Антон Джамай попросил распространить информацию про школу про интегрируемые системы и алгебраическую геометрию у нас в BIMSA.
https://www.bimsa.cn/bmpsw/
Лекторы:
Pavel Etingof
Samuel Grushevsky
Nikita Nekrasov
Andrei Okounkov
https://www.bimsa.cn/bmpsw/
Лекторы:
Pavel Etingof
Samuel Grushevsky
Nikita Nekrasov
Andrei Okounkov
Допустим, есть у вас метрическое пространство Х=(X,d). Сейчас я построю по нему абелеву категорию. Объекты этой категории я буду называть магнитудными модулями над X.
Магнитудный модуль над X — это семейство ℝ-градуированных абелевых групп M(x), проиндексированных точками x из X, вместе с однородными гомоморфизмами
M(x,y) : M(x) → M(y)
степени d(x,y) такими, что M(x,x)=id и для любой тройки точек x,y,z выполнены такие условия на композиции:
M(y,z) M(x,y) = M(x,z), если d(x,z) = d(x,y)+d(y,z);
M(y,z) M(x,y) = 0, если d(x,z) < d(x,y)+d(y,z).
То есть, если у вас есть магнитудный модуль M, то над каждой точкой x вашего метрического пространства X для каждого вещественного числа a у вас висит абелева группа
M(x)_a.
Элементы этой группы можно назвать элементами над точкой x степени a. И у вас задан способ, как элементы этих групп над точкой x передвигать в элементы над другой точкой со сдвигом степени элемента ровно на расстояние между этими точками. Если обозначить
m*y = M(x,y)(m),
то аксиома про композицию говорит, что
(m*y)*z = m*z, если d(x,z) = d(x,y)+d(y,z);
(m*y)*z = 0, если d(x,z) < d(x,y)+d(y,z).
Морфизмы определяются очевидным образом.
Зачем нужна такая абелева категория? Например, затем, что магнитудные когомологии выражаются как Ext в этой категории, а умножение выражается через умножение Йонеды в этой категории.
Про это и про многое другое можно почитать в нашем новом препринте с Ясухико Асао.
https://arxiv.org/abs/2402.14466
PS. Мне кажется, что одно из дальнейших направлений деятельности — это изучение магнитудной производной эквивалентности. Можно сказать, что два метрических пространства магнитудно производно эквивалентны, если производные категории магнитудных модулей эквивалентны как триангулированные категории (возможно, в определении ещё нужно будет учитывать сдвиг на вещественные числа. у магнитудных модулей можно градуировку сдвигать на вещественное число, и эквивалентности категорий, вероятно, должны быть согласованы с такими сдвигами). Интересно было бы понять, насколько осмысленное это понятие.
Магнитудный модуль над X — это семейство ℝ-градуированных абелевых групп M(x), проиндексированных точками x из X, вместе с однородными гомоморфизмами
M(x,y) : M(x) → M(y)
степени d(x,y) такими, что M(x,x)=id и для любой тройки точек x,y,z выполнены такие условия на композиции:
M(y,z) M(x,y) = M(x,z), если d(x,z) = d(x,y)+d(y,z);
M(y,z) M(x,y) = 0, если d(x,z) < d(x,y)+d(y,z).
То есть, если у вас есть магнитудный модуль M, то над каждой точкой x вашего метрического пространства X для каждого вещественного числа a у вас висит абелева группа
M(x)_a.
Элементы этой группы можно назвать элементами над точкой x степени a. И у вас задан способ, как элементы этих групп над точкой x передвигать в элементы над другой точкой со сдвигом степени элемента ровно на расстояние между этими точками. Если обозначить
m*y = M(x,y)(m),
то аксиома про композицию говорит, что
(m*y)*z = m*z, если d(x,z) = d(x,y)+d(y,z);
(m*y)*z = 0, если d(x,z) < d(x,y)+d(y,z).
Морфизмы определяются очевидным образом.
Зачем нужна такая абелева категория? Например, затем, что магнитудные когомологии выражаются как Ext в этой категории, а умножение выражается через умножение Йонеды в этой категории.
