Forwarded from tropical saint petersburg
В детстве такие штуки глупостями казались, а сейчас, наоборот, испытываю эстетическое наслаждение.
Доказывается такой факт, если a^2=2b^2 то 2(a-b)^2=(2b-a)^2.Можно скобки раскрыть, а можно увидеть на первой картинке из соображений площадей.
На второй картинке катеты равны q, а гипотенуза p. Проведём из острого угла биссектрису, по ней сложим, и сверху получим прямоугольный треугольник с катетами p-q и гипотенузой 2q-p, что и требовалось.
Удовольствие платонического толка — смотришь, и практически осязаешь платоническую идею, оперируешь не формулами и силлогизмами, а воображаемыми листами бумаги.
Так можно доказать иррациональность корня из 2. От противного: если он рационален и равен a/b, то a^2=2b^2, а как показывают рассуждения выше, у такого уравнения нет наименьшего натурального решения (по каждому решению (a,b), a>b, можно построить решение (2b-a,a-b), и оно меньше).
Почему это в детстве не нравилось? потому что показывают фокус вместо технологии (и разводят глубокую философию на мелких местах).
Доказывается такой факт, если a^2=2b^2 то 2(a-b)^2=(2b-a)^2.
На второй картинке катеты равны q, а гипотенуза p. Проведём из острого угла биссектрису, по ней сложим, и сверху получим прямоугольный треугольник с катетами p-q и гипотенузой 2q-p, что и требовалось.
Удовольствие платонического толка — смотришь, и практически осязаешь платоническую идею, оперируешь не формулами и силлогизмами, а воображаемыми листами бумаги.
Так можно доказать иррациональность корня из 2. От противного: если он рационален и равен a/b, то a^2=2b^2, а как показывают рассуждения выше, у такого уравнения нет наименьшего натурального решения (по каждому решению (a,b), a>b, можно построить решение (2b-a,a-b), и оно меньше).
Почему это в детстве не нравилось? потому что показывают фокус вместо технологии (и разводят глубокую философию на мелких местах).
Очень красивая задача с командной олимпиады сеньоров с Колма, который идет прямо сейчас.
Биссектрисы AA1, BB1, CC1 неравнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке I. Впи-
санная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке A2. Окружность ωa проходит
через точки A1, A2 и середину отрезка AI. Окружности ωb и ωc определяются аналогично. Докажите,
что центры окружностей ωa, ωb, ωc лежат на одной прямой.
Биссектрисы AA1, BB1, CC1 неравнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке I. Впи-
санная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке A2. Окружность ωa проходит
через точки A1, A2 и середину отрезка AI. Окружности ωb и ωc определяются аналогично. Докажите,
что центры окружностей ωa, ωb, ωc лежат на одной прямой.
Forwarded from Фулл и точка
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
#колм
Публикуем задачи первого тура кубка Колмогорова. Обсудить их вы можете в комментариях👇
Задача. Внутри остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 60°, выбирается переменная точка 𝑃 так, что ∠𝐵𝑃𝐶 = 120°. Точки 𝑃₂, 𝑃₃ симметричны точке 𝑃 относительно сторон 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 соответственно. Прямые 𝐵𝑃₂ , 𝐶𝑃₃ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 проходит через точку, отличную от 𝐴 и не зависящую от выбора 𝑃 .
Публикуем задачи первого тура кубка Колмогорова. Обсудить их вы можете в комментариях👇
Задача. Внутри остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 60°, выбирается переменная точка 𝑃 так, что ∠𝐵𝑃𝐶 = 120°. Точки 𝑃₂, 𝑃₃ симметричны точке 𝑃 относительно сторон 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 соответственно. Прямые 𝐵𝑃₂ , 𝐶𝑃₃ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 проходит через точку, отличную от 𝐴 и не зависящую от выбора 𝑃 .
Еще одна задача с колма. Без картинки.
Дан вписанный пятиугольник P1P2P3P4P5; положим P6 = P1 и P0 = P5. При k = 1, 2, 3, 4, 5
обозначим через Ik центр вписанной окружности треугольника Pk−1PkPk+1. Оказалось, что пяти-
угольник I1I2I3I4I5 также является вписанным. Докажите, что прямые P1I1, P2I2, P3I3, P4I4 и P5I5
пересекаются в одной точке.
Дан вписанный пятиугольник P1P2P3P4P5; положим P6 = P1 и P0 = P5. При k = 1, 2, 3, 4, 5
обозначим через Ik центр вписанной окружности треугольника Pk−1PkPk+1. Оказалось, что пяти-
угольник I1I2I3I4I5 также является вписанным. Докажите, что прямые P1I1, P2I2, P3I3, P4I4 и P5I5
пересекаются в одной точке.
Forwarded from Фулл и точка
#колм
Сегодня на кубке Колмогорова 🏆 прошли вторые туры матбоев. Присоединяйтесь к обсуждению матчей и задач в комментариях👇
Задача. Точки 𝐻 и 𝑂 – ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на описанной окружности 𝜔 так, что ∠𝐵𝑃𝐻 = ∠𝐶𝑄𝐻 = 90°. Пусть прямая 𝑃𝑄 пересекает касательную к 𝜔, проведенную в точке 𝐴, в точке 𝑆, а отрезки 𝑂𝑃 и 𝑂𝑄 пересекают отрезки 𝐵𝐻 и 𝐶𝐻 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что 𝑂𝑆 ‖ 𝑋𝑌.
