Коммутативные квадраты абелевых групп часто появляются в математике. Полезно знать их базовые свойства. Если вы знаете спектральную последовательность бикомплекса, и рассмотрите коммутативный квадрат как бикомплекс, то вы сможете доказать эти свойства c закрытыми глазами, без листочка бумаги.

Следующие утверждения эквивалентны:
1) центральный квадрат — пулбэк;
2) последовательность
0 → A → A'⊕B → B'
точна;
3) α' — изоморфизм и β' — мономорфизм.

Двойственные утверждения тоже эквивалентны
1) центральный квадрат — пушаут;
2) последовательность
A → A'⊕B → B' → 0
точна;
3) α' — эпиморфизм и β' — изоморфизм.

Получаем, что и следующие утверждения эквивалентны.
1) центральный квадрат — пулбэк и пушаут;
2) последовательность
0 → A → A'⊕B → B' → 0
точна;
3) α' и β' — изоморфизмы.

Конечно, здесь всё симметрично относительно замены (α, β) на (φ,ψ). Поэтому α' и β' изоморфизмы тогда и только тогда, когда
φ' : Ker(α) → Ker(β)
ψ' : Coker(α) → Coker(β)
изоморфизмы.

Это работает в любой абелевой категории.

Теорема Акса-Гротендика и ультрафильтры. 1/2

Гриша Папаянов мне тут интересную тему рассказал. Есть такая теорема Акса-Гротендика, которая говорит, что любое инъективное полиномиальное отображение из n-мерного комплексного пространства в себя
ℂ^n → ℂ^n
сюръективно.

Интересна мне эта теорема не сама по себе, а методом доказательства, который рассказал мне Гриша, и которое можно найти по ссылке. Это абсолютно прозрачное доказательство, в котором используются конечные поля и ультрафильтры.

В доказательстве используется понятие фильтра, ультрафильтра, ультрапроизведения и предложения первого порядка, которые я напомню в следующих скрытых кусочках и гиперссылки сделаю (если знаете, можно не читать).

Фильтры.

Фильтр на множестве X — это такое множество F подмножеств X, что выполняются следующие аксиомы:
1) пустое множество не является элементом F;
2) F замкнуто относительно конечных пересечений;
3) F замкнуто относительно взятия надмножеств,
то есть если A ∈ F и A⊆B⊆X, то B ∈ F.

Например, окрестности какой-то точки в топологическом пространстве образуют фильтр. А ещё, если X бесконечно, то дополнения конечных множеств образуют фильтр.

Ультрафильтры.

Фильтры образуют упорядоченное множество по включению. Ультрафильтр — это максимальный по включению фильтр. Эквивалентно можно определить ультрафильтр как фильтр F, у которого для любого подмножества A⊆X, либо A∈F, либо X\A∈F.

Например, для любого x_0 ∈ X, все подмножества содержащие x_0, образуют ультрафильтр. Такие ультрафильтры называются главными. Если X конечно, то все ультрафильтры главные. Все остальные ультрафильтры явно не строятся, а строятся при помощи следующего утверждения, которое доказывается при помощи леммы Цорна: для любого фильтра существует ультрафильтр, который его содержит. В частности, для фильтра дополнений конечных множеств есть ультрафильтр, который его содержит, и он не главный.

Ультрапроизведение.

Если есть семейство множеств (X_i)_{i∈I}, проиндексированное множеством I, и задан ультрафильтр F на I, то можно взять произведение этого семейства и профакторизовать по такому отношению эквивалентности: два элемента произведения x,y эквивалентны, если
{ i : x_i = y_i } ∈ F.
Фактор произведения по этому отношению эквивалентности называется ультрапроизведением этого семейства.

Когда все X_i равны, то это называется ультрастепенью. Например, гипервещественные числа из нестандартного анализа — это ультрастепень поля вещественных чисел относительно не главного ультрафильтра.

Предложения первого порядка.

