над любым кольцом оказывается верно! у Лемэра записано над полем, наверно и доказательство обобщается, но проще передоказать.
Например, пункт (1): индукция по размерности. Пусть в размерностях <n доказали, что сюръективен. Возьмём элемент b∈B степени n. Он задаёт элемент [b]∈Tor^B_1, в который переходит какой-то [a]∈Tor^A_1. То есть b=f(a)+ разложимый элемент. Но разложимый элемент в связной градуированной алгебре — это многочлен от элементов меньших степеней! Они лежат в Im(f) по предположению индукции. Поэтому b∈Im(f). Сюръективность доказана.
Пункт (2) на первый взгляд поинтереснее, но там тоже лобовое рассуждение. Используем бар-конструкцию, чтобы вычислить Tor_2. Элементы k-модуля (I(B)⊗I(B)⊗I(B))_n связаны с B_{<n}; по предположению индукции, в этих градуировках всё биективно
над любым кольцом оказывается верно! у Лемэра записано над полем, наверно и доказательство обобщается, но проще передоказать.
Например, пункт (1): индукция по размерности. Пусть в размерностях <n доказали, что сюръективен. Возьмём элемент b∈B степени n. Он задаёт элемент [b]∈Tor^B_1, в который переходит какой-то [a]∈Tor^A_1. То есть b=f(a)+ разложимый элемент. Но разложимый элемент в связной градуированной алгебре — это многочлен от элементов меньших степеней! Они лежат в Im(f) по предположению индукции. Поэтому b∈Im(f). Сюръективность доказана.
Пункт (2) на первый взгляд поинтереснее, но там тоже лобовое рассуждение. Используем бар-конструкцию, чтобы вычислить Tor_2. Элементы k-модуля (I(B)⊗I(B)⊗I(B))_n связаны с B_{<n}; по предположению индукции, в этих градуировках всё биективно
"He has kind of an old-school cyber-libertarian world view where technology is there to set you free," Maréchal said. The Securities and Exchange Board of India (Sebi) had carried out a similar exercise in 2017 in a matter related to circulation of messages through WhatsApp. In 2014, Pavel Durov fled the country after allies of the Kremlin took control of the social networking site most know just as VK. Russia's intelligence agency had asked Durov to turn over the data of anti-Kremlin protesters. Durov refused to do so. Emerson Brooking, a disinformation expert at the Atlantic Council's Digital Forensic Research Lab, said: "Back in the Wild West period of content moderation, like 2014 or 2015, maybe they could have gotten away with it, but it stands in marked contrast with how other companies run themselves today." What distinguishes the app from competitors is its use of what's known as channels: Public or private feeds of photos and videos that can be set up by one person or an organization. The channels have become popular with on-the-ground journalists, aid workers and Ukrainian President Volodymyr Zelenskyy, who broadcasts on a Telegram channel. The channels can be followed by an unlimited number of people. Unlike Facebook, Twitter and other popular social networks, there is no advertising on Telegram and the flow of information is not driven by an algorithm.
from kr
