#разминка
Сегодня у нас в разминке — задачка P4 c только что прошедшего второго тура межнара.
Задача. Собственный делитель натурального числа 𝑁 — это положительный делитель числа 𝑁, отличный от самого числа 𝑁.
Бесконечная последовательность 𝑎₁, 𝑎₂, . . . состоит из натуральных чисел, каждое из которых имеет не менее трёх собственных делителей. Для каждого 𝑛 ≥ 1 число 𝑎ₙ₊₁ равно сумме трёх наибольших собственных делителей числа 𝑎ₙ.
Определите все возможные значения числа 𝑎₁.
Сегодня у нас в разминке — задачка P4 c только что прошедшего второго тура межнара.
Задача. Собственный делитель натурального числа 𝑁 — это положительный делитель числа 𝑁, отличный от самого числа 𝑁.
Бесконечная последовательность 𝑎₁, 𝑎₂, . . . состоит из натуральных чисел, каждое из которых имеет не менее трёх собственных делителей. Для каждого 𝑛 ≥ 1 число 𝑎ₙ₊₁ равно сумме трёх наибольших собственных делителей числа 𝑎ₙ.
Определите все возможные значения числа 𝑎₁.
❤9❤🔥4😁2🐳2
#красота_спасет_мир
Для тех, кому мало геомы на сегодня предлагаем посмотртеть 👀 на шортлист прошлого года. Среди задач встретился шедевр 🖼 от нашего друга и коллеги Давида Бродского — задача G5.
Задача G5. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼, а Ω — описанная окружность треугольника 𝐵𝐼𝐶. Пусть 𝐾 — точка на отрезке 𝐵𝐶 такая, что ∠𝐵𝐴𝐾 < ∠𝐾𝐴𝐶. Предположим, что биссектриса угла ∠𝐵𝐾𝐴 пересекает Ω в точках 𝑊 и 𝑋, причем 𝐴 и 𝑊 лежат по одну сторону от 𝐵𝐶, а биссектриса угла ∠𝐶𝐾𝐴 пересекает Ω в точках 𝑌 и 𝑍, причем 𝐴 и 𝑌 лежат по одну сторону от 𝐵𝐶. Докажите, что ∠𝑊𝐴𝑌 = ∠𝑍𝐴𝑋.
Задача G4. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — четырёхугольник в котором сторона 𝐴𝐵 параллельна 𝐶𝐷 и 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷. Прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑋, отличная от 𝐶, лежит на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, причем 𝑃𝐶 = 𝑃𝑋. Точка 𝑌, отличная от 𝐷, лежит на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐷, причем 𝑃𝐷 = 𝑃𝑌. Прямые 𝐴𝑋 и 𝐵𝑌 пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что прямая 𝑃𝑄 параллельна 𝐴𝐵.
Задача G1. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — вписанный четырёхугольник, удовлетворяющий условиям 𝐴𝐶 < 𝐵𝐷 < 𝐴𝐷 и ∠𝐷𝐵𝐴 < 90°. Точка 𝐸 взята на прямой, проходящей через 𝐷 параллельно 𝐴𝐵 так, что 𝐸 и 𝐶 лежат по разные стороны от прямой 𝐴𝐷, причём 𝐴𝐶 = 𝐷𝐸. Точка 𝐹 взята на прямой, проходящей через 𝐴 параллельно 𝐶𝐷 так, что 𝐹 и 𝐶 лежат по разные стороны от прямой 𝐴𝐷, причём 𝐵𝐷 = 𝐴𝐹. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам 𝐵𝐶 и 𝐸𝐹 пересекаются на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Для тех, кому мало геомы на сегодня предлагаем посмотртеть 👀 на шортлист прошлого года. Среди задач встретился шедевр 🖼 от нашего друга и коллеги Давида Бродского — задача G5.