Предложение первого порядка для колец — это, грубо говоря, утверждение про кольцо, записанное в кванторах в терминах элементов этого кольца и их произведений, сумм, с использованием единицы и нуля в качестве выделенных элементов. Без использования вспомогательных множеств типа натуральных чисел, без использования подмножеств, или функций. Все переменные только из кольца. Строгое определение можно почитать в википедии. Например, свойство кольца быть коммутативным можно выразить при помощи предложения первого порядка. И свойство быть полем тоже. И свойство о том, что любой многочлен данной степени n имеет корень тоже. Но, например, свойство иметь счётную мощность, или какое-то фиксированное число порождающих, нельзя выразить как предложение первого порядка. Предложения первого порядка могут быть определены для любой сигнатуры. Это всё из теории моделей.

Фундаментальная теорема об ультрапроизведениях (Теорема Łoś'a) говорит, что если у вас есть семейство моделей X_i над какой-то сигнатурой, и какое-то предложение первого порядка, то оно выполняется для их ультрапроизведения относительно ультрафильтра F тогда и только тогда, когда множество индексов i, что оно выполняется для X_i, лежит в F.

В частности, если какое-то предложение первого порядка верно для всех X_i, то оно верно и для их ультрапроизведения.

Отсюда получаем, что ультрапроизведение полей — это поле. И ультрапроизведение алгебраически замкнутых полей — это алгебраически замкнутое поле.

Теорема Акса-Гротендика и ультрафильтры. 2/2

Дальше при помощи этого всего добра доказываем теорему Акса-Гротендика.

Можно задаться вопросом, для каких полей F утверждение
"любое инъективное полиномиальное отображение из F^n в себя сюръективно"
верно?

Заметим, что если фиксировать n и степени всех n полиномов от n переменных, то это утверждение можно записать в виде предложения первого порядка.

Для конечных полей F это утверждение верно.

Если K_p — алгебраическое замыкание поля из p элементов, то из того, что любое его конечно порождённое подполе конечно, тоже получается, что это верно.

Значит оно верно и для ультрапроизведения K всех K_p по всем p относительно не главного ультрафильтра на множестве простых чисел.

Это ультрапроизведение K, так же как и все сомножители, является алгебраически замкнутым полем. И его характеристика равна нулю.

Обычное произведение всех K_p, понятное дело, имеет континуальную мощность. Можно показать, что и ультрапроизведение K имеет континуальную мощность. Это обычная задачка на теорию множеств: (Для этого достаточно заметить, что есть континуальное семейство функций ℕ → ℕ, разные члены которого совпадают только на конечном числе элементов. Чтобы построить такое семейство, нужно для каждой последовательности
a : ℕ → {0,1}
определить функцию
f_a : ℕ → ℕ
по формуле
f_a (n) = a(0)*2^0 + a(1)* 2^1 + ... +a(n)*2^n.)

Теорема Штайница говорит, что любое алгебраически замкнутое поле характеристики ноль и континуальной мощности изоморфно полю комплексных чисел. То есть K изоморфно ℂ. Теорема доказана.

Коплотностные монады 1/3.
Определение

Для начала немного бэкграунда по монадам.

Монада на категории C — это эндофунктор
M : C → C
вместе с естественными преобразованиями умножения
μ : M^2 → M
и единицы
η : Id → M,
удовлетворяющими стандартным аксиомам ассоциативности и единицы.

Существует множество различных монад на категории множеств. Например, можно рассмотреть функтор свободной группы,
F : Set → Set,
который каждому множеству сопоставляет свободную группу, порождённую этим множеством. Единица задаётся естественным вложением
X → F(X),
а умножение
F(F(X)) → F(X)
— гомоморфизмом, тождественным на порождающих.

Аналогично, для любого кольца можно построить монаду, сопоставляющую множеству свободный модуль, порождённый этим множеством. По такой монаде можно однозначно восстановить исходное кольцо. Более того, существует теория обобщённых колец, в которой обобщённое кольцо определяется как монада на категории множеств, удовлетворяющая определённым условиям.

