Эти классы пространств забавно взаимодействуют, помимо очевидных включений P- ⊆ P ⊆ P+.
Во-первых, из расслоений Хопфа выводится, что ΩS^3 ~ ΩS^2 x S^1, ΩS^7 ~ ΩS^4 x S^3, ΩS^15 ~ ΩS^8x S^7, поэтому P- можно определить как "пространства из P, в которых петель на S^2, S^4 и S^8 не меньше, чем копий S^1, S^3, S^7".
Ещё есть вот такая симметрия/сопряжённость: Утв. 1. Если X ∈ W, то ΩX ∈ P-. Утв. 2. Если Y ∈ P+, то ΣY ∈ W. Утв. 3. W замкнуто относительно ретрактов. (То есть: если X ∈ W и существуют отображения A -i-> X -r-> A, такие что ri: A->A гомотопно тождественному, то A ∈ W) Утв. 4. P замкнуто относительно ретрактов.
И вот ещё забавные факты: Утв. 5. Если ΩZ ∈ P+, то ΩZ ∈ P. Утв. 6. Если ΩΣX ∈ P+, то ΣX∈ W и поэтому ΩΣX ∈ P-.
Зачем это нужно? Иногда кучей рассуждений схожего характера удаётся доказать, что для некоторого Z верно ΩZ ∈ P. Это приятно, но копии S^1, S^3, S^7 мешаются под ногами. Но если заодно мы знаем, что ΩZ — это произведение пространств вида ΩΣX, то из Утв.4 и 6 следует, что "лишних копий нет" — их можно засунуть по Хопфу в петли на сферах, и в итоге ΩZ ∈ P-.
Эти классы пространств забавно взаимодействуют, помимо очевидных включений P- ⊆ P ⊆ P+.
Во-первых, из расслоений Хопфа выводится, что ΩS^3 ~ ΩS^2 x S^1, ΩS^7 ~ ΩS^4 x S^3, ΩS^15 ~ ΩS^8x S^7, поэтому P- можно определить как "пространства из P, в которых петель на S^2, S^4 и S^8 не меньше, чем копий S^1, S^3, S^7".
Ещё есть вот такая симметрия/сопряжённость: Утв. 1. Если X ∈ W, то ΩX ∈ P-. Утв. 2. Если Y ∈ P+, то ΣY ∈ W. Утв. 3. W замкнуто относительно ретрактов. (То есть: если X ∈ W и существуют отображения A -i-> X -r-> A, такие что ri: A->A гомотопно тождественному, то A ∈ W) Утв. 4. P замкнуто относительно ретрактов.
И вот ещё забавные факты: Утв. 5. Если ΩZ ∈ P+, то ΩZ ∈ P. Утв. 6. Если ΩΣX ∈ P+, то ΣX∈ W и поэтому ΩΣX ∈ P-.
Зачем это нужно? Иногда кучей рассуждений схожего характера удаётся доказать, что для некоторого Z верно ΩZ ∈ P. Это приятно, но копии S^1, S^3, S^7 мешаются под ногами. Но если заодно мы знаем, что ΩZ — это произведение пространств вида ΩΣX, то из Утв.4 и 6 следует, что "лишних копий нет" — их можно засунуть по Хопфу в петли на сферах, и в итоге ΩZ ∈ P-.
BY сладко стянул
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
This ability to mix the public and the private, as well as the ability to use bots to engage with users has proved to be problematic. In early 2021, a database selling phone numbers pulled from Facebook was selling numbers for $20 per lookup. Similarly, security researchers found a network of deepfake bots on the platform that were generating images of people submitted by users to create non-consensual imagery, some of which involved children. Oleksandra Matviichuk, a Kyiv-based lawyer and head of the Center for Civil Liberties, called Durov’s position "very weak," and urged concrete improvements. Given the pro-privacy stance of the platform, it’s taken as a given that it’ll be used for a number of reasons, not all of them good. And Telegram has been attached to a fair few scandals related to terrorism, sexual exploitation and crime. Back in 2015, Vox described Telegram as “ISIS’ app of choice,” saying that the platform’s real use is the ability to use channels to distribute material to large groups at once. Telegram has acted to remove public channels affiliated with terrorism, but Pavel Durov reiterated that he had no business snooping on private conversations. Some privacy experts say Telegram is not secure enough This provided opportunity to their linked entities to offload their shares at higher prices and make significant profits at the cost of unsuspecting retail investors.
from in
