярными диагоналями 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷, а ортогональной проекцией вершины 𝑆 на основание является точка 𝑂 пересечения диагоналей основания. Докажите, что ортогональные проекции точки 𝑂 на боковые грани пирамиды лежат на окружности.
#геом_разминка #красота_спасет_мир
Задача. Пусть Ω — описанная окружность разностороннего треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝜔 — окружность, касающаяся внутренним образом Ω в 𝐴. Касательные из 𝐵 касаются 𝜔 в 𝑃 и 𝑄, так что 𝑃 лежит внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶. Аналогично, касательные из 𝐶 касаются 𝜔 в 𝑅 и 𝑆, так что 𝑅 лежит внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑃𝑆 и 𝑄𝑅 пересекаются на биссектрисе ∠𝐵𝐴𝐶.
Задача. Пусть Ω — описанная окружность разностороннего треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝜔 — окружность, касающаяся внутренним образом Ω в 𝐴. Касательные из 𝐵 касаются 𝜔 в 𝑃 и 𝑄, так что 𝑃 лежит внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶. Аналогично, касательные из 𝐶 касаются 𝜔 в 𝑅 и 𝑆, так что 𝑅 лежит внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑃𝑆 и 𝑄𝑅 пересекаются на биссектрисе ∠𝐵𝐴𝐶.
#геом_разминка
Задача от авторов канала, которая была на туркменской 🇹🇲 олимпиаде в этом году
Задача. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. На 𝜔₁ отмечена точка 𝐶 и на 𝜔₂ отмечена точка 𝐷 так, что ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐷𝐴𝐵. 𝑃 — точка пересесчения касательных из точек 𝐵 и 𝐶, 𝑄 — точка пересечения касательных к 𝜔₂ из точек 𝐵 и 𝐷. Докажите, что прямая 𝐴𝐵 проходит через середину отрезка 𝑃𝑄.
Задача от авторов канала, которая была на туркменской 🇹🇲 олимпиаде в этом году
Задача. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. На 𝜔₁ отмечена точка 𝐶 и на 𝜔₂ отмечена точка 𝐷 так, что ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐷𝐴𝐵. 𝑃 — точка пересесчения касательных из точек 𝐵 и 𝐶, 𝑄 — точка пересечения касательных к 𝜔₂ из точек 𝐵 и 𝐷. Докажите, что прямая 𝐴𝐵 проходит через середину отрезка 𝑃𝑄.
#геом_разминка
Задача. Медианы треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐺. Прямая, параллельная 𝐵𝐶, проходящая через 𝐺, пересекает описанную окружность 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐷. Пусть прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐸. На 𝐵𝐶 выбрана точка 𝑃 так, что касательная к описанной окружности 𝐷𝐸𝑃 в точке 𝐷, касательная к описанной окружности 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐴 и 𝐵𝐶 пересекаются. Докажите, что 𝐺𝑃 = 𝑃𝐷.
Задача. Медианы треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐺. Прямая, параллельная 𝐵𝐶, проходящая через 𝐺, пересекает описанную окружность 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐷. Пусть прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐸. На 𝐵𝐶 выбрана точка 𝑃 так, что касательная к описанной окружности 𝐷𝐸𝑃 в точке 𝐷, касательная к описанной окружности 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐴 и 𝐵𝐶 пересекаются. Докажите, что 𝐺𝑃 = 𝑃𝐷.
#геом_разминка
Задача. Продолжения боковых сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 > 𝐵𝐶) пересекаются в точке 𝑃. На отрезке 𝐴𝐷 нашлась такая точка 𝑄, что 𝐵𝑄 = 𝐶𝑄. Докажите, что 𝑃 лежит на радикальной оси окружностей описанных около 𝐴𝑄𝐶 и 𝐵𝑄𝐷.
Задача. Продолжения боковых сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 > 𝐵𝐶) пересекаются в точке 𝑃. На отрезке 𝐴𝐷 нашлась такая точка 𝑄, что 𝐵𝑄 = 𝐶𝑄. Докажите, что 𝑃 лежит на радикальной оси окружностей описанных около 𝐴𝑄𝐶 и 𝐵𝑄𝐷.
#геом_разминка
Публикуем задачи и решения уральского турнира⚔️ , прошедшего на майских праздниках. Кстати, сегодняшняя разминка как раз оттуда.