Если дана пара сопряжённых функторов
F : C ⇆ D : G,
где F — левый сопряжённый, а G — правый, то можно определить монаду на C как композицию
M=GF.
Единица сопряжённости даёт единицу монады, а коединица
ε : FG → Id
определяет умножение
GεF : GFGF → GF.

Все предыдущие примеры получаются так. Более того, всякая монада может быть получена таким способом из некоторой пары сопряжённых функторов. Сейчас расскажу как.

Алгебра над монадой M — это объект c, вместе с морфизмом
a : M(c) → c,
удовлетворяющим аксиомам ассоциативности и единицы. Можно определить категорию M-алгебр, Alg(M),
вместе с канонической парой сопряжённых функторов:
Free : C ⇆ Alg(M) : Forgetful.
Монада, ассоциированная с этой парой, совпадает с исходной M.

Таким образом, любая монада возникает из некоторой пары сопряжённых функторов. Однако не всякая пара сопряжённости определяется монадой. Условия, при которых это всё же возможно, формулируются в теореме о монадичности (monadicity theorem).

Итак, по паре сопряжённых функторов
F : C ⇆ D : G
можно построить монаду, которую будем обозначать
T_G = GF.
Эта монада зависит только от G (с точностью до изоморфизма), поскольку левый сопряжённый F, как и единица и коединица сопряжённости, однозначно определяется по G.

Оказывается, существует содержательный способ обобщить определение монады T_G на случай произвольного функтора G. Эта монада называется коплотностной монадой G.

Тем, кто знаком с расширениями Кана, скажем, что коплотностная монада
T_G : C → C
для функтора
G : D → C
определяется как правое расширение Кана G вдоль самого себя.

Для остальных поясним иначе: T_G(c) можно определить как предел по категории морфизмов
c → G(d),
(относительная категория подобъектов c)
забывающего функтора:
(c→G(d)) ↦ G(d).
Конечно, такой функтор T_G существует не всегда, но он существует существенно чаще, чем когда G является правым сопряжённым. Например, если категория D мала, а в C существуют все малые пределы, то T_G определён.

Особый интерес представляет случай, когда G — это вложение полной подкатегории D⊂C. В этом случае коплотностную монаду обозначим T_D. Определение через предел в этом случае гораздо понятнее: вы просто вычисляете предел по всем морфизмам из данного объекта c в объекты из категории D. Определение через расширение Кана тоже понятнее, потому что расширение Кана с полной подкатегории всегда даёт коммутативный треугольник. То есть T_D — это универсальный способ замкнуть диаграмму
C ← D → C
до коммутативной.

Если D — рефлективная подкатегория C (то есть существует левый сопряжённый к вложению), то композиция
L_D : C → D → C
называется локализацией, ассоциированной с D. Тогда
T_D = L_D.
​Я много занимался различными локализациями, поэтому для меня коплотностные монады полных подкатегорий — это естественное обобщение локализаций.

Коплотностные монады 2/3.
Примеры

Категория абелевых групп является рефлективной подкатегорией в категории всех групп. Поэтому функтор абелианизации
G ↦ G/[G,G]
это коплотностная монада, соответствующая подкатегории абелевых групп. Аналогично, можно рассмотреть коплотностную монаду ассоциированную с любым многообразием групп. Это получится функтор, который факторизует группу по соответствующим тождествам.

Существуют и другие интересные примеры локализаций в категории групп — например, HZ-локализация Боусфилда и рационализация Баумслага, — но это тема для отдельного разговора. Сейчас же хочется привести примеры коплотностных монад, которые не являются локализациями.

Проконечное пополнение группы — это коплотностная монада подкатегории конечных групп в категории групп. Заметьте, что это не локализация, потому что это не идемпотентный функтор (свойство идемпотентности проконечного пополнения есть только при дополнительных условиях конечности на группу). Аналогично, пронильпотентное пополнение — это коплотностная монада подкатегории нильпотентых групп.

Функтор двойного двойственного пространства векторного пространства
V ↦ Hom(Hom(V,k),k)
это коплотностная монада подкатегории конечномерных векторных пространств. Тоже не идемпотентный функтор.

