Куда поехать летом?
С 4 по 28 августа 2025 в Армении 🇦🇲 пройдет летняя школа "Лес" 🌳
🌲 На школе 4 направления:
📈 Математическое,
🔭 Физическое,
📚 Гуманитарное,
🍀 Биологическое.
Проект не про подготовку к олимпиадам или поступление — основная цель получить удовольствие от научных сюжетов и общения в атмосфере настоящего палаточного лагеря.
Хотя основной набор уже закрыт, подать заявку всё ещё можно! 🙂
P. S. Карточки по оригами помогла нам сделать Полина Романова —одна из преподавателей летней школы 🔥
С 4 по 28 августа 2025 в Армении 🇦🇲 пройдет летняя школа "Лес" 🌳
🌲 На школе 4 направления:
📈 Математическое,
🔭 Физическое,
📚 Гуманитарное,
🍀 Биологическое.
Проект не про подготовку к олимпиадам или поступление — основная цель получить удовольствие от научных сюжетов и общения в атмосфере настоящего палаточного лагеря.
Хотя основной набор уже закрыт, подать заявку всё ещё можно! 🙂
P. S. Карточки по оригами помогла нам сделать Полина Романова —одна из преподавателей летней школы 🔥
#геом_разминка
Задача. Каждая из сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 разделена на три равные части, 𝐴𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐵, 𝐷𝑃 = 𝑃𝑄 = 𝑄𝐶. Диагонали 𝐴𝐸𝑃𝐷 и 𝐹𝐵𝐶𝑄 пересекаются в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Докажите, что сумма площадей треугольников 𝐴𝑀𝐷 и 𝐵𝑁𝐶 равна сумме площадей треугольников 𝐸𝑃𝑀 и 𝐹𝑁𝑄.
Задача. Каждая из сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 разделена на три равные части, 𝐴𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐵, 𝐷𝑃 = 𝑃𝑄 = 𝑄𝐶. Диагонали 𝐴𝐸𝑃𝐷 и 𝐹𝐵𝐶𝑄 пересекаются в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Докажите, что сумма площадей треугольников 𝐴𝑀𝐷 и 𝐵𝑁𝐶 равна сумме площадей треугольников 𝐸𝑃𝑀 и 𝐹𝑁𝑄.
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — прямоугольный треугольник с углом 𝐴 = 90°, точка 𝐷 — основание высоты из 𝐴 на 𝐵𝐶, а 𝐸 — средина 𝐷𝐶. Окружность 𝐴𝐵𝐷 вторично пересекает 𝐴𝐸 в точке 𝐹. Пусть 𝑋 — это пересечение прямых 𝐴𝐵 и 𝐷𝐹. Докажите, что 𝑋𝐷 = 𝑋𝐶.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — прямоугольный треугольник с углом 𝐴 = 90°, точка 𝐷 — основание высоты из 𝐴 на 𝐵𝐶, а 𝐸 — средина 𝐷𝐶. Окружность 𝐴𝐵𝐷 вторично пересекает 𝐴𝐸 в точке 𝐹. Пусть 𝑋 — это пересечение прямых 𝐴𝐵 и 𝐷𝐹. Докажите, что 𝑋𝐷 = 𝑋𝐶.
#геом_разминка
Угадайте где мы?📍
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 остроугольный треугольник, 𝑘 — его описанная окружность с центром 𝑂. Прямая, проходящая через 𝑂 пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. Пусть 𝐵′ и 𝐶′ — симметрии 𝐵 и 𝐶 относительно 𝑂 соответственно. Докажите, что (𝑂𝐷𝐶′) и (𝑂𝐸𝐵′) пересекаются на 𝑘.
Доброго утра и прекрасного настроения 🥰
Угадайте где мы?
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 остроугольный треугольник, 𝑘 — его описанная окружность с центром 𝑂. Прямая, проходящая через 𝑂 пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. Пусть 𝐵′ и 𝐶′ — симметрии 𝐵 и 𝐶 относительно 𝑂 соответственно. Докажите, что (𝑂𝐷𝐶′) и (𝑂𝐸𝐵′) пересекаются на 𝑘.
Доброго утра и прекрасного настроения 🥰
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный неравнобедренный треугольник с центром описанной окружности 𝑂. Пусть 𝐷 — основание высоты из 𝐴 на сторону 𝐵𝐶. Прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝑂 пересекаются в точке 𝐸. Пусть 𝑠 — прямая, проходящая через 𝐸 перпендикулярно 𝐴𝑂. Прямая 𝑠 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Обозначим через 𝜔 описанную окружность треугольника 𝐴𝐾𝐿. Прямая 𝐴𝐷 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝑋. Докажите, что 𝜔 и описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐷𝐸𝑋 имеют общую точку.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный неравнобедренный треугольник с центром описанной окружности 𝑂. Пусть 𝐷 — основание высоты из 𝐴 на сторону 𝐵𝐶. Прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝑂 пересекаются в точке 𝐸. Пусть 𝑠 — прямая, проходящая через 𝐸 перпендикулярно 𝐴𝑂. Прямая 𝑠 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Обозначим через 𝜔 описанную окружность треугольника 𝐴𝐾𝐿. Прямая 𝐴𝐷 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝑋. Докажите, что 𝜔 и описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐷𝐸𝑋 имеют общую точку.
#геом_разминка #красота_спасет_мир
Задача. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 с ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷 диагональ 𝐴𝐶 пересекает описанную окружность 𝐵𝐶𝐷 в точке 𝑃 отличной от 𝐶. Пусть 𝑄, 𝑅, 𝑆 и 𝑇 — симметрии 𝑃 относительно 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 и 𝐷𝐴 соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑄𝑇 касается прямой 𝑅𝑆.
Задача. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 с ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷 диагональ 𝐴𝐶 пересекает описанную окружность 𝐵𝐶𝐷 в точке 𝑃 отличной от 𝐶. Пусть 𝑄, 𝑅, 𝑆 и 𝑇 — симметрии 𝑃 относительно 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 и 𝐷𝐴 соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑄𝑇 касается прямой 𝑅𝑆.
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼, а 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Луч 𝑀𝐼 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄. Если 𝑁 — середина большей дуги 𝐵𝐶, докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑁𝑃𝑄 лежит на 𝐴𝐼.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼, а 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Луч 𝑀𝐼 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄. Если 𝑁 — середина большей дуги 𝐵𝐶, докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑁𝑃𝑄 лежит на 𝐴𝐼.
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Пусть 𝑃 — точка на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, и пусть 𝑋 и 𝑌 — основания перпендикуляров из 𝑃 на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, соответственно. Пусть 𝐴′ — точка, диаметрально противоположная 𝐴 на описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑇 — точка пересечения прямой 𝑃𝐴′ с прямой 𝐵𝐶, и пусть 𝐻 — ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑇𝐻 ‖ 𝑋𝑌.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Пусть 𝑃 — точка на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, и пусть 𝑋 и 𝑌 — основания перпендикуляров из 𝑃 на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, соответственно. Пусть 𝐴′ — точка, диаметрально противоположная 𝐴 на описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑇 — точка пересечения прямой 𝑃𝐴′ с прямой 𝐵𝐶, и пусть 𝐻 — ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑇𝐻 ‖ 𝑋𝑌.