Notice: file_put_contents(): Write of 9770 bytes failed with errno=28 No space left on device in /var/www/group-telegram/post.php on line 50
Warning: file_put_contents(): Only 4096 of 13866 bytes written, possibly out of free disk space in /var/www/group-telegram/post.php on line 50 Математические байки | Telegram Webview: mathtabletalks/4645 -
А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!)
Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного переноса, позволяющего отождествить касательные плоскости в разных точках сферы. А вектор скорости идущего вдоль забора человека — лежит в касательной плоскости в той точке, где человек сейчас находится; в частности, угол, на который он поворачивает в вершине — откладывается в касательной плоскости именно в этой вершине. А касательные плоскости в разных точках — разные.
Ну хорошо, а нельзя ли с этим что-нибудь сделать? Например: а что, если идущий человек попытается тащить касательную плоскость с собой?
Пусть он идёт вдоль пути длины L. Поделим его на N отрезков длины L/N. Человек прошёл один отрезок и перенёс касательную плоскость параллельно в R^3. Но в новой точке касательная плоскость другая — параллельно перенесённые вектора накренились на угол порядка (1/N) (точнее, (L/R) (1/N), где R — радиус сферы, но путь и сфера у нас фиксированы, а меняем мы N). Человек спохватился и что-нибудь с этим сделал — например, ортогонально спроецировал новые вектора на касательную плоскость в новой точке. («Какая ещё нормальная компонента? Вам показалось, тут ничего не было!») И так он сделал N раз.
А сильно ли у нас поменялись длины векторов к концу пути? У нас было N операций проецирования — так что на вид кажется, что сильно. Но. Каждая из них умножает длины на косинус соответствующего угла, который порядка (1/N). А cos x = 1 - x^2/2 + …, так что косинусы эти не просто близкие к 1, а отличаются на величину всего лишь порядка 1/N^2 ! Так что даже произведение N таких косинусов близко к 1 (логарифм у него порядка 1/N).
Итого — мы определили параллельный перенос вдоль кривой (на сфере, а на самом деле — на любой поверхности, и даже на любом многообразии, вложенном в хоть какое-нибудь R^n). И он оказался ортогональным — сохраняющим длины касательных векторов — преобразованием.
Но вот только… результат параллельного переноса будет зависеть от выбора пути! Или, что то же самое — пройдя по замкнутому пути, мы можем обнаружить (и почти всегда обнаружим), что наше касательное пространство как-то повернулось.
Собственно — для случая поверхности в R^3, именно этот поворот и есть дефект угла, то, на сколько сумма внешних углов отличается от 2π! Потому что — представим себе, что человек обходит многоугольник, например, на сфере. Он несёт с собой касательное пространство (ну хорошо, для реалистичности — его переносную модель), и отмечает на нём свою скорость. В каждой вершине он добавляет новый сектор-угол поворота. Вернувшись в исходную точку, он получает на своей модели все сектора-углы, на которые он повернулся. И казалось бы, это полный оборот, только заканчивается их сумма в его векторе скорости сейчас, а начинается — в том же самом векторе скорости, обнесённом вокруг всего многоугольника. То есть повёрнутом параллельным переносом!
Так что на формулу, что на сфере радиуса R сумма углов треугольника равна π+(S/R^2) — можно смотреть как на утверждение, что при обходе фигуры площади S параллельный перенос приводит к повороту на S/R^2 (с правильным знаком). (И это не конец рассказа, конечно.)
А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!)
Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного переноса, позволяющего отождествить касательные плоскости в разных точках сферы. А вектор скорости идущего вдоль забора человека — лежит в касательной плоскости в той точке, где человек сейчас находится; в частности, угол, на который он поворачивает в вершине — откладывается в касательной плоскости именно в этой вершине. А касательные плоскости в разных точках — разные.
Ну хорошо, а нельзя ли с этим что-нибудь сделать? Например: а что, если идущий человек попытается тащить касательную плоскость с собой?