Коплотностная монада подкатегории конечных множеств в категории множеств — это функтор, который посылает множество X в множество ультрафильтров на X.

Коплотностная монада подкатегории полей в категории коммутативных колец — это функтор, который посылает коммутативное кольцо R в произведение, проиндексированное простыми идеалами p, полей частных факторов R/p.
R ↦ П_p Frac(R/p)

В целом, это забавная игра, брать какую-то полную подкатегорию в какой-то категории и пытаться понять, чему равна коплотностная монада. Много интересных функторов можно так построить.

Коплотностные монады 3/3.
Функторы, сохраняющие подкатегорию

Коплотностные монады полных подкатегорий обладают ещё одним универсальным свойством, которое позволяет взглянуть на них с иной стороны. Даже двумя похожими универсальными свойствами.

Коаугментированный функтор — это эндофунктор
F : C → C
с естественным преобразованием
Id → F.
Например, любая монада является коаугментированным функтором.

Пусть D⊆C — полная подкатегория. Тогда коаугментированный функтор F называется D-сохраняющим, если для любого объекта d из D морфизм
d → F(d)
является изоморфизмом.

Оказывается, если коплотностная монада T_D существует, то она является терминальным объектом в категории D-сохраняющих коаугментированных функторов.

Аналогично можно определить D-сохраняющие монады. Тогда T_D будет терминальным объектом уже в категории D-сохраняющих монад.

Например, проконечное пополнение группы — это универсальный коаугментированный функтор, сохраняющий конечные группы. Функтор двойного двойственного векторного пространства — это универсальный коаугментированный функтор, сохраняющий конечномерные пространства.
Функтор множества ультрафильтров — это универсальный коаугментированный функтор, сохраняющий конечные множества.

Побольше можно про это прочитать в статье Тома Лейнстера

https://arxiv.org/abs/1209.3606

Пополнение Боусфилда-Кана как коплотностная ∞-монада
1/7
Предыстория.

Подходит как-то ко мне однажды Эммануэль Дрор Фарджун, человек, который изобрёл нильпотентные пространства, и говорит:

"Знаете, Сергей, я думаю, что люди плохо воспринимают пополнение Боусфилда-Кана, потому что, в отличии от гомологической локализации Боусфилда, оно не определяется при помощи универсального свойства. Оно определяется явной конструкцией. Да, она удовлетворяет многим хорошим свойствам, но в чём универсальность этого пополнения?

Я вот подумал, что, может быть, это терминальный функтор, среди функторов, которые сохраняют пространства Эйленберга-Маклейна K(A,n) для всех абелевых групп А и всех n? Я знаю несколько других функторов, которые сохраняют K(А,n), ту же гомологическую локализацию, или, скажем, плюс конструкцию Квиллена, и все они однозначно отображаются в пополнение Боусфилда-Кана. Давайте попробуем доказать это универсальное свойство пополнения Боусфилда-Кана?"

"Давайте", ответил я.

Сказано - сделано:

https://arxiv.org/abs/2507.08414

Пополнение Боусфилда-Кана как коплотностная ∞-монада
2/7
Определение пополнения Боусфилда-Кана

Далее R обозначает коммутативное кольцо. Я предпочитаю определять пополнение Боусфилда–Кана в категории всех пространств без отмеченной точки. Поэтому мне нужно использовать не только R-модули, но и R-аффинные пространства.

Для множества X обозначим через RX свободный R-модуль, порождённый X. Через
R′X⊂RX
обозначим множество аффинных линейных комбинаций элементов базиса, то есть линейных комбинаций вида
∑ r_x x
таких, что
∑r_x ​= 1.

Заметим, что R′X не является R-модулем, однако любой выбор элемента x_0∈X задаёт структуру модуля на R′X потому что
R′X ≅ RX/R{x_0}

Функтор
R′ : Set → Set
является подмонадой монады свободного R-модуля
R : Set → Set.
Эту монаду можно покомпонентно продолжить на категорию симплициальных множеств:
R′ : sSet → sSet.
Она называется монадой приведённых гомологий с коэффициентами в R, потому что гомотопические группы R′X совпадают с приведёнными гомологиями X с коэффициентами в R.