Про это и про многое другое можно почитать в нашем новом препринте с Ясухико Асао.
https://arxiv.org/abs/2402.14466
PS. Мне кажется, что одно из дальнейших направлений деятельности — это изучение магнитудной производной эквивалентности. Можно сказать, что два метрических пространства магнитудно производно эквивалентны, если производные категории магнитудных модулей эквивалентны как триангулированные категории (возможно, в определении ещё нужно будет учитывать сдвиг на вещественные числа. у магнитудных модулей можно градуировку сдвигать на вещественное число, и эквивалентности категорий, вероятно, должны быть согласованы с такими сдвигами). Интересно было бы понять, насколько осмысленное это понятие.
arXiv.org
Magnitude homology is a derived functor
We prove that the magnitude (co)homology of an enriched category can, under some technical assumptions, be described in terms of derived functors between certain abelian categories. We show how...
Я тоже когда-то задавался вопросом похожим на тот, который обсуждается в следующем посте. Я задавался вопросом о том, что определяет успех ученого. И ответил для себя другими словами, но очень похоже:
а) талант;
б) страстность (по отношению к предмету, которым занимаешься);
в) нетворкинг.
а) талант;
б) страстность (по отношению к предмету, которым занимаешься);
в) нетворкинг.
Forwarded from tropical saint petersburg
Какие нужны качества для занятия наукой? Я довольно долго думал, что нужны в первую очередь способности (а их, условно говоря, можно замерить олимпиадами и хорошей учёбой).
Жизненный опыт говорит, что для занятий наукой нужны
а) способности б) характер в) жизненные обстоятельства.
Характер — самая тонкая часть, это всё о какой-то внутренней жизни человека. Наверное, харизматичные лидеры научных школ (условные Гельфанд/Арнольд/...) влияли на характер и вкусы и воспитывали их. Но я такого никогда не видел (расскажите, вдруг вы знаете как воспитывать характер хотя бы у себя, не говоря уж про учеников?). В общем, по мне, так самая неподконтрольная часть. И измерять её сложно.
в) жизненные обстоятельства. Человек может попасть в неправильную среду (слишком сильно/слабо конкурентную) или в правильную (где все примерно одним интересуются, роют в одну сторону и друг друга мотивируют), поехать туда или сюда, случайно познакомиться с тем или тем, личная жизнь очевидным образом влияет.
И, кажется, что жизненные обстоятельства и характер — это факторы, не менее сильно влияющие на результат, чем способности (которые, конечно, в каком-то смысле просто стартовые условия, и могу сильно поменяться даже за год-два, не говоря уж про десятилетия, при правильном характере и обстоятельствах).
Способности влияют на шансы попасть в правильную среду, среда влияет на воспитание характера, характер влияет на развитие способностей, и далее по кругу.
Жизненный опыт говорит, что для занятий наукой нужны
а) способности б) характер в) жизненные обстоятельства.
Характер — самая тонкая часть, это всё о какой-то внутренней жизни человека. Наверное, харизматичные лидеры научных школ (условные Гельфанд/Арнольд/...) влияли на характер и вкусы и воспитывали их. Но я такого никогда не видел (расскажите, вдруг вы знаете как воспитывать характер хотя бы у себя, не говоря уж про учеников?). В общем, по мне, так самая неподконтрольная часть. И измерять её сложно.
в) жизненные обстоятельства. Человек может попасть в неправильную среду (слишком сильно/слабо конкурентную) или в правильную (где все примерно одним интересуются, роют в одну сторону и друг друга мотивируют), поехать туда или сюда, случайно познакомиться с тем или тем, личная жизнь очевидным образом влияет.
И, кажется, что жизненные обстоятельства и характер — это факторы, не менее сильно влияющие на результат, чем способности (которые, конечно, в каком-то смысле просто стартовые условия, и могу сильно поменяться даже за год-два, не говоря уж про десятилетия, при правильном характере и обстоятельствах).
Способности влияют на шансы попасть в правильную среду, среда влияет на воспитание характера, характер влияет на развитие способностей, и далее по кругу.
