Рассмотрим набор окружностей на плоскости, как справа на картинке. Построим граф, где вершины отвечают окружностям, а ребро проводим, если соответствующие окружности касаются. Понятно, что получится планарный граф (см. слева).
Красивейшая теорема: (Кёбе, Андреев, Тёрстон...) любой планарный граф может быть так реализован.
Красивейшее следствие (Липтон-Тарьян): из любого планарного графа на n вершинах можно так выкинуть порядка sqrt(n) вершин, что граф распадётся на (хотя бы две) компоненты, в каждой из которых не более 3n/4 вершин.
Рассмотрим набор окружностей на плоскости, как справа на картинке. Построим граф, где вершины отвечают окружностям, а ребро проводим, если соответствующие окружности касаются. Понятно, что получится планарный граф (см. слева).
Красивейшая теорема: (Кёбе, Андреев, Тёрстон...) любой планарный граф может быть так реализован.
Красивейшее следствие (Липтон-Тарьян): из любого планарного графа на n вершинах можно так выкинуть порядка sqrt(n) вершин, что граф распадётся на (хотя бы две) компоненты, в каждой из которых не более 3n/4 вершин.
Update March 8, 2022: EFF has clarified that Channels and Groups are not fully encrypted, end-to-end, updated our post to link to Telegram’s FAQ for Cloud and Secret chats, updated to clarify that auto-delete is available for group and channel admins, and added some additional links. On December 23rd, 2020, Pavel Durov posted to his channel that the company would need to start generating revenue. In early 2021, he added that any advertising on the platform would not use user data for targeting, and that it would be focused on “large one-to-many channels.” He pledged that ads would be “non-intrusive” and that most users would simply not notice any change. "This time we received the coordinates of enemy vehicles marked 'V' in Kyiv region," it added. Telegram does offer end-to-end encrypted communications through Secret Chats, but this is not the default setting. Standard conversations use the MTProto method, enabling server-client encryption but with them stored on the server for ease-of-access. This makes using Telegram across multiple devices simple, but also means that the regular Telegram chats you’re having with folks are not as secure as you may believe.
from in