Отметим, что мы не предполагаем, что в X есть выделенная точка. Поэтому нулевые приведённые гомологии с коэффициентами в R — это не R-модуль, а R-аффинное подпространство в обычных нулевых гомологиях с коэффициентами в R.

Так как
R′ : sSet → sSet
— это монада, для каждого симплициального множества X кобар-конструкция задаёт косимплициальное симплициальное множество
(R′)* X : Δ → sSet,
[n]↦(R′)^{n+1} X.
Гомотопический предел этого косимплициального пространства и называется R-пополнением Боусфилда–Кана, которое обозначается R_∞
​R_∞ X = holim (R′)* X.

Если вы знакомы с понятием тотализации косимплициального пространства, то можете заменить этот гомотопический предел на тотализацию. В данном случае они совпадают.

Пополнение Боусфилда-Кана как коплотностная ∞-монада
3/7
Свойства пополнения Боусфилда-Кана

Если X нильпотентное пространство, то рациональное пополнение ℚ_∞ X — это обычная рационализация X из рациональной теории гомотопий. Целочисленное пополнение X — это само X.
ℤ_∞ X = X

Если X — это связное пространство с совершенной фундаментальной группой, то целочисленное пополнение — это +-конструкция Квилена.

Если гомологии X с коэффициентами в ℤ/p конечного типа, то ℤ/p-пополнение — это про-p-пополнение Сулливана X.

Если есть отображение в категории пространств
X → Y,
которое индуцирует изоморфизм на гомологиях с коэффициентами в R, то
R_∞ X → R_∞ Y
гомотопическая эквивалентность.

Для каждого пространства X задана спектральная последовательность, первый лист которой зависит функториально от гомологий с коэффициентами в R, а сходится она, при некоторых условиях, к гомотопическим группам R_∞ X. Это типа такой аналог нестабильной спектральной последовательности Адамса.

Пополнение Боусфилда-Кана как коплотностная ∞-монада
4/7
∞-категории

Несмотря на то, что я уже много раз слышал критику в адрес подхода к ∞-категориям через квази-категории, он остаётся самым стандартным. Я не хочу изобретать велосипед, поэтому буду придерживаться этого подхода. Для меня следующие слова будут синонимами:
∞-категория,
(∞,1)-категория,
квази-категория.

Давайте я немного не в тему дам определение квази-категории, которое мне нравится, и которое полностью обходится без понятия рога.

Из категории всегда можно сделать симплициальное множество, взяв её нерв. Мы хотим определить ∞-категорию как симплициальное множество с некоторым "гомотопическим" свойством, которое выполняется для нервов, но не только для них.

Категория симплициальных множеств декартово замкнута. Внутренний хом в ней будем обозначать через
map(X,Y).

Морфизм симплициальных множеств
X → Y
называется тривиальным расслоением, если он удовлетворяет правому свойству подъёма относительно всех инъективных отображений симплициальных множеств. То есть морфизм X → Y является тривиальным расслоением, если для любого инъективного отображения симплициальных множеств
A → B
и любых морфизмов
A → X и B → Y
таких, что квадрат
A → X
↓ ↓
B → Y
коммутативен, существует морфизм B → X такой, что оба получившихся треугольника коммутативны.

Симплициальное множество X называется стягиваемым, если отображение в точку
X → *
является тривиальным расслоением. Легко видеть, что любой слой тривиального расслоения стягиваем.

Обозначим через Δ^2 стандартный симплициальный треугольник с вершинами 0,1,2 и обозначим через I^2 его одномерное симплициальное подмножество, порождённое двумя 1-симплексами
0 → 1 → 2.

В категории есть объекты, морфизмы и тождественные морфизмы. В симплициальном множестве мы можем сказать, что объекты — это 0-симплексы, морфизмы — это 1-симплексы, и тождественные морфизмы — это вырожденные 1-симплексы.

