#геом_разминка
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 и точка 𝑋 внутри него. Пусть 𝑃, 𝑄 и 𝑅 это точки второго пересечения прямых 𝑋𝐴, 𝑋𝐵 и 𝑋𝐶 с описанной окружностью 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑈 — точка на отрезке 𝑋𝑃. Прямая, проходящая через 𝑈, параллельная 𝐴𝐵, пересекает 𝐵𝑄 в точке 𝑉. Прямая, проходящая через 𝑈, параллельная 𝐴𝐶, пересекает 𝐶𝑅 в точке 𝑊. Докажите, что 𝑄, 𝑅, 𝑉 и 𝑊 лежат на одной окружности.
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 и точка 𝑋 внутри него. Пусть 𝑃, 𝑄 и 𝑅 это точки второго пересечения прямых 𝑋𝐴, 𝑋𝐵 и 𝑋𝐶 с описанной окружностью 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑈 — точка на отрезке 𝑋𝑃. Прямая, проходящая через 𝑈, параллельная 𝐴𝐵, пересекает 𝐵𝑄 в точке 𝑉. Прямая, проходящая через 𝑈, параллельная 𝐴𝐶, пересекает 𝐶𝑅 в точке 𝑊. Докажите, что 𝑄, 𝑅, 𝑉 и 𝑊 лежат на одной окружности.
Публикуем условия II тура международной студенческой олимпиады Аль-Хорезми
Люди на фоне — старейшины 👨🦳 Хивы — древнего города крепости 🕌, который отпраздновал недавно свое 2500-летие.
Как видно по их лицам — они не очень довольны (возможно, что вариантом).
На втором фото — команда вышки :)
Своими впечатлениями от тура с нами поделился участник из Шанхая 🇨🇳
Люди на фоне — старейшины 👨🦳 Хивы — древнего города крепости 🕌, который отпраздновал недавно свое 2500-летие.
Как видно по их лицам — они не очень довольны (возможно, что вариантом).
На втором фото — команда вышки :)
Своими впечатлениями от тура с нами поделился участник из Шанхая 🇨🇳
#геом_разминка
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 в котором 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. Пусть 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶, а 𝑋 и 𝑌 — точки на отрезках 𝐵𝑀 и 𝐶𝑀 соответственно, такие, что 𝐵𝑋 = 𝐶𝑌. Пусть 𝜔₁ — описанная окружность 𝐴𝐵𝑋, а 𝜔₂ — описанная окружность 𝐴𝐶𝑌. Общая касательная 𝑡 к 𝜔₁ и 𝜔₂, которая лежит ближе к точке 𝐴, касается 𝜔₁ и 𝜔₂ в точках 𝑃 и 𝑄, соответственно. Пусть прямая 𝑀𝑃 повторно пересекает 𝜔₁ в точке 𝑈, а прямая 𝑀𝑄 повторно пересекает 𝜔₂ в точке 𝑉. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝑀𝑈𝑉 касается как 𝜔₁, так и 𝜔₂.
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 в котором 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶. Пусть 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶, а 𝑋 и 𝑌 — точки на отрезках 𝐵𝑀 и 𝐶𝑀 соответственно, такие, что 𝐵𝑋 = 𝐶𝑌. Пусть 𝜔₁ — описанная окружность 𝐴𝐵𝑋, а 𝜔₂ — описанная окружность 𝐴𝐶𝑌. Общая касательная 𝑡 к 𝜔₁ и 𝜔₂, которая лежит ближе к точке 𝐴, касается 𝜔₁ и 𝜔₂ в точках 𝑃 и 𝑄, соответственно. Пусть прямая 𝑀𝑃 повторно пересекает 𝜔₁ в точке 𝑈, а прямая 𝑀𝑄 повторно пересекает 𝜔₂ в точке 𝑉. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝑀𝑈𝑉 касается как 𝜔₁, так и 𝜔₂.
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник, пусть 𝐴𝑀 — медиана, а 𝐵𝐾 и 𝐶𝐿 — высоты. Пусть 𝑠 — прямая, перпендикулярная 𝐴𝑀 и проходящая через 𝐴. Пусть 𝐸 — точка пересечения 𝑠 с 𝐶𝐿, а 𝐹 — точка пересечения 𝑠 с 𝐵𝐾. Докажите, что 𝐴 — середина 𝐸𝐹.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник, пусть 𝐴𝑀 — медиана, а 𝐵𝐾 и 𝐶𝐿 — высоты. Пусть 𝑠 — прямая, перпендикулярная 𝐴𝑀 и проходящая через 𝐴. Пусть 𝐸 — точка пересечения 𝑠 с 𝐶𝐿, а 𝐹 — точка пересечения 𝑠 с 𝐵𝐾. Докажите, что 𝐴 — середина 𝐸𝐹.
#геом_разминка
Привет из величественной Бухары 🕌 Это один из городов Шелкового пути. Здесь на протяжении 2,5 тысяч лет трудятся представители различных ремесел. В городе огромное количество медресе — исламских научных ✨🔭 школ. В свое время Бухара была одним из центров науки Востока.
