Математическая свалка Сепы

𝑙_p-комплексы Виеториса-Рипса

Мы с моим китайским другом Сяоменгом выложили препринт, в котором определяем обобщение комплекса Виеториса-Рипса, зависящее от дополнительного параметра
1≤𝑝≤∞. В этом определении используется 𝑙_p-норма. При 𝑝=∞ получается обычный комплекс Виеториса-Рипса, а при 𝑝=1 — пространство, гомологии которого — это размытые магнитудные гомологии.

Таким образом, мы объединяем эти две теории и утверждаем, что их следует изучать вместе. В частности, мы доказываем, что для компактного риманова многообразия 𝑀 при малом параметре 𝑟 этот комплекс гомотопически эквивалентен 𝑀 для любого 𝑝. Мы также приводим доказательства других свойств, которые ранее были известны для классического комплекса Виеториса-Рипса. Например, при переходе к пополнению метрического пространства гомотопический тип 𝑙_p-комплекса Виеториса-Рипса сохраняется.

Кроме того, мы доказываем свойство, которое удивило некоторых специалистов по магнитудным гомологиям. Мы показываем, что гомологии нашего 𝑙_p-комплекса Виеториса-Рипса коммутируют с фильтрующимися копределами метрических пространств. Важно отметить, что в этом доказательстве используется строгое неравенство в определении комплекса; для нестрогого неравенства это свойство не выполняется. В частности, строго размытые магнитудные гомологии коммутируют с фильтрующимися копределами, а нестрого размытые (как и обычные магнитудные) не коммутируют.

Подробности в прикреплённой далее презентации, и в архиве

https://arxiv.org/abs/2411.01857

arXiv.org

On $\ell_p$-Vietoris-Rips complexes

We study the concepts of the $\ell_p$-Vietoris-Rips simplicial set and the $\ell_p$-Vietoris-Rips complex of a metric space, where $1\leq p \leq \infty.$ This theory unifies two established...

www.group-telegram.com/hk/math_dump_of_sepa.com/267

1.7K viewsSergei, edited  Nov 9 at 06:29

𝑙_p-комплексы Виеториса-Рипса

Мы с моим китайским другом Сяоменгом выложили препринт, в котором определяем обобщение комплекса Виеториса-Рипса, зависящее от дополнительного параметра
1≤𝑝≤∞. В этом определении используется 𝑙_p-норма. При 𝑝=∞ получается обычный комплекс Виеториса-Рипса, а при 𝑝=1 — пространство, гомологии которого — это размытые магнитудные гомологии.

Таким образом, мы объединяем эти две теории и утверждаем, что их следует изучать вместе. В частности, мы доказываем, что для компактного риманова многообразия 𝑀 при малом параметре 𝑟 этот комплекс гомотопически эквивалентен 𝑀 для любого 𝑝. Мы также приводим доказательства других свойств, которые ранее были известны для классического комплекса Виеториса-Рипса. Например, при переходе к пополнению метрического пространства гомотопический тип 𝑙_p-комплекса Виеториса-Рипса сохраняется.

Кроме того, мы доказываем свойство, которое удивило некоторых специалистов по магнитудным гомологиям. Мы показываем, что гомологии нашего 𝑙_p-комплекса Виеториса-Рипса коммутируют с фильтрующимися копределами метрических пространств. Важно отметить, что в этом доказательстве используется строгое неравенство в определении комплекса; для нестрогого неравенства это свойство не выполняется. В частности, строго размытые магнитудные гомологии коммутируют с фильтрующимися копределами, а нестрого размытые (как и обычные магнитудные) не коммутируют.

Подробности в прикреплённой далее презентации, и в архиве

https://arxiv.org/abs/2411.01857

BY Математическая свалка Сепы