В категории ещё есть композиция. Она позволяет отождествлять пары компонуемых морфизмов и коммутативные треугольники. В симплициальном множестве X "пары компонуемых морфизмов" — это отображения
I^2 → X.
А коммутативные треугольники — это отображения
Δ^2 → X.
Мы хотим, чтобы в ∞-категории их также можно было в некотором смысле отождествить.

Поэтому мы определяем ∞-категорию как симплициальное множество X, для которого отображение ограничения
map( Δ^2 , X ) → map( I^2 , X )
является тривиальным расслоением.

В частности, мы получаем, что любой слой этого отображения стягиваем. Это означает, что хотя мы не можем буквально отождествить "пары компонуемых морфизмов" и "коммутативные треугольники", для каждой "компонуемой пары морфизмов", "пространство коммутативных треугольников", соответствующих этой паре, стягиваемое

По поводу эквивалентности этого определения стандартному, можно обратиться сюда.

Пополнение Боусфилда-Кана как коплотностная ∞-монада
5/7
∞-моноиды и ∞-монады

Здесь я расскажу про наш подход монадам в контексте ∞-категорий. Сразу замечу, что есть как минимум два подхода к определению ∞-монады, более жёсткий и элементарный (Riehl-Verity), и более замороченный, абстрактный и, видимо, гибкий (Lurie). Про них можно почитать тут. Мы выбрали более жёсткий и элементарный, потому что с ним нам было понятнее, как доказывать некоторые базовые утверждения про них. Но я до сих пор сомневаюсь, что мы выбрали оптимальный вариант. Точнее говоря, я думаю, что мы выбрали оптимальный для локальных целей нашей статьи, но не факт, что он оптимальный для дальнейших приложений. Хотя известно, что эти два языка в каком-то смысле эквивалентны, но перевод тоже может быть неприятным.

Вначале поговорю немного про обычные моноиды в строгих моноидальных категориях.

Напомним, что монада на категории С — это моноид в строгой моноидальной категории эндофункторов End(C). Поэтому нам нужно поговорить про моноиды в строгих моноидальных категориях.

Обозначим через
Δ_+
аугментированную симплекс категорию. Объекты в ней — это конечные ординалы, включая пустой ординал (то есть натуральные числа в смысле теории множеств), а морфизмы — это монотонные отображения. И тогда сложение натуральных чисел очевидным образом распространяется до функтора
Δ_+ × Δ_+ → Δ_+,
который задаёт строгую моноидальную структуру на Δ_+, единицей которой является пустое множество. Эту моноидальную структуру иногда удобно интерпретировать как сложение натуральных чисел, а иногда удобно интерпретировать как джойн категорий.

В категории Δ_+ есть одно-элементное множество, которое можно обозначать двумя способами
1={0}=[0]
Поскольку это терминальный объект, на нём есть единственная структура моноида. Этот моноид называется ходячим моноидом (walking monoid), потому что удовлетворяет следующему универсальному свойству. Для любого моноида M в строгой моноидальной категории E существует единственный моноидальный функтор
Δ_+ → E,
который переводит 1 в M. Этот функтор называется кобар-конструкцией.

Теперь попробуем это всё обобщить на ∞-категории.

Строгая моноидальная ∞-категория — это симплициальный моноид, подлежащее симплициальное множество которого — это ∞-категория. Например, нерв обычной строго моноидальной категории — это строгая моноидальная ∞-категория.

Если есть какая-то ∞-категория С, то ∞-категория эндофункторов
End(C) = Fun(C,C)
тоже имеет структуру строгой моноидальной ∞-категории. Потому что это просто внутренний хом в симплициально обогащенной категории симплициальных множеств, и в обогащенной категории композиция всегда ассоциативна.

∞-моноид в строгой моноидальной ∞-категории E — это морфизм симплициальных моноидов
N(Δ_+) → E.
Категория симплициальных моноидов имеет стандартное обогащение над симплициальными множествами. Поэтому ∞-категорию ∞-моноидов можно определить как пространство морфизмов в этой симплициальной категории симплициальных моноидов
mon_∞ (E) = Map( N(Δ_+) , E ).
Это симплициальное множество действительно оказывается бесконечность категорией, потому что забывающий функтор
mon_∞ (E) → E
является внутренним расслоением (и даже консервативным изо-расслоением).