Диагональные орграфы, Кошулевы алгебры и триангуляции гомологических сфер
Магнитудные гомологии орграфа G -- это биградуированная абелева группа MH_{n,l}(G), где n,l -- целые числа. Такая странная теория гомологий орграфов, которая помнит слишком много информации, но непонятно какой. Магнитудные гомологии определяются и для обобщенных метрических пространств, но сейчас я хочу поговорить об орграфах. Графы я буду считать частным случаем орграфов, где каждое неориентированное ребро -- это пара ориентированных рёбер в обе стороны. Расстояние d(x,y) из вершины x в вершину y определяется как длина кратчайшего ориентированного пути, и если пути нет, то расстояние равно бесконечности.
При n=0 ненулевые магнитудные гомологии бывают только при l=0, и
MH_{0,0} -- это свободная абелева группа, ранг которой равен количеству вершин.
При n=1 ненулевые магнитудные гомологии бывают только при l=1, и
MH_{1,1} -- это свободная абелева группа, ранг которой равен количеству рёбер.
При n=2 магнитудные гомологии бывают нетривиальными уже для любого l=2,3,4,...
Однако для многих простых примеров орграфов по непонятной причине оказывается, что магнитудные гомологии сконцентрированы на диагонали. То есть они равны нулю при n не равном l. Такие орграфы назвали диагональными.
Например, неориентированные деревья диагональны, полные графы диагональны. Если взять джойн любых двух графов, то получается диагональный граф. Ещё бокс произведение диагональных графов диагонально. Это уже даёт большой запас диагональных графов. Граф икосаэдра ещё диагонален. Есть и другие интересные маленькие примеры. Но если пробуешь как-то описать все такие графы, то сталкиваешься с тем, что это какая-то жесть. Очень сложный какой-то класс графов. Не получается описать. И мы со Львом тут недавно связали этот класс орграфов с двумя известными темами: Кошулевыми алгебрами, и гомологическими сферами. Это отчасти объясняет сложность этого класса.
--------------------------
Связь с Кошулевыми алгебрами
По орграфу G можно построить такую градуированную алгебру σG над полем k, которую я называю алгеброй расстояний. Как векторное пространство она порождена парами вершин (x,y), таких, что d(x,y)<∞. Умножение определяется так, что (x,y)(y,z) равно
(x,z), если d(x,y)+d(y,z) = d(x,z);
0, если d(x,y)+d(y,z) > d(x,z).
Градуировка определяется так, что степень (x,y) равна d(x,y).
Не очень сложно доказать такую теорему:
ТЕОРЕМА: G диагонален тогда и только тогда, когда алгебра σG Кошулева для любого поля k.
Кошулевы алгебры — это довольно замороченный класс алгебр, внутри класса квадратичных алгебр. Квадратичные алгебры — это понятно, а вот Кошулевы — это жесть. Зато для диагональных графов мы понимаем, что их алгебра расстояний квадратична. Это позволяет описать очень удобное необходимое условие диагональности в комбинаторных терминах.
Магнитудные гомологии орграфа G -- это биградуированная абелева группа MH_{n,l}(G), где n,l -- целые числа. Такая странная теория гомологий орграфов, которая помнит слишком много информации, но непонятно какой. Магнитудные гомологии определяются и для обобщенных метрических пространств, но сейчас я хочу поговорить об орграфах. Графы я буду считать частным случаем орграфов, где каждое неориентированное ребро -- это пара ориентированных рёбер в обе стороны. Расстояние d(x,y) из вершины x в вершину y определяется как длина кратчайшего ориентированного пути, и если пути нет, то расстояние равно бесконечности.
При n=0 ненулевые магнитудные гомологии бывают только при l=0, и
MH_{0,0} -- это свободная абелева группа, ранг которой равен количеству вершин.
При n=1 ненулевые магнитудные гомологии бывают только при l=1, и
MH_{1,1} -- это свободная абелева группа, ранг которой равен количеству рёбер.
При n=2 магнитудные гомологии бывают нетривиальными уже для любого l=2,3,4,...
Однако для многих простых примеров орграфов по непонятной причине оказывается, что магнитудные гомологии сконцентрированы на диагонали. То есть они равны нулю при n не равном l. Такие орграфы назвали диагональными.
