#геом_разминка

Задача. Правильный шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 вписан в окружность. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках 𝐴 и 𝐷 соответственно, так, что прямая 𝑃𝑄 касается меньшей дуги 𝐸𝐹 этой окружности. Найдите угол между прямыми 𝑃𝐵 и 𝑄𝐶.

#по_факту

Фулл и точка во Владимире! 🦁

Владимир — первая столица северо-восточной Руси. Здесь сохранились памятники 🛖 древнерусской архитектуры еще XII века.

Один из них — церковь Покрова на Нерли ⛪️. Геометрия этого сооружения удивительна: главные вертикали церкви — высота основания и высота барабана делят общую высоту в золотом сечении. Диаметр барабана 🥁 также относится к его высоте в золотой пропорции. Ряд золотых сечений можно продолжить и дальше приглядевшись к другим архитектурным деталям.

Понятие золотого сечения ввел Леонардо да Винчи только в XV веке. Как же тогда мастера XII века смогли добиться идеальных пропорций храма, если они не могли знать о золотом сечении?

Ответ прост, но подумайте немного прежде чем открывать спойлер🤔

При строительстве зодчие использовали русскую систему мер 📏, основанную на пропорциях человеческого тела, которая соответствует пропорциям золотого сечения.

#геом_разминка

Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐾 — середина 𝐴𝐶. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 как на основаниях внутрь треугольника построены равнобедренные треугольники 𝐴𝐵𝑀 и 𝐵𝐶𝑁 так, что 𝐴𝑀 = 𝐵𝑀, ∠𝐴𝑀𝐵 = ∠𝐴𝐾𝐵 и 𝐵𝑁 = 𝐶𝑁, ∠𝐵𝑁𝐶 = ∠𝐵𝐾𝐶. Докажите, что окружность, описанная около треугольника 𝑀𝑁𝐾, касается стороны 𝐴𝐶.

#геом_разминка

Задача. Вписанная окружность неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с центром в точке 𝐼 касается 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, и 𝐴𝐵 в 𝐷, 𝐸, и 𝐹 соответственно. Описанная окружность треугольника 𝐴𝐷𝐼 вторично пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌. Докажите, что середина 𝑋𝑌 лежит на 𝐸𝐹.

БЕСПЛАТНЫЙ ОНЛАЙН КРУЖОК ОТ ФКН И ФУЛЛ и ТОЧКА 🔥

Кружку от ФКН под руководством автора нашего канала Ивана Кухарчука исполняется полтора года 🎂 В честь этого события мы запускаем первый открытый набор в кружковцы 🔴

Для кого?

Кружок предназначен для учеников 9-10 классов уже имеющих существенные результаты на региональном этапе ВсОШ. Заявки принимаются только от школьников из регионов.

Формат:

Занятия проходят по субботам в зуме. После занятия выдается листик 🍃 с задачами на следующую неделю. Задачи сдаются устно ассистенту 🎓

Цель:

🎯 прокачать как можно сильнее скилл решения олимпиадных задач. На кружке не будет сложной теории, не будет мега-супер-пупер хайповых тем вроде движения точек и сложения на кубике 🎲, не будет и околонаучпопа, а будет старая добрая классика, но в новом прочтении 📙

Если вы дочитали до этого момента, то вы уже молодец! поставьте реакцию 😈 посмотрим сколько нас таких : )

Мы будем повторять ключевые идеи и методы всех разделов олимпиадной математики, которые встречаются из года в год на регионе и закле всеросса на новых незнакомых задачах.

Каждый из кружковцев будет работать у нас над своей глобальной задачей:

🎯 попасть на всеросс
🎯 взять диплом финала
🎯 взять победителя
🎯 попасть на сборы команды России 😎

Бегите 👉по ссылочке🔗👈 и заполняйте форму. Спешите!! Количество мест ограничено!

Желаем вам удачи на отборе 🍀

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — квадрат, вписанный в окружность 𝜔, и пусть 𝑃 — точка на меньшей дуге 𝐴𝐵 окружности 𝜔. Пусть 𝐶𝑃 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑅, 𝐷𝑃 и 𝐴𝐶 — в точке 𝑆. Докажите, что треугольники 𝐴𝑅𝐵 и 𝐷𝑆𝑅 имеют равные площади.