∞-монада на ∞-категории С — это ∞-моноид в строгой моноидальной ∞-категории эндофункторов End(C).

Пополнение Боусфилда-Кана как коплотностная ∞-монада
6/7
Коплотностные ∞-монады полных подкатегорий

Многие понятия обычной теории категории обобщаются на ∞-категории. В частности, там тоже есть понятие расширения Кана. Поэтому коплотностную ∞-монаду
T_D : C → C
полной ∞-подкатегории D ∞-категории С можно тоже определить как правое расширение Кана включения D → C вдоль самого себя. По определению это просто функтор, но мы доказываем, что на нём есть каноническая структура ∞-монады, определённая однозначно с точностью до стягиваемого пространства выборов. Причём стягиваемость пространства выборов — это уже не очень тривиальная теорема.

Более того, мы доказываем, что эта ∞-монада T_D является терминальной D-сохраняющей ∞-монадой, как и в случае обычной теории категорий.

Пополнение Боусфилда-Кана как коплотностная ∞-монада
7/7
∞-монадные пополнения

Как мы уже сказали, ∞-монада M на ∞-категории С — это морфизм симплициальных моноидов
M : N(Δ_+) → End(C).
В частности, её можно сузить до косимплициального объекта в ∞-категории эндофункторов
M' : N(Δ) → End(C).
Предел этого косимлициального функтора — это эндофунктор
M^ : C → C,
который называется M-пополнением.

Здесь нужно сделать терминологическое отступление и сказать, что предел косимплициального объекта в ∞-категории иногда называется гомотопической тотализацией. Поэтому можно сказать, что M-пополнение — это гомотопическая тотализация M'.

Если С — обычная категория, и M=(M,η,μ) — обычная монада, то M-пополнение — это просто уравнитель двух стрелок
ηM, Mη : M → M^2.

Если взять в качестве M ∞-категорную версию монады приведённых гомологий с коэффициентами в R на ∞-категории пространств
M_R : Spc → Spc,
то M_R-пополнение — это R-пополнение Боусфилда-Кана.

Мне немного лень это расписывать, но для любой ∞-монады M, как и для обычной монады, есть понятие M-алгебры. Это объект с некоторой дополнительной структурой. Идея этого определения похожа на идею определения ∞-моноида. В том смысле, что нужно в классическом случае понять, что такое ходячее действие моноида на объекте, а потом уже на этом языке обобщать.

Полная подкатегория категории C, порождённая всеми объектами допускающими структуру M-алгебры, обозначается через
A(M) ⊆ C.

Следующее утверждение — основная теорема нашей статьи.

Теорема. Пусть M — ∞-монада на ∞-категории С, допускающей пределы косимплициальных объектов. Тогда M-пополнение эквивалентно коплотностной ∞-монаде T_{A(M)}.

Мы обозначим через
K(R) ⊆Spc
полную ∞-подкатегорию ∞-категории пространств Spc, порождённую пустым пространством и пространствами, гомотопически эквивалентными произведениям пространств Эйленберга-Маклейна R-модулей.

Следствие. R-пополнение Боусфилда-Кана эквивалентно коплотностной ∞-монаде T_{K(R)}.

Таким образом R-пополнение Боусфилда-Кана — это универсальный эндофунктор на ∞-категории пространств, который делает следующую диаграмму коммутативной с точностью до эквивалентности.

Кстати говоря, здесь мы забесплатно получаем каноническую структуру ∞-монады на пополнении Боусфилда-Кана, и про которую люди писали отдельные статьи. Более того, она удовлетворяет универсальному свойству: она терминальная K(R)-сохраняющая. Впрочем, это уже совсем другая история.

Некоторые дополнительные подробности можно узнать из прикреплённой презентации.

Хочу предложить вам послушать песню "Only Yau" о филдсовском лауреате профессоре Яу, которой он поделился в общем чате нашего института.