Задача. Точка 𝐸 лежит на стороне 𝐶𝐷 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, проведённая через точку 𝐶 перпендикулярно 𝐵𝐸, и прямая, проведенная через точку 𝐷 перпендикулярно 𝐴𝐸, пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑀 — середина отрезка 𝑃𝐸. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из 𝑀 на 𝐶𝐷, проходит через центр параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷.
UPD: Как оказалось, эта задача авторства Матвея Зорько предлагалась на белорусской олимпиаде в этом году и появлялась в классном паблике наших друзей
Публикуем задачи и решения уральского турнира
Задача. Точка 𝐸 лежит на стороне 𝐶𝐷 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, проведённая через точку 𝐶 перпендикулярно 𝐵𝐸, и прямая, проведенная через точку 𝐷 перпендикулярно 𝐴𝐸, пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑀 — середина отрезка 𝑃𝐸. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из 𝑀 на 𝐶𝐷, проходит через центр параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷.
UPD: Как оказалось, эта задача авторства Матвея Зорько предлагалась на белорусской олимпиаде в этом году и появлялась в классном паблике наших друзей
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором углы 𝐴 и 𝐷 острые и 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Оказалось, что ∠𝐵𝐷𝐴 = 30°. Докажите, что ∠𝐷𝐴𝐶 = 30°.
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором углы 𝐴 и 𝐷 острые и 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Оказалось, что ∠𝐵𝐷𝐴 = 30°. Докажите, что ∠𝐷𝐴𝐶 = 30°.
#геом_разминка
Задача. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝑃𝑄 ‖ 𝐵𝐶. На отрезках 𝐵𝑄 и 𝐶𝑃 отмечены точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что ∠𝐴𝑋𝑃 = ∠𝑋𝐶𝐵 и ∠𝐴𝑌𝑄 = ∠𝑌𝐵𝐶. Докажите, что 𝐴𝑋 = 𝐴𝑌.
Задача. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно, причём 𝑃𝑄 ‖ 𝐵𝐶. На отрезках 𝐵𝑄 и 𝐶𝑃 отмечены точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что ∠𝐴𝑋𝑃 = ∠𝑋𝐶𝐵 и ∠𝐴𝑌𝑄 = ∠𝑌𝐵𝐶. Докажите, что 𝐴𝑋 = 𝐴𝑌.
В догонку публикуем геому, которая сегодня была на туре
Майский мастер (он же — суперфинал всеросса) — первая (после всеросса) ступень отбора в национальную команду России 💪
По итогам двухдневной олимпиады часть участников будет приглашена на летние сборы
Задача. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 равны. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐾, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐿. Точка 𝑀 выбрана на продолжении отрезка 𝐷𝐴 за точку 𝐴 так, что 𝐴𝑀 = 𝐷𝐿. Внешняя биссектриса угла 𝐴𝐾𝐷 пересекает луч 𝐶𝐵 в точке 𝑁. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐿𝑀𝑁 и 𝐾𝐴𝐷 касаются.
Майский мастер (он же — суперфинал всеросса) — первая (после всеросса) ступень отбора в национальную команду России 💪
По итогам двухдневной олимпиады часть участников будет приглашена на летние сборы
Задача. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 равны. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐾, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐿. Точка 𝑀 выбрана на продолжении отрезка 𝐷𝐴 за точку 𝐴 так, что 𝐴𝑀 = 𝐷𝐿. Внешняя биссектриса угла 𝐴𝐾𝐷 пересекает луч 𝐶𝐵 в точке 𝑁. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐿𝑀𝑁 и 𝐾𝐴𝐷 касаются.
#геом_разминка
Задача. На стороне квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝐸, а на продолжении стороны 𝐵𝐶 за точку — точка 𝐹, причем ∠𝐴𝐷𝐹 = 2∠𝐶𝐷𝐸. Докажите, что 𝐵𝐸 < 𝐶𝐹.
Задача. На стороне квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝐸, а на продолжении стороны 𝐵𝐶 за точку — точка 𝐹, причем ∠𝐴𝐷𝐹 = 2∠𝐶𝐷𝐸. Докажите, что 𝐵𝐸 < 𝐶𝐹.