Задача G5. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼, а Ω — описанная окружность треугольника 𝐵𝐼𝐶. Пусть 𝐾 — точка на отрезке 𝐵𝐶 такая, что ∠𝐵𝐴𝐾 < ∠𝐾𝐴𝐶. Предположим, что биссектриса угла ∠𝐵𝐾𝐴 пересекает Ω в точках 𝑊 и 𝑋, причем 𝐴 и 𝑊 лежат по одну сторону от 𝐵𝐶, а биссектриса угла ∠𝐶𝐾𝐴 пересекает Ω в точках 𝑌 и 𝑍, причем 𝐴 и 𝑌 лежат по одну сторону от 𝐵𝐶. Докажите, что ∠𝑊𝐴𝑌 = ∠𝑍𝐴𝑋.
Задача G4. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — четырёхугольник в котором сторона 𝐴𝐵 параллельна 𝐶𝐷 и 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷. Прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑋, отличная от 𝐶, лежит на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, причем 𝑃𝐶 = 𝑃𝑋. Точка 𝑌, отличная от 𝐷, лежит на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐷, причем 𝑃𝐷 = 𝑃𝑌. Прямые 𝐴𝑋 и 𝐵𝑌 пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что прямая 𝑃𝑄 параллельна 𝐴𝐵.
Задача G1. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — вписанный четырёхугольник, удовлетворяющий условиям 𝐴𝐶 < 𝐵𝐷 < 𝐴𝐷 и ∠𝐷𝐵𝐴 < 90°. Точка 𝐸 взята на прямой, проходящей через 𝐷 параллельно 𝐴𝐵 так, что 𝐸 и 𝐶 лежат по разные стороны от прямой 𝐴𝐷, причём 𝐴𝐶 = 𝐷𝐸. Точка 𝐹 взята на прямой, проходящей через 𝐴 параллельно 𝐶𝐷 так, что 𝐹 и 𝐶 лежат по разные стороны от прямой 𝐴𝐷, причём 𝐵𝐷 = 𝐴𝐹. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам 𝐵𝐶 и 𝐸𝐹 пересекаются на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷.
❤9🥰3🔥2❤🔥1👍1
Какая геома из ISL 2024 нравится вам больше всего?
Anonymous Poll
4%
G1
3%
G2
2%
G3
4%
G4
22%
G5
2%
G6
2%
G7
9%
G8
53%
вариант для комбинаторов
❤8❤🔥2🔥2🥴2👍1
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 и точки 𝐾 и 𝐿 на его сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно такие, что 𝐵𝐾 = 𝐶𝐿. Отрезки 𝐵𝐿 и 𝐾 пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑁 на отрезке 𝐴𝐿 такова, что 𝑁𝐿 = 𝐴𝐾. Найдите ∠𝐵𝐴𝐶, если известно, что ∠𝑃𝑁𝐶 = 𝛼.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 и точки 𝐾 и 𝐿 на его сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно такие, что 𝐵𝐾 = 𝐶𝐿. Отрезки 𝐵𝐿 и 𝐾 пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑁 на отрезке 𝐴𝐿 такова, что 𝑁𝐿 = 𝐴𝐾. Найдите ∠𝐵𝐴𝐶, если известно, что ∠𝑃𝑁𝐶 = 𝛼.
🥰7❤3👍1🤝1
#геом_разминка
Задачка с межнара напомнила нам вот такую с Иранской олимпиады 2016 года.
Задача. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Касательная к окружности 𝜔₁ в точке 𝐴 пересекает 𝜔₂ в точке 𝐶; касательная к окружности 𝜔₂ в точке 𝐴 пересекает 𝜔₁ в точке 𝐷. Биссектриса угла 𝐶𝐴𝐷 пересекает 𝜔₁ и 𝜔₂ в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Внешняя биссектриса угла 𝐶𝐴𝐷 пересекает 𝜔₁ и 𝜔₂ в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку 𝑋𝑌 касается описанной окружности треугольника 𝐵𝐸𝐹.
Задачка с межнара напомнила нам вот такую с Иранской олимпиады 2016 года.
Задача. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Касательная к окружности 𝜔₁ в точке 𝐴 пересекает 𝜔₂ в точке 𝐶; касательная к окружности 𝜔₂ в точке 𝐴 пересекает 𝜔₁ в точке 𝐷. Биссектриса угла 𝐶𝐴𝐷 пересекает 𝜔₁ и 𝜔₂ в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Внешняя биссектриса угла 𝐶𝐴𝐷 пересекает 𝜔₁ и 𝜔₂ в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку 𝑋𝑌 касается описанной окружности треугольника 𝐵𝐸𝐹.
