Коммутативные квадраты абелевых групп часто появляются в математике. Полезно знать их базовые свойства. Если вы знаете спектральную последовательность бикомплекса, и рассмотрите коммутативный квадрат как бикомплекс, то вы сможете доказать эти свойства c закрытыми глазами, без листочка бумаги.
Следующие утверждения эквивалентны: 1) центральный квадрат — пулбэк; 2) последовательность 0 → A → A'⊕B → B' точна; 3) α' — изоморфизм и β' — мономорфизм.
Двойственные утверждения тоже эквивалентны 1) центральный квадрат — пушаут; 2) последовательность A → A'⊕B → B' → 0 точна; 3) α' — эпиморфизм и β' — изоморфизм.
Получаем, что и следующие утверждения эквивалентны. 1) центральный квадрат — пулбэк и пушаут; 2) последовательность 0 → A → A'⊕B → B' → 0 точна; 3) α' и β' — изоморфизмы.
Конечно, здесь всё симметрично относительно замены (α, β) на (φ,ψ). Поэтому α' и β' изоморфизмы тогда и только тогда, когда φ' : Ker(α) → Ker(β) ψ' : Coker(α) → Coker(β) изоморфизмы.
Коммутативные квадраты абелевых групп часто появляются в математике. Полезно знать их базовые свойства. Если вы знаете спектральную последовательность бикомплекса, и рассмотрите коммутативный квадрат как бикомплекс, то вы сможете доказать эти свойства c закрытыми глазами, без листочка бумаги.
Следующие утверждения эквивалентны: 1) центральный квадрат — пулбэк; 2) последовательность 0 → A → A'⊕B → B' точна; 3) α' — изоморфизм и β' — мономорфизм.
Двойственные утверждения тоже эквивалентны 1) центральный квадрат — пушаут; 2) последовательность A → A'⊕B → B' → 0 точна; 3) α' — эпиморфизм и β' — изоморфизм.
Получаем, что и следующие утверждения эквивалентны. 1) центральный квадрат — пулбэк и пушаут; 2) последовательность 0 → A → A'⊕B → B' → 0 точна; 3) α' и β' — изоморфизмы.
Конечно, здесь всё симметрично относительно замены (α, β) на (φ,ψ). Поэтому α' и β' изоморфизмы тогда и только тогда, когда φ' : Ker(α) → Ker(β) ψ' : Coker(α) → Coker(β) изоморфизмы.
"Your messages about the movement of the enemy through the official chatbot … bring new trophies every day," the government agency tweeted. You may recall that, back when Facebook started changing WhatsApp’s terms of service, a number of news outlets reported on, and even recommended, switching to Telegram. Pavel Durov even said that users should delete WhatsApp “unless you are cool with all of your photos and messages becoming public one day.” But Telegram can’t be described as a more-secure version of WhatsApp. A Russian Telegram channel with over 700,000 followers is spreading disinformation about Russia's invasion of Ukraine under the guise of providing "objective information" and fact-checking fake news. Its influence extends beyond the platform, with major Russian publications, government officials, and journalists citing the page's posts. The perpetrators use various names to carry out the investment scams. They may also impersonate or clone licensed capital market intermediaries by using the names, logos, credentials, websites and other details of the legitimate entities to promote the illegal schemes. He adds: "Telegram has become my primary news source."
from us