#геом_разминка

Задача. В выпуклом четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑃. Биссектриса угла 𝐴𝑃𝐵 пересекает отрезки 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 в точках 𝑋 и 𝑌 . Точки 𝑀 и 𝑁 — середины отрезков 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷. Докажите, что 𝑋𝑌 ≤ 𝑀𝑁.

#геом_разминка

Задача. На меньшей дуге 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбрана точка 𝐷. Точка 𝐸 на отрезке 𝐴𝐶 такова, что 𝐷𝐸 = 𝐴𝐸. На прямой ℓ ‖ 𝐴𝐵, проходящей через точку 𝐸 выбирается такая точка 𝐹, что 𝐵𝐹 = 𝐶𝐹. Докажите, что точки 𝐷, 𝐸, 𝐶 и 𝐹 лежат на одной окружности.

#геом_разминка

Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высота 𝐴𝐻 и медиана 𝐵𝑀. На описанной окружности треугольника 𝐵𝐻𝑀 отмечена такая точка 𝐷, что 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝑀 и точки 𝐵 и 𝐷 лежат в разных полуплоскостях относительно прямой 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷.

#геом_разминка

Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высоты 𝐴𝐸 и 𝐶𝐹. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝑃 и 𝑄 — основания перпендикуляров из 𝐸 на 𝐶𝑂 и из 𝐹 на 𝐴𝑂 соответственно. Докажите, что 𝐸𝑃 = 𝐹𝑄.

#геом_разминка

Задача. Дан правильный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Прямая, параллельная прямой 𝐴𝐶, пересекает прямые 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑃 соответственно. Точка 𝐷 — центр правильного треугольника 𝑃𝑀𝐵, точка 𝐸 — середина отрезка 𝐴𝑃. Найдите углы треугольника 𝐷𝐸𝐶.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝑂 – центр окружности Ω, описанной около остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. На дуге 𝐴𝐶 этой окружности, не содержащей точку 𝐵, взята точка 𝑃. На отрезке 𝐵𝐶 выбрана точка 𝑋 так, что 𝑃𝑋 ⊥ 𝐴𝐶. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника 𝐵𝑋𝑃, лежит на окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝑂.

#геом_разминка

Вчера в Москве прошла математическая регата ⛵10-х классов. Публикуем забавную задачку с нее

Задача. Пусть 𝑀 — точка пересечения медиан прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Может ли угол 𝐴𝑀𝐵 быть не больше чем 135°?

Желаем вам ни о чем не волноваться 🌊 и держать курс на достижение целей 🎯

#геома_блин

В последний день Масленицы мы побывали в самой ее столице — Ярославле 🐻

Передаем вам пламенный привет с сожжения чучела зимы 🔥

А еще вот классная задача с вчерашней регаты (в нашей обработке:)

Задача. На круглой сковородке изображен равнобедренный треугольник вершины которого лежат на границах сковородки. На месте вписанной окружности этого треугольника залито тесто под блин. В процессе приготовления блин сместился параллельно основанию в такое положение, что его центр оказался на границе исходного круга теста. Докажите, что в этом положении блин 🥞 будет касаться границы сковородки.

#геом_разминка

Задача. Боковые стороны трапеции 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑃, а её диагонали в точке 𝑄. Известно, что описанная окружность треугольника 𝑃𝐵𝐶 касается средней линии трапеции. Биссектриса угла 𝑃 пересекает 𝐴𝐷 в точке 𝐾. Докажите, что 𝐾𝑄 ⊥ 𝐴𝐷.

#геом_разминка

Задача. Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника на противоположные стороны симметричны относительно прямой, соединяющей середины двух других противоположных сторон этого четырёхугольника.

#разминка

Задача. На доске написано натуральное число 𝑀. Лёня выбирает натуральное число 𝑁 и приписывает к числу 𝑀 справа число 1, затем число 2 и т.д. до числа 𝑁. Докажите, что Лёня может выбрать число 𝑁 таким образом, чтобы получившееся число делилось на 77.