Про каждое доказательство интересно подумать, "куда оно обобщается" и "что оно использует/передоказывает". Про фундаментальную группу я спрашиваю, потому что в таких рассуждениях по-любому неявно зашит гомоморфизм надстройки в гомологиях / гомотопических группах. Но не суть.
А рассуждая буквально как в посте, получаем: если d нечётно, M — гладкая замкнутая гиперповерхность в R^d, и на M есть всюду ненулевое касательное поле, то отображение Гаусса для поля нормалей к M G_n: M -> S^{d-1} гомотопно своей композиции с антиподальным; следовательно, имеет степень ноль.
Но степень G_n равна* \chi(M)/2: это вроде бы видно из теории Морса, аккуратно я пока не доказал. Идея: если i-ая координата в R^d оказалась морсовской функцией на M, то надо просто посчитать степень G_n локально в регулярных значениях e_i и -e_i. Там просуммируются критические точки с коэффициентами плюс-минус один. Осталось убедиться, что с такими знаками, что получается ЭХ комплекса Морса — а значит, и ЭХ многообразия.
Вывод: если гиперповерхность можно причесать, то chi(M) = 0. А как это доказать в большей коразмерности?
*"умное" доказательство использует естественность класса Эйлера, тождество <e(TM),[M]> = chi(M) и то, что обратный образ TS^{d-1} под действием G_n равен TM.
Про каждое доказательство интересно подумать, "куда оно обобщается" и "что оно использует/передоказывает". Про фундаментальную группу я спрашиваю, потому что в таких рассуждениях по-любому неявно зашит гомоморфизм надстройки в гомологиях / гомотопических группах. Но не суть.
А рассуждая буквально как в посте, получаем: если d нечётно, M — гладкая замкнутая гиперповерхность в R^d, и на M есть всюду ненулевое касательное поле, то отображение Гаусса для поля нормалей к M G_n: M -> S^{d-1} гомотопно своей композиции с антиподальным; следовательно, имеет степень ноль.
Но степень G_n равна* \chi(M)/2: это вроде бы видно из теории Морса, аккуратно я пока не доказал. Идея: если i-ая координата в R^d оказалась морсовской функцией на M, то надо просто посчитать степень G_n локально в регулярных значениях e_i и -e_i. Там просуммируются критические точки с коэффициентами плюс-минус один. Осталось убедиться, что с такими знаками, что получается ЭХ комплекса Морса — а значит, и ЭХ многообразия.
Вывод: если гиперповерхность можно причесать, то chi(M) = 0. А как это доказать в большей коразмерности?
*"умное" доказательство использует естественность класса Эйлера, тождество <e(TM),[M]> = chi(M) и то, что обратный образ TS^{d-1} под действием G_n равен TM.
BY сладко стянул
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
Groups are also not fully encrypted, end-to-end. This includes private groups. Private groups cannot be seen by other Telegram users, but Telegram itself can see the groups and all of the communications that you have in them. All of the same risks and warnings about channels can be applied to groups. Given the pro-privacy stance of the platform, it’s taken as a given that it’ll be used for a number of reasons, not all of them good. And Telegram has been attached to a fair few scandals related to terrorism, sexual exploitation and crime. Back in 2015, Vox described Telegram as “ISIS’ app of choice,” saying that the platform’s real use is the ability to use channels to distribute material to large groups at once. Telegram has acted to remove public channels affiliated with terrorism, but Pavel Durov reiterated that he had no business snooping on private conversations. These entities are reportedly operating nine Telegram channels with more than five million subscribers to whom they were making recommendations on selected listed scrips. Such recommendations induced the investors to deal in the said scrips, thereby creating artificial volume and price rise. Overall, extreme levels of fear in the market seems to have morphed into something more resembling concern. For example, the Cboe Volatility Index fell from its 2022 peak of 36, which it hit Monday, to around 30 on Friday, a sign of easing tensions. Meanwhile, while the price of WTI crude oil slipped from Sunday’s multiyear high $130 of barrel to $109 a pop. Markets have been expecting heavy restrictions on Russian oil, some of which the U.S. has already imposed, and that would reduce the global supply and bring about even more burdensome inflation. On December 23rd, 2020, Pavel Durov posted to his channel that the company would need to start generating revenue. In early 2021, he added that any advertising on the platform would not use user data for targeting, and that it would be focused on “large one-to-many channels.” He pledged that ads would be “non-intrusive” and that most users would simply not notice any change.
from jp