Задача. Вершины прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐵𝐴𝐶 — прямой) вписанного в окружность, делят окружность на три дуги. К каждой из трех дуг проведем касательную так, чтобы ее точка касания была серединой той части касательной, которую отсекают продолжения катетов треугольника. Точнее, точка 𝐷 на дуге 𝐵𝐶 является серединой отрезка, соединяющего точки 𝐷′ и 𝐷′′, где касательная в точке 𝐷 пересекает продолженные прямые 𝐴𝐵, 𝐴𝐶. Аналогично для 𝐸 на дуге 𝐴𝐶 и 𝐹 на дуге 𝐴𝐵. Докажите, что треугольник 𝐷𝐸𝐹 равносторонний.
UPD: Поправили условие
Привет из величественной Бухары 🕌 Это один из городов Шелкового пути. Здесь на протяжении 2,5 тысяч лет трудятся представители различных ремесел. В городе огромное количество медресе — исламских научных ✨🔭 школ. В свое время Бухара была одним из центров науки Востока.
Задача. Вершины прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐵𝐴𝐶 — прямой) вписанного в окружность, делят окружность на три дуги. К каждой из трех дуг проведем касательную так, чтобы ее точка касания была серединой той части касательной, которую отсекают продолжения катетов треугольника. Точнее, точка 𝐷 на дуге 𝐵𝐶 является серединой отрезка, соединяющего точки 𝐷′ и 𝐷′′, где касательная в точке 𝐷 пересекает продолженные прямые 𝐴𝐵, 𝐴𝐶. Аналогично для 𝐸 на дуге 𝐴𝐶 и 𝐹 на дуге 𝐴𝐵. Докажите, что треугольник 𝐷𝐸𝐹 равносторонний.
UPD: Поправили условие
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник с высотой 𝐴𝐷. Пусть 𝐻 — ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность Ω проходит через точки 𝐴 и 𝐵 и касается прямой 𝐴𝐶. Пусть 𝐵𝐸 — диаметр Ω. Прямые 𝐵𝐻 и 𝐴𝐻 пересекают Ω во второй раз в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Прямые 𝐸𝐾 и 𝐴𝐵 пересекаются в точке 𝑇. Докажите, что ∠𝐵𝐷𝐾 = ∠𝐵𝐿𝑇.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник с высотой 𝐴𝐷. Пусть 𝐻 — ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность Ω проходит через точки 𝐴 и 𝐵 и касается прямой 𝐴𝐶. Пусть 𝐵𝐸 — диаметр Ω. Прямые 𝐵𝐻 и 𝐴𝐻 пересекают Ω во второй раз в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Прямые 𝐸𝐾 и 𝐴𝐵 пересекаются в точке 𝑇. Докажите, что ∠𝐵𝐷𝐾 = ∠𝐵𝐿𝑇.
#геом_разминка
Задача. Каждую из медиан треугольника продлили за середины сторон на треть ее длины. Докажите, что полученные точки и вершины исходного треугольника лежат на одном эллипсе.
Задача. Каждую из медиан треугольника продлили за середины сторон на треть ее длины. Докажите, что полученные точки и вершины исходного треугольника лежат на одном эллипсе.
#геом_разминка
Предлагаем вам несколько задач от Катрионы Ширер (Catriona Shearer). Катриона — учитель математики и любитель геометрических задач. Свои задачи она публикует в интернете, коллекция постоянно пополняется. На ее странице можно обсуждать задачи, выкладывать свои решения.
Доброго вам утра ☀️
Предлагаем вам несколько задач от Катрионы Ширер (Catriona Shearer). Катриона — учитель математики и любитель геометрических задач. Свои задачи она публикует в интернете, коллекция постоянно пополняется. На ее странице можно обсуждать задачи, выкладывать свои решения.
Доброго вам утра ☀️
#разминка
Задача. Слон и конь находились на клетках одного ряда бесконечной шахматной доски, когда случился огромный метеоритный дождь. В каждой из клеток независимо и с вероятностью 𝑝 появился метеор. Ни слон, ни конь не были поражены, но их движение могло быть затруднено метеорами.
При каком значении 𝑝 матожидание количества допустимых клеток, на которые слон может переместиться (за один ход), равно матожиданию количества клеток, на которые может переместиться конь (за один ход).
Задача. Слон и конь находились на клетках одного ряда бесконечной шахматной доски, когда случился огромный метеоритный дождь. В каждой из клеток независимо и с вероятностью 𝑝 появился метеор. Ни слон, ни конь не были поражены, но их движение могло быть затруднено метеорами.
При каком значении 𝑝 матожидание количества допустимых клеток, на которые слон может переместиться (за один ход), равно матожиданию количества клеток, на которые может переместиться конь (за один ход).