❤9🍓5❤🔥4👍3🤝1
#геом_разминка
Задача. Дан вписанный в окружность с центром в 𝑂 четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали которого пересекаются в точке 𝑀. Описанная окружность 𝐴𝐵𝑀 пересекает отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝑁 соответственно. Докажите, что площади 𝐾𝑂𝑀𝐶 и 𝑀𝑂𝑁𝐷 равны.
Задача. Дан вписанный в окружность с центром в 𝑂 четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали которого пересекаются в точке 𝑀. Описанная окружность 𝐴𝐵𝑀 пересекает отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝑁 соответственно. Докажите, что площади 𝐾𝑂𝑀𝐶 и 𝑀𝑂𝑁𝐷 равны.
❤11🥰2🤝1
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐻 — ортоцентр остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝑃 и 𝑄 взяты на меньшей дуге 𝐵𝐶 описанной окружности 𝐴𝐵𝐶 так, что ∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝐶𝐴𝑄. Пусть 𝑋 и 𝑌 — основания перпендикуляров из 𝐻 на 𝐴𝑃 и 𝐴𝑄 соответственно. Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑋 и 𝑌 лежат на одной окружности с центром в 𝑀, где 𝑀 — середина 𝐵𝐶.
Задача. Пусть 𝐻 — ортоцентр остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝑃 и 𝑄 взяты на меньшей дуге 𝐵𝐶 описанной окружности 𝐴𝐵𝐶 так, что ∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝐶𝐴𝑄. Пусть 𝑋 и 𝑌 — основания перпендикуляров из 𝐻 на 𝐴𝑃 и 𝐴𝑄 соответственно. Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑋 и 𝑌 лежат на одной окружности с центром в 𝑀, где 𝑀 — середина 𝐵𝐶.
👍8❤6❤🔥3🥰2👎1🔥1🤝1
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равносторонний треугольник. Пусть 𝐷 — точка на стороне 𝐵𝐶. Пусть серединный перпендикуляр к 𝐴𝐷 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐶𝐴 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Предположим, что описанная окружность треугольника 𝐷𝐸𝐹 пересекает 𝐵𝐶 снова в точке 𝑋. Докажите, что 𝐵𝑋 = 𝐶𝐷.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равносторонний треугольник. Пусть 𝐷 — точка на стороне 𝐵𝐶. Пусть серединный перпендикуляр к 𝐴𝐷 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐶𝐴 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Предположим, что описанная окружность треугольника 𝐷𝐸𝐹 пересекает 𝐵𝐶 снова в точке 𝑋. Докажите, что 𝐵𝑋 = 𝐶𝐷.
😡16❤5🥰3👍2🍌1🤝1
Куда поехать летом 2.0
#на_ночь_глядя расскажем вам о XLV Санкт-Петербургской Летней Математической Школе ☀️
В этом году школа пройдет с 7 по 27 августа в деревне Средняя Ловать Новгородской области.
Школа отлично подойдет ребятам-олимпиадникам, состав преподов — топовый 🔝, члены жюри заключительного этапа ВсОШ, преподаватели кружков легендарного лицея 239 🦉Особенно сейчас ждут учеников пятых классов. Все подробности 👉по ссылке👈
Торопитесь — прием заявок скоро закрывается!
Ну и не можем вас оставить без вечерней головоломки 🧩
Головоломка. Объедините знаки на картинке в четыре группы по какому-либо признаку.
#на_ночь_глядя расскажем вам о XLV Санкт-Петербургской Летней Математической Школе ☀️
В этом году школа пройдет с 7 по 27 августа в деревне Средняя Ловать Новгородской области.
Школа отлично подойдет ребятам-олимпиадникам, состав преподов — топовый 🔝, члены жюри заключительного этапа ВсОШ, преподаватели кружков легендарного лицея 239 🦉Особенно сейчас ждут учеников пятых классов. Все подробности 👉по ссылке👈
Торопитесь — прием заявок скоро закрывается!
