В последний день весны Олимпиадная геометрия объявляет конкурс на стипендию для обучения в математическом кружке на ваш выбор в первом полугодии 2025/2026 учебного года (сентябрь — декабрь).

Размер стипендий:
• 🥇 1 место — 100% покрытия стоимости обучения
• 🥈 2 место — 70%
• 🥉 3 место — 30%

К участию приглашаются школьники, которые:

• уже начали изучать геометрию,
• не обучаются в выпускном классе (по российской системе — 8, 9 или 10 класс),
• хотят заниматься в действующем математическом кружке, у которого:
  — есть открытая страница в интернете (сайт, соцсеть или телеграм-канал),
  — кружок основан не в этом году,
  — указан список преподавателей и понятная система оплаты (цены указаны, есть контакт для связи).

Для участия необходимо до 15 июля 2025 года отправить письмо на [email protected]
Тема письма: [Фамилия Имя, город, класс]

Письмо должно содержать:
• Краткую информацию о себе: кто вы, в какой стране, городе и школе учитесь. (Можно указать достижения в математических соревнованиях но это не будет являться решающим фактором.)
• Мотивационное письмо — почему вам нужна стипендия.
• PDF-файл с тремя любимыми задачами по геометрии и их решениями. Не забудьте написать, почему вам нравятся эти задачи!
• Контактные данные преподавателей математики, которые могут вас порекомендовать (не забудьте заручиться их согласием). Сами рекомендательные письма присылать не нужно!

Важно:
Отправляя заявку, вы соглашаетесь, что в случае получения стипендии ваше имя может быть опубликовано в социальных сетях проекта Олимпиадная геометрия.

Подведение итогов: не позднее 15 августа

из типичной точки на кубике к этой кубике можно провести 4 касательных (возможно комплексных)

теорема Сальмона: если начать двигать точку, двойное отношение этих 4 касательных не будет меняться

(знаю возвышенное рассуждение, а у самого Сальмона было какое-то довольно элементарное, в котором не разбирался)

Задача 70:

Четырехугольник ABCD описан вокруг окружности с центром I. Пары лучей BA, CD и AD, BC пересекаются в точках E и F соответственно. O_F и O_E - центры (ABF) и (CBE) соответственно. Докажите, что угол DIO_F прямой тогда и только тогда, когда угол DIO_E прямой

Дан выпуклый пятиугольник A₁A₂A₃A₄A₅ такой, что Aᵢ₋₁Aᵢ₊₁ || Aᵢ₋₂Aᵢ₊₂ для любого i (все индексы по модулю 5).

Будем называть чевианой точки P из вершины Aᵢ — отрезок из Aᵢ с концом на прямой Aᵢ₋₂Aᵢ₊₂, содержащийся в прямой AᵢP.

Докажите, что существует такая точка P, для которой чевианы из всех вершин равны.

Источник. CAMO 2022/6.

Дан треугольник ABC с ортоцентром H. В него вписана окружность с центром в точке I, которая касается сторон BC, AC, AB в точках A_1, B_1, C_1 соответственно. Прямые A_1H и AI пересекаются в точке A_2. Аналогично определим точки B_2 и C_2. Докажите, что ортоцентр треугольника A_2B_2C_2 совпадает с H.

На плоскости нарисовано m синих и n красных окружностей, при этом любые окружности разных цветов касаются, а одинакового цвета - нет. Могут ли m и n быть равны a) 3 и 8; b) 3 и 9; c) 4 и 6; d) 4 и 7?

P.S. Выше картина В. Кандинского "Несколько кругов" 1926 г.

Дан треугольник ABC. В него вписана окружность с центром в точке I. К ней провели касательную, которая параллельна BC и выбрали на этой касательной точки U и V такие, что угол UIV = 90. Прямые IU и IV повторно пересекают окружность (AUV) в точках P и Q. Докажите, что точки O, P, Q лежат на одной прямой, где O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Обобщение теоремы Паскаля. Цветные фигуры — эллипсы.

добавлю к предыдущему утверждению вот какой контекст

на картинке (взятой у Мат. этюдов) — теорема Монжа (вот, кстати, еще подборка доказательств)

можно ли заменить в ней окружности на эллипсы? на произвольные нельзя, но можно — на эллипсы с общим фокусом

как и в многих других утверждениях, вместо фокуса можно рассматривать обобщенный фокус — окружность, дважды касающуюся эллипса (настоящий фокус получается, когда радиус этой окружности нулевой — это не так заметно, потому что точки касания при этом становятся комплексными)

вот такой родственник теоремы Монжа и нарисован на предыдущей картинке

upd: можно еще сказать, что это — гиперболическая версия теоремы Монжа (нарисованная в модели Клейна)

Задачи с турнира

В июне этого года прошел турнир имени Савина для школьников 7 и 8 классов. На нем ребята решали несколько моих задач. Предлагаю вам подумать над двумя из них.
Просьба: в комментах пишите только свои ответы:)

20 теорем об углах в треугольнике и не только

Увидел в ФБ такую вот коллекцию. Большая часть кажется весьма полезной, хотя и редко употребительной. Какие из «не школьной» части этого списка вы считаете самыми ценными?

Теорема Штейнера. На плоскости даны четыре прямые общего положения (никакие три не пересекаются в одной точки, никакие две не параллельны). Для каждой тройки прямых есть четыре окружности, которые их касаются. Таким образом, в общем случае получаем 16 окружностей, касающихся трех из четырех прямых. Тогда a) центры этих 16 окружностей лежат на 8 окружностях, по 4 центра на каждой.
b) среди этих 8 окружностей 4 лежат в одном пучке, а 4 оставшихся - в другом, перпендикулярном ему.

На картинке изображена одна четверка окружностей, центры которых лежат на одной окружности.

Есть ли что-то схожее в трехмерном пространстве для 5 плоскостей? Что будет, если исходные 4 прямые заменить на окружности?

Найдите угол DAC.

Да, мне определенно нравится эта задача! Очень красиво!

P, Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.

Двадцать первая олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина, 2025 год, 10 класс, 2 задача

#O2025 #Sharygin #Sharygin_2025

Вот кое-что попроще)

Сегодня стартует финал олимпиады имени И.Ф. Шарыгина.

Отличная книжка, посвященная олимпиаде.

https://math.ru/lib/files/pdf/olimp/Sharygin.pdf

Для тех кому хочется чего-то школьного, то вот была такая задача в 8 классе от М. Волчкевича.

В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до биссектрисы острого равно четверти гипотенузы. Чему могут равняться углы треугольника?

#красота_спасет_мир

В догонку публикуем еще задачку с подвижной 🏃 картинкой (но не решением!)

Задача 10.6. Даны окружности Ω и 𝜔𝑎, являющиеся соответственно описанной и 𝐴-вневписанной для некоторого треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐼𝑏, 𝐼𝑐 — центры двух других вневписанных окружностей, а 𝐴𝑏, 𝐴𝑐 — точки касания продолжений сторон 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 с 𝜔𝑎. Докажите, что точка пересечения прямых 𝐴𝑏𝐼𝑏 и 𝐴𝑐𝐼𝑐 не зависит от треугольника 𝐴𝐵𝐶.