сладко стянул

сладко стянул

Как настроиться на праздник? Вспомнить, что конечнопорожденные модули над областями главных идеалов* устроены как никогда приятно: Теорема: пусть k — ОГИ, M — к.п. k-модуль. Тогда M раскладывается в прямую сумму циклических модулей: M = k/(d_1)⊕k/(d_2)⊕..⊕k/(d_n)…

А я давно хотел понять по гомологическим данным, "сколько* нужно образующих и соотношений" для копредставления связной ассоциативной k-алгебры A. Ответ простой, если k — поле: это размерности векторных пространств Tor_1^A(k,k) и Tor_2^A(k,k).

Сегодня я проверил, что он чуть-чуть обобщается:

Теорема. Пусть k — ОГИ, A — связная ассоциативная k-алгебра конечного типа. Тогда
(1) в любом однородном копредставлении алгебры A хотя бы gen(Tor_1) образующих и хотя бы rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений;
(2) существует однородное копредставление, в котором ровно gen(Tor_1) образующих и ровно rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений.

[при этом gen и rel можно считать покомпонентно: образующих степени i нужно ровно gen(Tor_{1,i}), и аналогично с соотношениями.]

Пример: для алгебры
A=T(x,y)/(5x³=8y², 21y=0),
deg(x)=2, deg(y)=3,
имеем
Tor_{1,2} = k,
Tor_{1,3} = k/(21),
Tor_{2,6} = k,
остальные Tor_{1,*}, Tor_{2,*} нулевые. Первое соотношение порождает Tor_2, второе даёт кручение в Tor_1.

Для произвольного k получаются оценки снизу и сверху, но пока не знаю, совпадают они или нет. Хотите сформулирую? Вопрос в предыдущем посте — примерно про это

*Для простоты я предполагаю, что алгебра имеет конечный тип, то есть каждая градуированная компонента — к.п. k-модуль. Тогда образующих/соотношений в каждой размерности нужно только конечное число, поэтому вопрос корректен. Да и градуированные k-модули Tor_1 и Tor_2 тоже имеют конечный тип

www.group-telegram.com/in/sweet_homotopy.com/1936

1.8K viewsedited  Dec 30, 2023 at 22:01

А я давно хотел понять по гомологическим данным, "сколько* нужно образующих и соотношений" для копредставления связной ассоциативной k-алгебры A. Ответ простой, если k — поле: это размерности векторных пространств Tor_1^A(k,k) и Tor_2^A(k,k).

Сегодня я проверил, что он чуть-чуть обобщается:

Теорема. Пусть k — ОГИ, A — связная ассоциативная k-алгебра конечного типа. Тогда
(1) в любом однородном копредставлении алгебры A хотя бы gen(Tor_1) образующих и хотя бы rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений;
(2) существует однородное копредставление, в котором ровно gen(Tor_1) образующих и ровно rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений.

[при этом gen и rel можно считать покомпонентно: образующих степени i нужно ровно gen(Tor_{1,i}), и аналогично с соотношениями.]

Пример: для алгебры
A=T(x,y)/(5x³=8y², 21y=0),
deg(x)=2, deg(y)=3,
имеем
Tor_{1,2} = k,
Tor_{1,3} = k/(21),
Tor_{2,6} = k,
остальные Tor_{1,*}, Tor_{2,*} нулевые. Первое соотношение порождает Tor_2, второе даёт кручение в Tor_1.

Для произвольного k получаются оценки снизу и сверху, но пока не знаю, совпадают они или нет. Хотите сформулирую? Вопрос в предыдущем посте — примерно про это

*Для простоты я предполагаю, что алгебра имеет конечный тип, то есть каждая градуированная компонента — к.п. k-модуль. Тогда образующих/соотношений в каждой размерности нужно только конечное число, поэтому вопрос корректен. Да и градуированные k-модули Tor_1 и Tor_2 тоже имеют конечный тип

BY сладко стянул