сладко стянул

А как бы вы доказали теорему о причесывании ежа?

мне приходит в голову такое рассуждение: если v=v(x) — всюду ненулевое касательное поле на единичной сфере в R^d, то надо при каждом вещественном t рассмотреть отображение
S^{d-1} -> S^{d-1},
x -> G(v(x)+t*x),
где G(v) := v/|v|. Это отображение Гаусса для [нашего поля, к которому прибавлена нормаль к сфере длины t].

Они все гомотопны между собой; но при t>>0 получается отображение, близкое к тождественному, а при t<<0 — отображение, близкое к антиподальному. Они не могут быть гомотопны при нечётном d, потому что имеют разную степень. (Степень отображения можно определить гладко, через гомологии или через гомотопические группы)

Но где-то видел, что для d=3 можно обойтись без степени отображения для двумерных сфер, использовать только фундаментальную группу

www.group-telegram.com/kr/sweet_homotopy.com/2002

1.8K viewsedited  Jun 24 at 16:30

А как бы вы доказали теорему о причесывании ежа?

мне приходит в голову такое рассуждение: если v=v(x) — всюду ненулевое касательное поле на единичной сфере в R^d, то надо при каждом вещественном t рассмотреть отображение
S^{d-1} -> S^{d-1},
x -> G(v(x)+t*x),
где G(v) := v/|v|. Это отображение Гаусса для [нашего поля, к которому прибавлена нормаль к сфере длины t].

Они все гомотопны между собой; но при t>>0 получается отображение, близкое к тождественному, а при t<<0 — отображение, близкое к антиподальному. Они не могут быть гомотопны при нечётном d, потому что имеют разную степень. (Степень отображения можно определить гладко, через гомологии или через гомотопические группы)

Но где-то видел, что для d=3 можно обойтись без степени отображения для двумерных сфер, использовать только фундаментальную группу

BY сладко стянул