#комбинаторика #задача
На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Биба и Боба берут их по очереди, начинает Биба. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Биба хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Боба пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Биба может достичь своей цели, как бы ни действовал Боба?
На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Биба и Боба берут их по очереди, начинает Биба. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Биба хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Боба пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Биба может достичь своей цели, как бы ни действовал Боба?
При любом ли? (см. задачу выше)
Anonymous Poll
41%
При любом
19%
Не при любом
40%
ничего не знаю, но хочу плюшку
#теория_чисел #задача
Существует ли натуральное число n, имеющее ровно 2024! различных простых делителей и делящее 2^n+1?
Существует ли натуральное число n, имеющее ровно 2024! различных простых делителей и делящее 2^n+1?
#комбинаторика #задача
Предлагаем вам сегодня задачу С.Л. Берлова, Д.В. Карпова с кубка Колмогорова 1999 года!
Не более 10% жителей государства Х — враги народа. На день рождения президента каждый гражданин государства сделал ему подарок: написал в ДГБ письмо со своей подписью, разоблачающее одного из знакомых ему врагов народа. При этом известно, что честные граждане разоблачали только истинных врагов, а враги могли как разоблачить других врагов, так и оклеветать честных граждан.
a) Известно, что у каждого гражданина этого государства менее 500 знакомых. Докажите, что на основании полученных данных ДГБ может посадить некоторое количество граждан так, чтобы больше половины посаженных была врагами народа.
b) Не читая этих доносов, президент приказал посадить всех граждан, на которых поступило не менее, чем 1998 доносов. Верно ли, что более половины посаженных обязательно являются врагами народа?
Предлагаем вам сегодня задачу С.Л. Берлова, Д.В. Карпова с кубка Колмогорова 1999 года!
Не более 10% жителей государства Х — враги народа. На день рождения президента каждый гражданин государства сделал ему подарок: написал в ДГБ письмо со своей подписью, разоблачающее одного из знакомых ему врагов народа. При этом известно, что честные граждане разоблачали только истинных врагов, а враги могли как разоблачить других врагов, так и оклеветать честных граждан.
a) Известно, что у каждого гражданина этого государства менее 500 знакомых. Докажите, что на основании полученных данных ДГБ может посадить некоторое количество граждан так, чтобы больше половины посаженных была врагами народа.
b) Не читая этих доносов, президент приказал посадить всех граждан, на которых поступило не менее, чем 1998 доносов. Верно ли, что более половины посаженных обязательно являются врагами народа?
#геометрия #задача
В остроугольном треугольнике ABC отметили центр описанной окружности O и ортоцентр H. Перпендикуляр из H на AO пересекает BC в точке X. Перпендикуляр в X к BC вместе с прямыми AB и AC ограничивает треугольник Δ. Точка S — центр описанной окружности треугольника Δ. Докажите, что SX касается окружности (ABC).
В остроугольном треугольнике ABC отметили центр описанной окружности O и ортоцентр H. Перпендикуляр из H на AO пересекает BC в точке X. Перпендикуляр в X к BC вместе с прямыми AB и AC ограничивает треугольник Δ. Точка S — центр описанной окружности треугольника Δ. Докажите, что SX касается окружности (ABC).
#теория_чисел #задача
Найдите все натуральные n со следующим свойством: все натуральные делители n можно расположить в таком порядке d1, d2, d3, ..., dk, что для любого i ⩽ k число d1 + d2 + ... + di является полным квадратом.
Найдите все натуральные n со следующим свойством: все натуральные делители n можно расположить в таком порядке d1, d2, d3, ..., dk, что для любого i ⩽ k число d1 + d2 + ... + di является полным квадратом.
#комбинаторика #задача
По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муха (то есть, мух столько же, сколько граней), и все они двигаются, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1мм в час. Докажите, что рано или поздно какие-то две мухи столкнутся.
По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муха (то есть, мух столько же, сколько граней), и все они двигаются, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1мм в час. Докажите, что рано или поздно какие-то две мухи столкнутся.
#геометрия #задача
Точка P — произвольная внутри треугольника ABC. Докажите, что среди точек A2, B2, C2 хотя бы одна лежит вне окружности или на ней.
А нас уже больше 1к❤️
Точка P — произвольная внутри треугольника ABC. Докажите, что среди точек A2, B2, C2 хотя бы одна лежит вне окружности или на ней.
А нас уже больше 1к❤️
#задача #теория_чисел
Найдите все конечные множества натуральных чисел, у которых не меньше двух элементов, и для любых двух чисел a и b (a > b) множества, число b^2 / (a - b) тоже лежит а множестве.
Найдите все конечные множества натуральных чисел, у которых не меньше двух элементов, и для любых двух чисел a и b (a > b) множества, число b^2 / (a - b) тоже лежит а множестве.
#комбинаторика #задача
Назовём левым путём последовательность клеток, в которой каждая следующая — соседняя слева или снизу с предыдущей, правым путём – то же, но клетка соседняя снизу или справа. Клетчатый квадрат n × n разбит на левые и правые пути. Докажите, что их хотя бы n.
Назовём левым путём последовательность клеток, в которой каждая следующая — соседняя слева или снизу с предыдущей, правым путём – то же, но клетка соседняя снизу или справа. Клетчатый квадрат n × n разбит на левые и правые пути. Докажите, что их хотя бы n.