Geometry Ukraine

Рік підходить до завершення, а отже пора підводити підсумки. Ось мій (об'єктивний) топ кращих геометричних задач 2024 року:

1. Всередині чотирикутника ABCD, у якого рівними є сторони AB = BC = CD, обрані точки P та Q так, що AP = PB = QC = QD. Пряма, що проведена через точку P паралельно до діагоналі AC, перетинає пряму, що проведена через точку Q паралельно до діагоналі BD, у точці T. Доведіть, що BT = CT.

(10.6 Всеукраїнської олімпіади 2024, автор Михайло Штанденко)

2. Пряма l перетинає сторони BC і AD вписаного чотирикутника ABCD у його внутрішніх точках R і S відповідно, а також перетинає продовження променя DC за точку C у точці Q і продовження променя BA за точку A у точці P. Описані кола трикутників QCR і QDS перетинаються в точці N ≠ Q, а описані кола трикутників PAS і PBR перетинаються в точці M ≠ P. Нехай прямі MP і NQ перетинаються в точці X, прямі AB і CD перетинаються в точці K, а прямі BC і AD перетинаються в точці L. Доведіть, що точка X лежить на прямій KL.

(APMO 2024 P5, автор Михайло Штанденко)

3. Точки A, B, C та D лежать на прямій l у вказаному порядку. Точки P та Q вибрані по один бік відносно прямої l, а точка R – по інший так, що:

∠APB = ∠CPD = ∠QBC = ∠QCB = ∠RAD = ∠RDA.

Доведіть, що точки P, Q та R лежать на одній прямій.

(11.6 Всеукраїнської олімпіади 2024, автори Михайло Штанденко та Федір Юдін)

4. Всередині гострокутного трикутника ABC з висотою AD обрано точки X та Y так, що ∠BXA + ∠ACB = 180∘, ∠CYA + ∠ABC = 180∘ та CD + AY = BD + AX. На промені BX за точку X позначено точку M так, що XM = AC, а на промені CY за точку Y позначено точку N так що YN = AB. Доведіть, що AM = AN.

(7.4 Основного туру відбору на IV етап, автор Михайло Штанденко)

5. Коло γ, що проходить через вершину A трикутника ABC, перетинає його сторони AB та AC вдруге в точках X та Y відповідно. Також коло γ перетинає сторону BC у точках D та E так, що AD = AE. Доведіть, що точки B, X, Y, C лежать на одному колі.

(8.3 Київської міської олімпіади 2024, автор Михайло Штанденко)

А які ще задачі вам сподобались цього року?

www.group-telegram.com/us/geometry_ukraine.com/949

1.3K viewsAnton🫥 Trygub, Dec 27 at 23:06

Рік підходить до завершення, а отже пора підводити підсумки. Ось мій (об'єктивний) топ кращих геометричних задач 2024 року:

1. Всередині чотирикутника ABCD, у якого рівними є сторони AB = BC = CD, обрані точки P та Q так, що AP = PB = QC = QD. Пряма, що проведена через точку P паралельно до діагоналі AC, перетинає пряму, що проведена через точку Q паралельно до діагоналі BD, у точці T. Доведіть, що BT = CT.

(10.6 Всеукраїнської олімпіади 2024, автор Михайло Штанденко)

2. Пряма l перетинає сторони BC і AD вписаного чотирикутника ABCD у його внутрішніх точках R і S відповідно, а також перетинає продовження променя DC за точку C у точці Q і продовження променя BA за точку A у точці P. Описані кола трикутників QCR і QDS перетинаються в точці N ≠ Q, а описані кола трикутників PAS і PBR перетинаються в точці M ≠ P. Нехай прямі MP і NQ перетинаються в точці X, прямі AB і CD перетинаються в точці K, а прямі BC і AD перетинаються в точці L. Доведіть, що точка X лежить на прямій KL.

(APMO 2024 P5, автор Михайло Штанденко)

3. Точки A, B, C та D лежать на прямій l у вказаному порядку. Точки P та Q вибрані по один бік відносно прямої l, а точка R – по інший так, що:

∠APB = ∠CPD = ∠QBC = ∠QCB = ∠RAD = ∠RDA.

Доведіть, що точки P, Q та R лежать на одній прямій.

(11.6 Всеукраїнської олімпіади 2024, автори Михайло Штанденко та Федір Юдін)

4. Всередині гострокутного трикутника ABC з висотою AD обрано точки X та Y так, що ∠BXA + ∠ACB = 180∘, ∠CYA + ∠ABC = 180∘ та CD + AY = BD + AX. На промені BX за точку X позначено точку M так, що XM = AC, а на промені CY за точку Y позначено точку N так що YN = AB. Доведіть, що AM = AN.

(7.4 Основного туру відбору на IV етап, автор Михайло Штанденко)

5. Коло γ, що проходить через вершину A трикутника ABC, перетинає його сторони AB та AC вдруге в точках X та Y відповідно. Також коло γ перетинає сторону BC у точках D та E так, що AD = AE. Доведіть, що точки B, X, Y, C лежать на одному колі.

(8.3 Київської міської олімпіади 2024, автор Михайло Штанденко)

А які ще задачі вам сподобались цього року?

BY Geometry Ukraine