#разминка
Задача. На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных — по две, а на двух оставшихся — по три. Из восьми таких кубиков составили куб 2 × 2 × 2 и посчитали суммарное количество точек по каждой из его шести граней. Могли ли получить шесть последовательных чисел?
Задача. На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных — по две, а на двух оставшихся — по три. Из восьми таких кубиков составили куб 2 × 2 × 2 и посчитали суммарное количество точек по каждой из его шести граней. Могли ли получить шесть последовательных чисел?
#разминка
Задача. Имеется две веревки и неограниченный запас спичек. Каждая из веревок горит не равномерно, но при этом ровно час. Как с помощью них отмерить 45 минут?
Задача. Имеется две веревки и неограниченный запас спичек. Каждая из веревок горит не равномерно, но при этом ровно час. Как с помощью них отмерить 45 минут?
#разминка
Задача. Есть три бога: A, B и C, которые являются богами истины, лжи и случая в произвольном порядке. Бог истины всегда говорит правду, бог лжи — всегда обманывает, бог случая либо говорит правду, либо лжёт, что определяется случайным образом. Требуется определить богов, задав 3 вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет». Каждый вопрос задаётся только одному богу, но можно задавать одному богу более одного вопроса. Боги понимают язык, но отвечают на своём языке, в котором есть 2 слова «da» и «ja», причём неизвестно, какое слово обозначает «да», а какое «нет».
Задача. Есть три бога: A, B и C, которые являются богами истины, лжи и случая в произвольном порядке. Бог истины всегда говорит правду, бог лжи — всегда обманывает, бог случая либо говорит правду, либо лжёт, что определяется случайным образом. Требуется определить богов, задав 3 вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет». Каждый вопрос задаётся только одному богу, но можно задавать одному богу более одного вопроса. Боги понимают язык, но отвечают на своём языке, в котором есть 2 слова «da» и «ja», причём неизвестно, какое слово обозначает «да», а какое «нет».
#геом_разминка
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶, 𝐶𝐷 является высотой. Прямая, проходящая через середину 𝑀 стороны 𝐴𝐵, пересекает лучи 𝐶𝐴 и 𝐶𝐵 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно так, что 𝐶𝐾 = 𝐶𝐿. Точка 𝑆 является центром описанной окружности треугольника 𝐶𝐾𝐿. Докажите, что 𝑆𝐷 = 𝑆𝑀.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶, 𝐶𝐷 является высотой. Прямая, проходящая через середину 𝑀 стороны 𝐴𝐵, пересекает лучи 𝐶𝐴 и 𝐶𝐵 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно так, что 𝐶𝐾 = 𝐶𝐿. Точка 𝑆 является центром описанной окружности треугольника 𝐶𝐾𝐿. Докажите, что 𝑆𝐷 = 𝑆𝑀.
#геом_разминка
Задача. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 основание 𝐴𝐵 меньше основания 𝐶𝐷. Точка 𝐾 выбрана таким образом, что 𝐴𝐾 ‖ 𝐵𝐶 и 𝐵𝐾 ‖ 𝐴𝐷. Точки 𝑃 и 𝑄 выбираются на лучах 𝐴𝐾 и 𝐵𝐾 соответственно таким образом, что ∠𝐴𝐷𝑃 = ∠𝐵𝐶𝐾 и ∠𝐵𝐶𝑄 = ∠𝐴𝐷𝐾. Докажите, что прямые 𝐴𝐷, 𝐵𝐶 и 𝑃𝑄 проходят через одну точку.
Задача. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 основание 𝐴𝐵 меньше основания 𝐶𝐷. Точка 𝐾 выбрана таким образом, что 𝐴𝐾 ‖ 𝐵𝐶 и 𝐵𝐾 ‖ 𝐴𝐷. Точки 𝑃 и 𝑄 выбираются на лучах 𝐴𝐾 и 𝐵𝐾 соответственно таким образом, что ∠𝐴𝐷𝑃 = ∠𝐵𝐶𝐾 и ∠𝐵𝐶𝑄 = ∠𝐴𝐷𝐾. Докажите, что прямые 𝐴𝐷, 𝐵𝐶 и 𝑃𝑄 проходят через одну точку.
#геом_разминка
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность 𝜔. Пусть 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸, а 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 пересекаются в точке 𝐹. Пусть 𝑋̸ = 𝐷 — точка на 𝜔, такая, что 𝐷𝑋 и 𝐸𝐹 параллельны. Пусть 𝑌 — отражение 𝐷 относительно 𝐸𝐹. Докажите, что 𝐴, 𝑋 и 𝑌 лежат на одной прямой.
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность 𝜔. Пусть 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸, а 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 пересекаются в точке 𝐹. Пусть 𝑋̸ = 𝐷 — точка на 𝜔, такая, что 𝐷𝑋 и 𝐸𝐹 параллельны. Пусть 𝑌 — отражение 𝐷 относительно 𝐸𝐹. Докажите, что 𝐴, 𝑋 и 𝑌 лежат на одной прямой.