В догонку публикуем геому, которая сегодня была на туре
Майский мастер (он же — суперфинал всеросса) — первая (после всеросса) ступень отбора в национальную команду России 💪
По итогам двухдневной олимпиады часть участников будет приглашена на летние сборы
Задача. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 равны. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐾, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐿. Точка 𝑀 выбрана на продолжении отрезка 𝐷𝐴 за точку 𝐴 так, что 𝐴𝑀 = 𝐷𝐿. Внешняя биссектриса угла 𝐴𝐾𝐷 пересекает луч 𝐶𝐵 в точке 𝑁. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐿𝑀𝑁 и 𝐾𝐴𝐷 касаются.
Майский мастер (он же — суперфинал всеросса) — первая (после всеросса) ступень отбора в национальную команду России 💪
По итогам двухдневной олимпиады часть участников будет приглашена на летние сборы
Задача. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 равны. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐾, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐿. Точка 𝑀 выбрана на продолжении отрезка 𝐷𝐴 за точку 𝐴 так, что 𝐴𝑀 = 𝐷𝐿. Внешняя биссектриса угла 𝐴𝐾𝐷 пересекает луч 𝐶𝐵 в точке 𝑁. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐿𝑀𝑁 и 𝐾𝐴𝐷 касаются.
#геом_разминка
Задача. На стороне квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝐸, а на продолжении стороны 𝐵𝐶 за точку — точка 𝐹, причем ∠𝐴𝐷𝐹 = 2∠𝐶𝐷𝐸. Докажите, что 𝐵𝐸 < 𝐶𝐹.
Задача. На стороне квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝐸, а на продолжении стороны 𝐵𝐶 за точку — точка 𝐹, причем ∠𝐴𝐷𝐹 = 2∠𝐶𝐷𝐸. Докажите, что 𝐵𝐸 < 𝐶𝐹.
Еще одна задачка с майских сборов
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶, точка 𝑂 — центр описанной около него окружности. Прямая 𝐵𝑂 пересекает отрезок 𝐴𝐶 в точке 𝐵₁, а прямая 𝐶𝑂 пересекает отрезок 𝐴𝐵 в точке 𝐶₁. Отрезки 𝐴𝑂 и 𝐵₁𝐶₁ пересекаются в точке 𝐷. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝐵₁ и 𝐴𝐶𝐶₁, пересекаются в точках 𝐴 и 𝐸. Докажите, что 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸.
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶, точка 𝑂 — центр описанной около него окружности. Прямая 𝐵𝑂 пересекает отрезок 𝐴𝐶 в точке 𝐵₁, а прямая 𝐶𝑂 пересекает отрезок 𝐴𝐵 в точке 𝐶₁. Отрезки 𝐴𝑂 и 𝐵₁𝐶₁ пересекаются в точке 𝐷. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝐵₁ и 𝐴𝐶𝐶₁, пересекаются в точках 𝐴 и 𝐸. Докажите, что 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸.
#геом_разминка #уголки_планеты
Привет всем подписчикам из солнечного Еревана 🇦🇲
UPD: Внимательные подписчики заметили ошибку в условии 👀 Исправляем!✒️
Задача. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности (бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса R?. Найдите все возможные значения R.
Привет всем подписчикам из солнечного Еревана 🇦🇲
UPD: Внимательные подписчики заметили ошибку в условии 👀 Исправляем!✒️
Задача. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности (бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса R?. Найдите все возможные значения R.
Сферы с ручками
Уже в эту пятницу мы совместно с тг-каналом "Кроссворд Тьюринга" проведем лекцию по топологии для всех желающих 🔥
Лекция хороша для первого знакомства с наглядной топологией, не будет никаких сложных сюжетов. Но будет много забавных фактов, в частности, Иван Андреевич планирует доказать, что все мы — сферы 🎈 с ручками 🤲 А для тех, кто хочет прочувствовать топологию на пальцах, мы захватим пластилин. Приходите — будет интересно!