Ну и не можем вас оставить без вечерней головоломки 🧩
Головоломка. Объедините знаки на картинке в четыре группы по какому-либо признаку.
❤4❤🔥2🔥1😍1
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ проходят через точку 𝐴 и касаются стороны 𝐵𝐶 в точках 𝐵 и 𝐶 соответственно. Пусть 𝑇 — произвольная точка на 𝐵𝐶. Прямая 𝐴𝑇 пересекает 𝜔₁ и 𝜔₂ вторично в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Прямые 𝐵𝐾 и 𝐶𝐿 пересекаются в точке 𝑁. На луче 𝐴𝑁 взята точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑇 = 𝑇𝑃. Докажите, что ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝑃𝐶.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ проходят через точку 𝐴 и касаются стороны 𝐵𝐶 в точках 𝐵 и 𝐶 соответственно. Пусть 𝑇 — произвольная точка на 𝐵𝐶. Прямая 𝐴𝑇 пересекает 𝜔₁ и 𝜔₂ вторично в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Прямые 𝐵𝐾 и 𝐶𝐿 пересекаются в точке 𝑁. На луче 𝐴𝑁 взята точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑇 = 𝑇𝑃. Докажите, что ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝑃𝐶.
❤10👎1🤝1
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с центром вписанной окружности 𝐼. Пусть вписанная окружность касается 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 в точках 𝐸 и 𝐹. Обозначим через 𝐺 и 𝐻 точки, симметричные 𝐸 и 𝐹 относительно 𝐼. Пусть 𝑄 — точка пересечения 𝐵𝐶 и 𝐺𝐻, а 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Докажите, что 𝐼𝑄 и 𝐼𝑀 перпендикулярны.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с центром вписанной окружности 𝐼. Пусть вписанная окружность касается 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 в точках 𝐸 и 𝐹. Обозначим через 𝐺 и 𝐻 точки, симметричные 𝐸 и 𝐹 относительно 𝐼. Пусть 𝑄 — точка пересечения 𝐵𝐶 и 𝐺𝐻, а 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Докажите, что 𝐼𝑄 и 𝐼𝑀 перпендикулярны.
🤔11❤5🤝1
#геом_разминка
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐵 больше 𝐶. Пусть 𝑀 — середина 𝐵𝐶, 𝐷 и 𝐸 — основания высот, проведенных из 𝐶 и 𝐵 соответственно, 𝐾 и 𝐿 — середины 𝑀𝐸 и 𝑀𝐷 соответственно. Пусть 𝐾𝐿 пересекает прямую, проходящую через 𝐴 параллельно 𝐵𝐶, в точке 𝑇. Докажите, что 𝑇𝐴 = 𝑇𝑀.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐵 больше 𝐶. Пусть 𝑀 — середина 𝐵𝐶, 𝐷 и 𝐸 — основания высот, проведенных из 𝐶 и 𝐵 соответственно, 𝐾 и 𝐿 — середины 𝑀𝐸 и 𝑀𝐷 соответственно. Пусть 𝐾𝐿 пересекает прямую, проходящую через 𝐴 параллельно 𝐵𝐶, в точке 𝑇. Докажите, что 𝑇𝐴 = 𝑇𝑀.
🤡12❤6🤝1
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — квадрат с центром 𝑂, а 𝑀 — точка, симметричная точке 𝐵 относительно точки 𝐴. Пусть 𝐸 — пересечение прямых 𝐶𝑀 и 𝐵𝐷, а 𝑆 — пересечение прямых 𝑀𝑂 и 𝐴𝐸. Докажите, что 𝑆𝑂 — биссектриса угла 𝐸𝑆𝐵.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — квадрат с центром 𝑂, а 𝑀 — точка, симметричная точке 𝐵 относительно точки 𝐴. Пусть 𝐸 — пересечение прямых 𝐶𝑀 и 𝐵𝐷, а 𝑆 — пересечение прямых 𝑀𝑂 и 𝐴𝐸. Докажите, что 𝑆𝑂 — биссектриса угла 𝐸𝑆𝐵.
❤6❤🔥4🔥3👍1🤝1