Разминка дня №86:
Условие:
2 окружности пересекаются в точках А и В. через В проведена прямая, которая пересекает первую окружность в точке С, вторую в точке D. из точки В проведено 2 луча, которые пересекают первую окружность в точке P, вторую в точке Q, отрезок АС в точке М, отрезок АD в точке N. Оказалось, что MNPQ - вписанный. докажите, что если O - центр окружности (ACD) то ВO перпендикулярно МN
Условие:
2 окружности пересекаются в точках А и В. через В проведена прямая, которая пересекает первую окружность в точке С, вторую в точке D. из точки В проведено 2 луча, которые пересекают первую окружность в точке P, вторую в точке Q, отрезок АС в точке М, отрезок АD в точке N. Оказалось, что MNPQ - вписанный. докажите, что если O - центр окружности (ACD) то ВO перпендикулярно МN
2 одинаковые задачи скинул)
На первой картинке задача Кирилла Бельского с ЮМТ, а на второй задача с сегодняшнего региона от того же Кирилла Бельского
Задача 1. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 и на его описанной окружности на меньшей дуге 𝐵𝐶 выбраны точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆. Точки 𝑃′, 𝑄′, 𝑅′, 𝑆′ лежат на прямых 𝐴𝑃, 𝐴𝑄, 𝐴𝑅, 𝐴𝑆 так, что середины отрезков 𝑃𝑃′, 𝑄𝑄′, 𝑅𝑅′, 𝑆𝑆′ лежат на прямой 𝐵𝐶. Оказалось, что 𝐵, 𝑃′, 𝑄′ — одна прямая и 𝐶, 𝑅′, 𝑆′ — одна прямая. Докажите, что точки 𝑃′, 𝑄′, 𝑅′, 𝑆′ лежат на одной окружности.
Задача 2. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 100° при вершине 𝐴 медианы 𝐵𝐾 и 𝐶𝑁 пересекаются в точке 𝑀. Прямая, проходящая через точку 𝑀 и параллельная 𝐵𝐶, пересекает описанную окружность треугольника 𝐴𝐾𝑁 в точках 𝑄 и 𝑃. Найдите сумму углов 𝐵𝑃𝐶 и 𝐵𝑄𝐶.
На первой картинке задача Кирилла Бельского с ЮМТ, а на второй задача с сегодняшнего региона от того же Кирилла Бельского
Задача 1. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 и на его описанной окружности на меньшей дуге 𝐵𝐶 выбраны точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆. Точки 𝑃′, 𝑄′, 𝑅′, 𝑆′ лежат на прямых 𝐴𝑃, 𝐴𝑄, 𝐴𝑅, 𝐴𝑆 так, что середины отрезков 𝑃𝑃′, 𝑄𝑄′, 𝑅𝑅′, 𝑆𝑆′ лежат на прямой 𝐵𝐶. Оказалось, что 𝐵, 𝑃′, 𝑄′ — одна прямая и 𝐶, 𝑅′, 𝑆′ — одна прямая. Докажите, что точки 𝑃′, 𝑄′, 𝑅′, 𝑆′ лежат на одной окружности.
Задача 2. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 100° при вершине 𝐴 медианы 𝐵𝐾 и 𝐶𝑁 пересекаются в точке 𝑀. Прямая, проходящая через точку 𝑀 и параллельная 𝐵𝐶, пересекает описанную окружность треугольника 𝐴𝐾𝑁 в точках 𝑄 и 𝑃. Найдите сумму углов 𝐵𝑃𝐶 и 𝐵𝑄𝐶.
Forwarded from II Лицейский математический турнир
В качестве задачи недели предлагаем решить вам две интересные задачи, которые были предложены в варианте 11 класса на Региональном этапе ВСОШ