😴

Дано трикутник АВС, точки D та Е на його сторонах задовольняють умову BD = EC. Пряма DE перетинає пряму ВС в точці F, а точка N — середина дуги ВАС описаного колa трикутника ABC. Точка Х — інцентр трикутника ECF, а точка Y — центр зовнівписаного кола DBF.
Доведіть, що NX = NY.

Просто гарна задачка.

Зелене коло дотикається червоних в точках P, Q, R. Якщо K, L, M - точки перетину внутрішніх дотичних кожної пари кіл, то доведіть, що PK, QL, RM - конкурентні.

Продовжуючи тему горобців, задача на ніч:

Зовнішня бісектриса кута A перетинає описане коло трикутника ABC в точці F, у фокусі вписаної параболи Г. Доведіть, що дотична до Г в довільній точці X перетинає AC і BC у таких точках P і Q таких, що BQ = CP.

Пропонуємо ознайомитися з умовами та розвʼязаннями цьогорічної Київської міської олімпіади з математики що проходила сьогодні в локаціях в Києві, Німеччині та Великій Британії. Можна побачити що на сьогоднішньому турі відбувся дебют на олімпіадах традиційного циклу двох нових авторів, один з яких є одним з адмінів цього каналу, з чим ми їх щиро і вітаємо. А в коментарях запрошуємо усіх причетних до обговорень будь-якого роду з приводу усіх задач олімпіади

Давненько не було простих авторок.

Дано трикутник ABC, в якому 2AB²=BC², з медіаною AM. E — точка на стороні АС, така що АВ=ВЕ. Т — така точка, що ∠TBC=∠TCB=∠BAC. На відрізку TE вибрана така точка R, що AR=MB=MC. Доведіть, що MERAB — вписаний.

Київська міська олімпіада 2025, 1 тур, 8.3

Для якого найменшого натурального числа n > 3 не існує (не обов’язково опуклий) n-кутник, у якого всі діагоналі рівні? Діагоналлю довільного многокутника називається відрізок, що з’єднує будь-які дві не сусідні вершини цього многокутника.

Антон Тригуб

Київська міська олімпіада 2025, 1 тур, 9.3

Точка 𝐻 − точка перетину висот гострокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐷 − його висота. До кола з центром у точці 𝐴 та радіусом 𝐴𝐷 проведено дотичні з точок 𝐵 і 𝐶, які не співпадають з прямою 𝐵𝐶. Ці дотичні перетинаються в точці 𝑃. Доведіть, що радіус вписаного кола ∆𝐵𝐶𝑃 дорівнює 𝐻𝐷.

Данило Хілько

Київська міська олімпіада 2025, 1 тур, 10-11.3

Діаметр 𝐴𝐷 описаного кола трикутника 𝐴𝐵𝐶 перетинає пряму 𝐵𝐶 у точці 𝐾. Точку 𝐷 симетрично відобразили відносно точки 𝐾 і отримали точку 𝐿. На прямій 𝐴𝐵 обрана така точка 𝐹, що 𝐹𝐿⊥𝐴𝐶. Доведіть, що 𝐹𝐾⊥𝐴𝐷.

Матвій Курський

Прокинулись — посміхнулись 🌚

Дано блакитний квадрат та довільну червону точку в середині нього. Доведіть перпендикулярність синіх відрізків.

Дано описаний чотирикутник... Доведіть перпендикулярність зелених відрізків.

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 10.4

Точка A1 знаходиться всередині гострокутного трикутника ABC така, що ∠ACB = 2∠A1BC та ∠ABC = 2∠A1CB. Точки A і A2 лежать по різні боки відносно прямої BC, причому AA2⊥BC та серединний перпендикуляр до AA2 дотикається описаного кола трикутника ABC. Визначимо точки B1, B2, C1, C2 аналогічно. Доведіть, що описані кола трикутників AA1A2, BB1B2 та CC1C2 перетинаються рівно в двох спільних точках.

Вадим Соломка

Дуже прикольний та важливий факт)

IO — прямая Ейлера тангенціального трикутника.

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 7.4

Нехай 𝐵𝐸 і 𝐶𝐹 − медіани △ 𝐴𝐵𝐶, 𝐺 − точка їх перетину. На відрізках 𝐺𝐹 та 𝐺𝐸 знайшлися точки 𝐾 і 𝐿 відповідно такі, що 𝐵𝐾=𝐶𝐿=𝐴𝐺. Доведіть, що ∠𝐵𝐾𝐹 +∠𝐶𝐿𝐸 =∠𝐵𝐺𝐶.

Вадим Соломка

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 9.4

Нехай 𝐻 – точка перетину висот, а точка 𝑂 – центр описаного кола трикутника 𝐴𝐵𝐶. Пряма 𝐴𝐻 вдруге перетинає описане коло ∆𝐴𝐵𝐶 в точці 𝑁. Описане коло ∆𝐵𝑂𝐶 з центром в точці 𝑄 вдруге перетинає пряму 𝑂𝐻 в точці 𝑋. Доведіть, що точки 𝑂,𝑄, 𝑁, 𝑋 лежать на одному колі.

Матвій Курський

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 11.3

На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 гострокутного нерівнобедреного трикутника 𝐴𝐵𝐶 обрано точки 𝑃 і 𝑄 відповідно так, що центр кола Ейлера 𝑂_9 трикутника 𝐴𝐵𝐶 є серединою відрізку 𝑃𝑄. Нехай 𝑂 – центр описаного кола 𝐴𝐵𝐶. На промені 𝑂𝑃 за точку 𝑃 відклали відрізок 𝑃𝑋 так, що 𝑃𝑋 = 𝐴𝑄, на промені 𝑂𝑄 за точку 𝑄 відклали відрізок 𝑄𝑌 так, що 𝑄𝑌 = 𝐴𝑃. Доведіть, що середина сторони 𝐵𝐶, середина відрізку 𝑋𝑌 і точка 𝑂_9 лежать на одній прямій.

Данило Хілько

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 8.4

Всередині опуклого чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 обрано точку 𝑃 так що ∠𝑃𝐴𝐷 =∠𝑃𝐴𝐵 =∠𝑃𝐵𝐶 =∠𝑃𝐶𝐵 =∠𝑃𝐷𝐴 = 30°. Доведіть, що ∠𝐶𝐷𝑃 = 30°.

Вадим Соломка

Нещодавно на гуртку Кванта (на який, до речі, учні 7-9 класів можуть долучитись 😉) було заняття з теми "точка Мікеля" і насправді за останній рік вона для мене заграла новими фарбами.

Ділюся листочком, який знайомить з точкою Мікеля і дає змогу попрактикуватись на відповідних задачах. Головною перевагою цього листочку є те, що майже всi задачi, навіть складні, розв’язуються банальним "перекидуванням" кутiв. Цей "скiл" насправдi є дуже корисним i, на мою думку, чи не найважливiшим взагалi.

Точки X та Y такі, що CY = MY, BX = MX та ∠CYM = 2∠MAB, ∠MXB = 2∠CAM.
Доведіть, що XY⊥AM.