📌 НАЧАЛО: 23 мая, 20:00
📍 МЕСТО: Пространство «Циферблат на Солянке», Солянский пр., 1 (2 минуты от метро Китай-город, выход № 8)
‼️ СТОИМОСТЬ: 3,5 рубля в минуту, встреча продлится ~1 час
Уже в эту пятницу мы совместно с тг-каналом "Кроссворд Тьюринга" проведем лекцию по топологии для всех желающих 🔥
Лекция хороша для первого знакомства с наглядной топологией, не будет никаких сложных сюжетов. Но будет много забавных фактов, в частности, Иван Андреевич планирует доказать, что все мы — сферы 🎈 с ручками 🤲 А для тех, кто хочет прочувствовать топологию на пальцах, мы захватим пластилин. Приходите — будет интересно!
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#разминка
По случаю предстоящей лекции делимся с вами топологической разминкой.
Задача. Давным-давно барон Мюнхгаузен свои владения обнёс забором и нарисовал на карте. Забор изображён замкнутой несамопересекающейся ломаной, внутри которой – владения барона. Барон забыл, входит ли в его владения деревня Гаузеновка. Он смог найти лишь обрывок карты (см. рисунок на полях), на который попали его дом, деревня Гаузеновка и часть забора, проходящая по этому участку. Выясните, входит ли деревня во владения барона?
По случаю предстоящей лекции делимся с вами топологической разминкой.
Задача. Давным-давно барон Мюнхгаузен свои владения обнёс забором и нарисовал на карте. Забор изображён замкнутой несамопересекающейся ломаной, внутри которой – владения барона. Барон забыл, входит ли в его владения деревня Гаузеновка. Он смог найти лишь обрывок карты (см. рисунок на полях), на который попали его дом, деревня Гаузеновка и часть забора, проходящая по этому участку. Выясните, входит ли деревня во владения барона?
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐷 — точка на стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐸 и 𝐹 — точки на отрезках 𝐵𝐷 и 𝐵𝐶 соответственно, такие, что ∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐶𝐴𝐹. Пусть 𝑃 и 𝑄 — точки на отрезках 𝐵𝐶 и 𝐵𝐷 соответственно, такие, что 𝐸𝑃 ‖ 𝐶𝐷 и 𝐹𝑄 ‖ 𝐶𝐷. Докажите, что ∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝐶𝐴𝑄.
Задача. Пусть 𝐷 — точка на стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐸 и 𝐹 — точки на отрезках 𝐵𝐷 и 𝐵𝐶 соответственно, такие, что ∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐶𝐴𝐹. Пусть 𝑃 и 𝑄 — точки на отрезках 𝐵𝐶 и 𝐵𝐷 соответственно, такие, что 𝐸𝑃 ‖ 𝐶𝐷 и 𝐹𝑄 ‖ 𝐶𝐷. Докажите, что ∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝐶𝐴𝑄.
#разминка
Сегодня топ. 🔝 разминка. А вечером будет лекция по топологии. Всех ждем!
Задача. Рассмотрим карту Москвы. Положим на нее такую же карту, но меньшего масштаба, причем будем считать, что маленькая карта целиком помещается на большой карте. Докажите, что можно так проколоть обе карты тонкой булавкой, чтобы на обеих картах точка прокола соответствовала одной и той же точке Москвы.
Сегодня топ. 🔝 разминка. А вечером будет лекция по топологии. Всех ждем!
Задача. Рассмотрим карту Москвы. Положим на нее такую же карту, но меньшего масштаба, причем будем считать, что маленькая карта целиком помещается на большой карте. Докажите, что можно так проколоть обе карты тонкой булавкой, чтобы на обеих картах точка прокола соответствовала одной и той же точке Москвы.
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐼 — инцентр неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑀 — середина 𝐵𝐶, 𝑀′ на 𝐵𝐶 такова, что 𝐼𝑀′ = 𝐼𝑀 и 𝐾 — середина дуги 𝐵𝐴𝐶. Если 𝐴𝐾 и 𝐵𝐶 пересекаются в 𝐿, докажите, что 𝐾𝐿𝐼𝑀′ — вписанный четырехугольник.
