H — ортоцентр треугольника ABC, M — середина EF. Докажите, что красные отрезки равны

Теорема Клера-Блисса

Через середины сторон треугольника проведены три синие параллельные прямые. Докажите, что прямые, симметричные сторонам относительно соответствующих синих прямых, пересекаются в одной точке. Найдите геометрическое место точек пересечения.

Ничего не значащий спойлер:

If we call the Minkowski perpendicular bisector of a segment with slope a the line through its midpoint with slope 1/a (the two lines are orthogonal in the Minkowski metric), the Klehr-Bliss theorem says that the Minkowski perpendicular bisectors of the three sides of a triangle are concurrent. The proof follows the usual proof: any point on the Minkowski perpendicular bisector of a segment is Minkowski equidistant from the two ends.

https://geometry.ru/olimp/2025/2025_zaoch_rus.pdf
https://geometry.ru/olimp/2025/2025_zaoch_eng.pdf

начинается заочный тур XXI олимпиады им. И.Ф.Шарыгина

как обычно: 24 задачи по классической геометрии для разных классов, в основном непростые, русская и англ. версии

Через центр O описанной окружности треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB, BC и CA в точках F, D и E соответственно. Докажите, что окружности, построенные на AD, BE и CF как на диаметрах пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на описанной окружности треугольника ABC, а вторая на окружности девяти точек.

Симпатичная задача

Даны два треугольника с общим углом. Точки H — их ортоцентры, точки N — их центры окружностей девяти точек. Доказать, что три прямых пересекаются в одной точке.

Добрая задача про квадрат. Ну и как обычно, в таких случаях разумно задаваться вопросом про обобщения))

Извините, опять про параболу подумалось...

На картинке параллелограмм и парабола. Доказать, что три точки на синем пунктире лежат на одной прямой, а красный пунктир параллелен оси параболы.

Простое упражнение про стандартную конструкцию

Эта замечательная задача давно стала классикой — выдал ее на занятии на этой неделе. Весной этой задаче исполнится 30 лет.

Ее автор Сергей Маркелов, замечательный человек, которого сегодня увы не стало.

Кажется, что некоторое представление о Сергее и его вкусах в математике можно получить по такой замечательной лекции:
https://www.mathnet.ru/present50

Про параболическую точку Фейербаха не очень понимаю я кое-что...

Само утверждение такое: если парабола вписана в треугольник, то парабола с тем же направлением оси, проходящая через середины сторон, касается первой.

Доказать это можно по-разному. Можно, во-первых, применить какие-то общие соображения, видимо. Во-вторых, можно, видимо, переписать доказательство со счетом углов в общем виде, пригодном для углов в параболе. Ну и, наконец, можно просто посчитать.

Так вот если посчитать... то окажется, что точка касания имеет ту же абсциссу, что и центр масс треугольника (считаем, что параболы вертикальны) . И вот это мне не понятно... Есть ли у этого какая-то интерпретация, в частности, для окружностей?

У геометрической олимпиады им. Ясинского появился свой красивый сайт

https://yasinskyi-geometry-olympiad.com/en/home-eng/

Как показывают ответы выше, вопрос не такой уж и интуитивно понятный. На самом деле, если пытаться не просто угадать, а доказать соответствующий факт, то задача становится еще запутаннее.

Я знаю общий ответ в n-мерном пространстве и доказательство, в котором первый шаг... это преобразование Фурье характеристической функции куба. Правда, не выглядит тривиально?

Тем не менее, если ответ получен, то вместе с ним получается и ответ на такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что тогда объем K меньше объема L?

Ответ оказывается отрицательным и контрпримером в размерностях больше 10 (не помню точно) служат куб и шар. А все потому, что можно явно указать сечение наибольшей площади у куба и посчитать ее.

Естественным продолжением служит такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь как минимум в C раз меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что существует такая универсальная константа C (не зависящая от размерности), которая гарантирует, что объем K меньше объема L?

Этот вопрос оставался открытым около 40 лет. И позавчера опубликовали препринт, подтверждающий, что это утверждение верно!

Что интересно, у этой гипотезы (теперь уже теоремы) есть множество абсолютно разнородных и нетривиальных переформулировок. Помню я даже как-то делал доклад в лаборатории Ч и рассказывал про это.

Вот, например, simplex conjecture (не помню, эквивалентна ли, но в одну сторону следствие точно есть).

Simplex conjecture. Обозначим через m(K) среднее значение объемов симплексов, лежащих внутри K. Тогда среди всех выпуклых тел единичного объема максимум m достигается на симплексе. (Минимум, кстати, достигается на шаре и это известно.)

Про сечения единичного куба (то, что их площадь не превосходит sqrt(2)) можно прочитать маленькую заметку вот тут. Если вы знаете более простое решение, то обязательно напишите мне!))

Докажите, что ортоцентры отмеченных треугольников лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей описанного четырехугольника.