Сегодня на кубке Колмогорова 🏆 прошли вторые туры матбоев. Присоединяйтесь к обсуждению матчей и задач в комментариях👇
Задача. Точки 𝐻 и 𝑂 – ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на описанной окружности 𝜔 так, что ∠𝐵𝑃𝐻 = ∠𝐶𝑄𝐻 = 90°. Пусть прямая 𝑃𝑄 пересекает касательную к 𝜔, проведенную в точке 𝐴, в точке 𝑆, а отрезки 𝑂𝑃 и 𝑂𝑄 пересекают отрезки 𝐵𝐻 и 𝐶𝐻 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что 𝑂𝑆 ‖ 𝑋𝑌.
Forwarded from Фулл и точка
#колм #красота_спасет_мир
Подошел к концу третий день турнира Колмогорова, и мы, как обычно, радуем вас задачами с него 💥
Задача. На сторонах 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐶₁ соответственно. Четырёхугольники 𝐴𝐵₁𝐴₁𝐶₁, 𝐵𝐶₁𝐵₁𝐴₁ и 𝐶𝐴₁𝐶₁𝐵₁ описаны около окружностей с центрами 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 и 𝐼𝑐 соответственно. Докажите, что площади треугольников 𝐴₁𝐵₁𝐶₁ и 𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐 отличаются в четыре раза.
Подошел к концу третий день турнира Колмогорова, и мы, как обычно, радуем вас задачами с него 💥
Задача. На сторонах 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐶₁ соответственно. Четырёхугольники 𝐴𝐵₁𝐴₁𝐶₁, 𝐵𝐶₁𝐵₁𝐴₁ и 𝐶𝐴₁𝐶₁𝐵₁ описаны около окружностей с центрами 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 и 𝐼𝑐 соответственно. Докажите, что площади треугольников 𝐴₁𝐵₁𝐶₁ и 𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐 отличаются в четыре раза.
Forwarded from Геометрия от Волчкевича
Верю — не верю
Некоторые из приведенных ниже шести утверждений верны в общем случае. Какие?
Некоторые из приведенных ниже шести утверждений верны в общем случае. Какие?
Anonymous Poll
48%
1. Если у двух четырехугольников совпадают все 4 вершины, то они имеют равные площади.
51%
2. В геометрии Лобачевского для любого треугольника есть прямая, равноудалённая от всех его вершин.
42%
3. Центр окружности, вписанной в египетский треугольник, равноудален от середин двух его сторон.
40%
. Если р/б треугольник можно разрезать на три меньших р/б треугольника, то два из них равны.
39%
5. Если прямая делит пополам площадь 4-угольника и 2 его стороны, то он параллелограмм или трапеция.
46%
6. Если все вершины многогранника лежат на одной сфере, то этот многогранник выпуклый.
Forwarded from JustScience | Олимпиадная Математика
#геометрия #задача
Прямая, проходящая через ортоцентр треугольника ABC пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Сторона BC, перпендикуляр к AB в точке D и перпендикуляр к AC в точке E образуют треугольник T. Докажите, что описанные окружности треугольников T и ABC касаются.
Прямая, проходящая через ортоцентр треугольника ABC пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Сторона BC, перпендикуляр к AB в точке D и перпендикуляр к AC в точке E образуют треугольник T. Докажите, что описанные окружности треугольников T и ABC касаются.
Замкнутая четырехзвенная ломаная описана вокруг сферы. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.
// П.Пушкарь напомнил такую задачу с ММО-1950
// П.Пушкарь напомнил такую задачу с ММО-1950
а) Пусть 4 окружности на плоскости касаются друг друга по циклу (внешним образом). Доказать, что точки касания лежат на одной окружности.
б) То же не на плоскости, а на сфере.
в) Вывести отсюда предыдущую задачу.
// по мотивам обсуждения в комментариях
б) То же не на плоскости, а на сфере.
в) Вывести отсюда предыдущую задачу.
// по мотивам обсуждения в комментариях
Forwarded from Фулл и точка
#геом_разминка
Задача. Внутри квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 взята точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝐵𝑃 : 𝐶𝑃 = 1 : 2 : 3. Найдите угол 𝐴𝑃𝐵.
Пусть никакие трудности вас не пошатнут 🗿
Задача. Внутри квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 взята точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝐵𝑃 : 𝐶𝑃 = 1 : 2 : 3. Найдите угол 𝐴𝑃𝐵.
Пусть никакие трудности вас не пошатнут 🗿
2024-09-markelov-zaslavsky.pdf
503.6 KB
статья А.Заславского и С.Маркелова «Трисекция угла и другие классические задачи» (Квант №9 за 2024 год)
обсуждается трисекция с помощью коник и проч., по мотивам проекта на ЛКТГ
обсуждается трисекция с помощью коник и проч., по мотивам проекта на ЛКТГ
Forwarded from Геометрия с Ниловым
Два разных замощения плоскости (спиралевидное и кольцеобразное) копиями многоугольника, изображенного сверху, из книги Грюнбаума и Шепарда "Замощения и орнаменты"