Задача. Пусть 𝐼 — инцентр неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑀 — середина 𝐵𝐶, 𝑀′ на 𝐵𝐶 такова, что 𝐼𝑀′ = 𝐼𝑀 и 𝐾 — середина дуги 𝐵𝐴𝐶. Если 𝐴𝐾 и 𝐵𝐶 пересекаются в 𝐿, докажите, что 𝐾𝐿𝐼𝑀′ — вписанный четырехугольник.
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник с 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, пусть 𝐷 — середина стороны 𝐴𝐶, и пусть 𝛾 — описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐷. Касательная к 𝛾 в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐵𝐶 в точке 𝐸. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐸. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑂 лежит на 𝛾.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник с 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, пусть 𝐷 — середина стороны 𝐴𝐶, и пусть 𝛾 — описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐷. Касательная к 𝛾 в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐵𝐶 в точке 𝐸. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐸. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑂 лежит на 𝛾.
#разминка
По мотивам прошедшей лекции предлагаем вам сегодня осуществить несколько любопытных опытов👨🔬
Опыт 1. Что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль его средней линии?
В следующих двух опытах имеется полоска бумаги. Ее можно перегибать и надрезать ее концы. После этого концы можно склеивать. Кроме того, допустимо сделать один сквозной разрез получившейся таким способом бумажной модели ✂️
Опыт 2. Покажите как сделать из полоски три попарно сцепленных кольца (цепь из трех колец).
Опыт 3. Покажите как изготовить две отдельные цепи из двух и трех колец соответственно.
Больше опытов вы сможете найти тут
По мотивам прошедшей лекции предлагаем вам сегодня осуществить несколько любопытных опытов👨🔬
Опыт 1. Что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль его средней линии?
В следующих двух опытах имеется полоска бумаги. Ее можно перегибать и надрезать ее концы. После этого концы можно склеивать. Кроме того, допустимо сделать один сквозной разрез получившейся таким способом бумажной модели ✂️
Опыт 2. Покажите как сделать из полоски три попарно сцепленных кольца (цепь из трех колец).
Опыт 3. Покажите как изготовить две отдельные цепи из двух и трех колец соответственно.
Больше опытов вы сможете найти тут
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. Пусть 𝐷 — середина меньшей дуги 𝐴𝐵. Прямая 𝐴𝐷 пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝐸, а описанная окружность 𝐵𝐷𝐸 пересекает 𝐴𝐵 в точке 𝑍, отличной от 𝐵. Описанная окружность 𝐴𝐷𝑍 пересекает 𝐴𝐶 в точке 𝐻, отличной от 𝐴. Докажите, что 𝐵𝐸 = 𝐴𝐻.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. Пусть 𝐷 — середина меньшей дуги 𝐴𝐵. Прямая 𝐴𝐷 пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝐸, а описанная окружность 𝐵𝐷𝐸 пересекает 𝐴𝐵 в точке 𝑍, отличной от 𝐵. Описанная окружность 𝐴𝐷𝑍 пересекает 𝐴𝐶 в точке 𝐻, отличной от 𝐴. Докажите, что 𝐵𝐸 = 𝐴𝐻.
#геом_разминка
Задача. На медиане 𝐴𝑀 остроугольного неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечена точка 𝑃 так, что ∠𝑁𝑃𝐶 = ∠𝑀𝑃𝐶, где 𝑁 — середина стороны 𝐴𝐶. Прямая 𝑁𝑃 пересекает прямую, проходящую через точку 𝐵 параллельно 𝐶𝑃, в точке 𝐷. Докажите, что 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵.
Задача. На медиане 𝐴𝑀 остроугольного неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечена точка 𝑃 так, что ∠𝑁𝑃𝐶 = ∠𝑀𝑃𝐶, где 𝑁 — середина стороны 𝐴𝐶. Прямая 𝑁𝑃 пересекает прямую, проходящую через точку 𝐵 параллельно 𝐶𝑃, в точке 𝐷. Докажите, что 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵.