, где P — это (R,S)-проективная S-стягиваемая резольвента M. Штука бывает полезной, но гомологии группы получаются точно такие же, если определить их через такой (ℤG,ℤ)-относительный тор.

Вообще, относительный тор совпадает с обычным тором, если кольцо R проективно как модуль над S и один из модулей проективен над S. Итак, у нас тут возникает два эквивалентных определения гомологий группы, через обычную гомологическую алгебру и через относительную.

Третье эквивалентное определение даётся через симплициальные производные функторы. Или иначе можно сказать, что это комонадные производные функторы. Для любой группы G вы можете рассмотреть её симплициальную свободную резольвенту. То есть симплициальную группу F_*, которая состоит из свободных групп, базисы которых можно выбрать так, что они замкнуты относительно вырождений, и гомотопические группы которой все тривиальны, кроме нулевой, а нулевая изоморфна G.

Используя такие симплициальные резольвенты, вы можете дать определение левых производных функторов для любых функторов из категории групп в любую абелеву категорию Ф : Gr —> A. Надо просто применить функтор к резольвенте и взять гомотопические группы.

Гомотопические группы здесь можно понимать через соответствие Дольда-Кана как гомологии соответствующего комплекса. В частности, можно рассмотреть простейший функтор, который первый приходит в голову: функтор абелианизации из категории групп в категорию абелевых групп
ab : Gr —> Ab.
Его симплициальные производные функторы — это гомологии сдвинутые на единицу.

Это доказал Квиллен в своей книге про гомотопическую алгебру, про модельные категории. Но это можно доказать и без использования структуры модельной категории на категории симплициальных групп. Итак, у нас появилось три эквивалентных определения гомологий группы.

Всё то же самое можно сказать про алгебры Ли над полями. Правда, никакой относительной гомологической алгебры там нет, точнее она совпадает с обычной, если мы в качестве подкольца берём поле. Но как минимум два определения есть: через Тор и через симплициальные производные функторы. И они эквивалентны, в том смысле, что изоморфны.

Можно тут добавить ещё одно важное эквивалентное определение для алгебр Ли: через комплекс Шевале-Эйленберга. Это такой явный комплекс, который строится по алгебре Ли g, компоненты которого состоят из внешних степеней g,

а дифференциал задаётся по формуле

Тут ещё можно сказать, что дифференциал на внешнем квадрате задаётся как минус коммутатор, а дальше продолжается так, чтобы получилась dg-коалгебра. Этот способ выглядит более концептуальным, но мне нравятся явные формулы. Комплекс Шевале-Эйленберга важен, потому что этот комплекс очень маленький и удобный. Например, если алгебра Ли конечномерна, то длина этого комплекса равна размерности. Здесь, чтобы думать о гомологиях, вам вообще не приходится обращаться к универсальной обёртывающей алгебре, вы работаете только с самой алгеброй Ли и её внешними степенями.

Это всё эквивалентные определения гомологий, если мы рассматриваем алгебры Ли над полем. Но они оказываются не эквивалентными, если мы рассматриваем их над произвольным коммутативным кольцом. И даже над ℤ эти определения не эквивалентны.

Простейший пример такой: рассмотрите ℤ/2 как абелеву алгебру Ли над ℤ, и вы увидите, что старшие гомологии комплекса Шевале-Эйленберга тривиальны, а гомологии, определённые как торы над универсальной обёртывающей алгеброй, нетривиальны. Но это только начало истории, простейший вид отличий.

Я с друзьями (Федя Павутницкий, Влад Романовский, Толик Зайковский) потратил некоторое время на то, чтобы разобраться в различиях между разными видами гомологий алгебр Ли над коммутативным кольцом. Что нас мотивировало? Нас, конечно, интересуют гомологии групп больше, но когда не получается для групп, мы пробуем что-то для алгебр Ли. Некоторые вопросы, которые нас интересуют, тривиализируются над полями. Поэтому мы решили посмотреть на гомологии алгебр Ли над ℤ и офигели, поняв, что ответ на интересующие нас вопросы зависит от того, как мы определяем гомологии алгебры Ли над ℤ.

Мы рассмотрели следующие пять определений гомологий алгебры Ли g над коммутативным кольцом k

1) Тор гомологии — это гомологии, которые определяются как обычный тор над универсальной обёртывающей алгеброй

2) Относительные тор гомологии определяются через относительный тор

3) Гомологии Шевале-Эйленберга определяются через комплекс Шевале-Эйленберга, который мы обозначаем чере CE(g)

4) Симплициальные гомологии определяются через симплициальные резольвенты, как производные функторы абелианизации