Математические байки

Математические байки

Так вот — эту (прекрасную!) статью Григория Мерзона в « Квантике » я тут вспомнил не случайно. Она заканчивается вопросом про то, что происходит на сфере (см. скриншот). Так вот: всего, что мы сказали выше, достаточно, не только чтобы ответить на этот вопрос…

Действительно — мы уже знаем (хоть всё ещё это и не доказали), что при обходе фигуры площади S на сфере мы поворачиваемся на суммарный угол не 2π, как на плоскости — а на меньший, 2π - (S/R^2).
Потому что на (S/R^2) повернулась касательная плоскость при параллельном переносе вдоль нашей кривой.
Значит, если проведём из каждой точки отрезок касательной длины b (он же — наш велосипед), при приближении многоугольником и разбиении на сектора сумма их углов такой и будет. А значит, их суммарная площадь будет равна площади (сферического!) круга, умноженной на отношение углов, полученного и полного:
(2π - (S/R^2)) / 2π = 1 - (1/2πR^2) S.

Отлично! Теперь можно и сферическую теорему Пифагора записать. Давайте действовать, как в статье из Квантика: возьмём прямоугольный треугольник на сфере (с катетами a и b и гипотенузой c), и завращаем его вокруг вершины, где сходятся a и c.
Пусть s(r) — площадь круга на сфере радиуса r (в смысле сферической геометрии — мы движемся только по поверхности сферы). Завращав треугольник, мы получили круг радиуса с, соответственно, площади s(c). С другой стороны, он разбивается на круг радиуса a и площади s(a), получившийся из первого катета, и « кольцо », получившееся из второго катета — для которого формула выше даёт площадь
(1- (1/2πR^2)s(a)) * s(b).
Приравняв одно к другому и раскрыв скобки, получаем:

s(c) = s(a) + s(b) - (1/2πR^2) s(a) s(b).

Это ещё не окончательный вид — теорему Пифагора на сфере можно записать (и доказать) гораздо проще. Но это вид, к которому мы пришли, просто повторив рассуждения для плоскости — и воспользовавшись только что полученным знанием про дефект угла на сфере!

Telegram

Математические байки

А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!)

Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного…

www.group-telegram.com/id/mathtabletalks.com/4656

1.4K viewsVictor Kleptsyn, Jan 10 at 15:20

Действительно — мы уже знаем (хоть всё ещё это и не доказали), что при обходе фигуры площади S на сфере мы поворачиваемся на суммарный угол не 2π, как на плоскости — а на меньший, 2π - (S/R^2).
Потому что на (S/R^2) повернулась касательная плоскость при параллельном переносе вдоль нашей кривой.
Значит, если проведём из каждой точки отрезок касательной длины b (он же — наш велосипед), при приближении многоугольником и разбиении на сектора сумма их углов такой и будет. А значит, их суммарная площадь будет равна площади (сферического!) круга, умноженной на отношение углов, полученного и полного:
(2π - (S/R^2)) / 2π = 1 - (1/2πR^2) S.

Отлично! Теперь можно и сферическую теорему Пифагора записать. Давайте действовать, как в статье из Квантика: возьмём прямоугольный треугольник на сфере (с катетами a и b и гипотенузой c), и завращаем его вокруг вершины, где сходятся a и c.
Пусть s(r) — площадь круга на сфере радиуса r (в смысле сферической геометрии — мы движемся только по поверхности сферы). Завращав треугольник, мы получили круг радиуса с, соответственно, площади s(c). С другой стороны, он разбивается на круг радиуса a и площади s(a), получившийся из первого катета, и « кольцо », получившееся из второго катета — для которого формула выше даёт площадь
(1- (1/2πR^2)s(a)) * s(b).
Приравняв одно к другому и раскрыв скобки, получаем:

s(c) = s(a) + s(b) - (1/2πR^2) s(a) s(b).

Это ещё не окончательный вид — теорему Пифагора на сфере можно записать (и доказать) гораздо проще. Но это вид, к которому мы пришли, просто повторив рассуждения для плоскости — и воспользовавшись только что полученным знанием про дефект угла на сфере!

BY Математические байки