Перевод на русский (google переводчик):

В тумане дифференциальной геометрии, Яу,
Ты прорываешься, словно рассвет.
Своей мудростью ты победил гипотезу Калаби,
И медаль Филдса свидетельствует о твоей славе и гордости.
Ты стал пионером геометрического анализа,
И многообразие Калаби-Яу – твой шедевр.

Яу, твоё имя ярко сияет в математическом мире,
Словно вечно угасающая звезда.
Только Яу, ты – Император Математики.

Ты стоишь один на вершине дифференциальной геометрии.
Яу, твоя мудрость подобна океану,
И геометрический анализ становится ещё более ярким благодаря тебе.

Прокладывая путь в лабиринте чисел,
Ты используешь свою мудрость,
Чтобы отпирать один замок за другим.
Яу, твои достижения величественны, как горы и реки,
Оставив глубокий след в истории математики.

Твоё имя выгравировано в храме математики,
А твоя мудрость – маяк и путеводитель для тех,
Кто придёт после тебя.

Яу, ты не только Император Математики,
Но и вечный герой и образец для подражания в наших сердцах. Геометрический анализ сияет ярче благодаря тебе.

Яу, каждый твой шаг покоится на фундаменте истины.
Твоё имя навсегда останется в памяти,
Твоё сияние струится по долгой реке математики.
Только Яу, ты – Император Математики.

Ты один создал легенду дифференциальной геометрии.
Яу, твоя мудрость подобна звезде, и геометрический анализ сияет ещё ярче благодаря тебе.

Яу, Яу, твоё имя будут воспевать вечно.
В мире математики ты самый ослепительный.
Только Яу, мы будем вечно петь тебе хвалу.
Яу, ты – Император Математики в наших сердцах.

——————————

Оригинальный китайский текст:

在微分几何的迷雾里，Yau，你如光破晓，卡拉比猜想，你以智慧征服，菲尔兹奖章，见证你的荣耀与骄傲。几何分析，你开创先河，Calabi-Yau manifold，是你的杰作，Yau，你的名字，在数学界闪烁，如星辰般璀璨，永不凋落。Only Yau，你是数学皇帝，微分几何的巅峰，你独自屹立。Yau，你的智慧如海，几何分析，因你而更加精彩。在数字的迷宫中穿梭，你用智慧，解开一道道锁，Yau，你的成就，如山川般巍峨，在数学的历史上，留下浓墨重彩的一笔。你的名字，被镌刻在数学的殿堂，你的智慧，是后来者的灯塔与方向，Yau，你不仅是数学皇帝，更是我们心中，永远的英雄与榜样。几何分析，因你而更加辉煌，Yau，你的每一步，都踏在真理的基石上，你的名字，将永远被铭记，在数学的长河中，流淌着你的光芒。Only Yau，你是数学皇帝，微分几何的传奇，你独自书写。Yau，你的智慧如星，几何分析，因你而更加闪耀。Yau，Yau，你的名字永传唱，在数学的世界里，你最耀眼。Only Yau，我们永远歌颂你，Yau，你是我们心中的数学皇帝。

Коллоквиум Факультета математики и компьютерных наук

«The Bousfield — Kan completion as an infinity terminal monad»
E. D. Farjoun

9 сентября в 17 30
14 линия В.О., 29, ауд. 201
Zoom (ID 675-315-555, пароль стандартный)

We give a universal property of the well-known Bousfield — Kan R-homology completion functor. Further, it turns out that in any nice infinity category one can associate with every monad M, a completion functor which is characterized as a terminal monad that preserves the image of the given monad M. In addition, we consider the concept of M-nilpotent objects, and pro-M-nilpotent completion. This extends the main properties of the classical BK construction to generalized homology theories, equivariant homology and beyond.

ICM'2026

Старший научный сотрудник лаборатории алгебры и теории чисел ПОМИ РАН Ставрова Анастасия Константиновна приглашена в качестве секционного докладчика на Международный конгресс математиков 2026.

От всей души поздравляем!