Пусть он идёт вдоль пути длины L. Поделим его на N отрезков длины L/N. Человек прошёл один отрезок и перенёс касательную плоскость параллельно в R^3. Но в новой точке касательная плоскость другая — параллельно перенесённые вектора накренились на угол порядка (1/N) (точнее, (L/R) (1/N), где R — радиус сферы, но путь и сфера у нас фиксированы, а меняем мы N). Человек спохватился и что-нибудь с этим сделал — например, ортогонально спроецировал новые вектора на касательную плоскость в новой точке. («Какая ещё нормальная компонента? Вам показалось, тут ничего не было!») И так он сделал N раз.
А сильно ли у нас поменялись длины векторов к концу пути? У нас было N операций проецирования — так что на вид кажется, что сильно. Но. Каждая из них умножает длины на косинус соответствующего угла, который порядка (1/N). А cos x = 1 - x^2/2 + …, так что косинусы эти не просто близкие к 1, а отличаются на величину всего лишь порядка 1/N^2 ! Так что даже произведение N таких косинусов близко к 1 (логарифм у него порядка 1/N).
Итого — мы определили параллельный перенос вдоль кривой (на сфере, а на самом деле — на любой поверхности, и даже на любом многообразии, вложенном в хоть какое-нибудь R^n). И он оказался ортогональным — сохраняющим длины касательных векторов — преобразованием.
Но вот только… результат параллельного переноса будет зависеть от выбора пути! Или, что то же самое — пройдя по замкнутому пути, мы можем обнаружить (и почти всегда обнаружим), что наше касательное пространство как-то повернулось.
Собственно — для случая поверхности в R^3, именно этот поворот и есть дефект угла, то, на сколько сумма внешних углов отличается от 2π! Потому что — представим себе, что человек обходит многоугольник, например, на сфере. Он несёт с собой касательное пространство (ну хорошо, для реалистичности — его переносную модель), и отмечает на нём свою скорость. В каждой вершине он добавляет новый сектор-угол поворота. Вернувшись в исходную точку, он получает на своей модели все сектора-углы, на которые он повернулся. И казалось бы, это полный оборот, только заканчивается их сумма в его векторе скорости сейчас, а начинается — в том же самом векторе скорости, обнесённом вокруг всего многоугольника. То есть повёрнутом параллельным переносом!
Так что на формулу, что на сфере радиуса R сумма углов треугольника равна π+(S/R^2) — можно смотреть как на утверждение, что при обходе фигуры площади S параллельный перенос приводит к повороту на S/R^2 (с правильным знаком). (И это не конец рассказа, конечно.)
The War on Fakes channel has repeatedly attempted to push conspiracies that footage from Ukraine is somehow being falsified. One post on the channel from February 24 claimed without evidence that a widely viewed photo of a Ukrainian woman injured in an airstrike in the city of Chuhuiv was doctored and that the woman was seen in a different photo days later without injuries. The post, which has over 600,000 views, also baselessly claimed that the woman's blood was actually makeup or grape juice. Lastly, the web previews of t.me links have been given a new look, adding chat backgrounds and design elements from the fully-features Telegram Web client. In view of this, the regulator has cautioned investors not to rely on such investment tips / advice received through social media platforms. It has also said investors should exercise utmost caution while taking investment decisions while dealing in the securities market. The S&P 500 fell 1.3% to 4,204.36, and the Dow Jones Industrial Average was down 0.7% to 32,943.33. The Dow posted a fifth straight weekly loss — its longest losing streak since 2019. The Nasdaq Composite tumbled 2.2% to 12,843.81. Though all three indexes opened in the green, stocks took a turn after a new report showed U.S. consumer sentiment deteriorated more than expected in early March as consumers' inflation expectations soared to the highest since 1981. Although some channels have been removed, the curation process is considered opaque and insufficient by analysts.
from jp