Например, неориентированные деревья диагональны, полные графы диагональны. Если взять джойн любых двух графов, то получается диагональный граф. Ещё бокс произведение диагональных графов диагонально. Это уже даёт большой запас диагональных графов. Граф икосаэдра ещё диагонален. Есть и другие интересные маленькие примеры. Но если пробуешь как-то описать все такие графы, то сталкиваешься с тем, что это какая-то жесть. Очень сложный какой-то класс графов. Не получается описать. И мы со Львом тут недавно связали этот класс орграфов с двумя известными темами: Кошулевыми алгебрами, и гомологическими сферами. Это отчасти объясняет сложность этого класса.
--------------------------
Связь с Кошулевыми алгебрами
По орграфу G можно построить такую градуированную алгебру σG над полем k, которую я называю алгеброй расстояний. Как векторное пространство она порождена парами вершин (x,y), таких, что d(x,y)<∞. Умножение определяется так, что (x,y)(y,z) равно
(x,z), если d(x,y)+d(y,z) = d(x,z);
0, если d(x,y)+d(y,z) > d(x,z).
Градуировка определяется так, что степень (x,y) равна d(x,y).
Не очень сложно доказать такую теорему:
ТЕОРЕМА: G диагонален тогда и только тогда, когда алгебра σG Кошулева для любого поля k.
Кошулевы алгебры — это довольно замороченный класс алгебр, внутри класса квадратичных алгебр. Квадратичные алгебры — это понятно, а вот Кошулевы — это жесть. Зато для диагональных графов мы понимаем, что их алгебра расстояний квадратична. Это позволяет описать очень удобное необходимое условие диагональности в комбинаторных терминах.
Связь с гомологическими сферами
Мы здесь будем говорить в терминах кусочно-линейной топологии. Комбинаторная триангуляция кусочно-линейного многообразия M — это кусочно-линейный гомеоморфизм с геометрической реализацией симплициального комплекса K.
Понятие комбинаторной триангуляции отличается от общего понятия триангуляции, где гомеоморфизм не предполагается кусочно-линейным. Например, существует некомбинаторная триангуляция пятимерной сферы. Но некомбинаторные триангуляции — это экзотическая тема. Все триангуляции, которые легко себе представить, комбинаторные.
Если есть комбинаторная триангуляция K замкнутого кусочно линейного многообразия M, то можно построить такой орграф G, вершины которого — это симплексы K, и ещё две дополнительные вершины 0 и 1. Стрелки в G бывают трёх видов
1) s —> t, где s грань симплекса t (коразмерности один),
2) 0 —> s, где s — это 0-симплекс
3) s —> 1, где s — это симплекс максимальной размерности.
ТЕОРЕМА: Орграф G диагональный тогда и только тогда, когда M гомологическая сфера.
Магнитудные гомологии таких орграфов G, построенным по комбинаторной триангуляции кусочно-линейного многообразия, мы умеем вычислять и в общем случае, для любого многообразия M. Диагональная часть хитрая, зависит от комбинаторики, а недиагональная часть зависит только от гомологий M. Это даёт прикольный источник примеров орграфов с определенными магнитудными гомологиями.
https://arxiv.org/abs/2405.04748
Мы здесь будем говорить в терминах кусочно-линейной топологии. Комбинаторная триангуляция кусочно-линейного многообразия M — это кусочно-линейный гомеоморфизм с геометрической реализацией симплициального комплекса K.
Понятие комбинаторной триангуляции отличается от общего понятия триангуляции, где гомеоморфизм не предполагается кусочно-линейным. Например, существует некомбинаторная триангуляция пятимерной сферы. Но некомбинаторные триангуляции — это экзотическая тема. Все триангуляции, которые легко себе представить, комбинаторные.
Если есть комбинаторная триангуляция K замкнутого кусочно линейного многообразия M, то можно построить такой орграф G, вершины которого — это симплексы K, и ещё две дополнительные вершины 0 и 1. Стрелки в G бывают трёх видов
1) s —> t, где s грань симплекса t (коразмерности один),
2) 0 —> s, где s — это 0-симплекс
3) s —> 1, где s — это симплекс максимальной размерности.
ТЕОРЕМА: Орграф G диагональный тогда и только тогда, когда M гомологическая сфера.
Магнитудные гомологии таких орграфов G, построенным по комбинаторной триангуляции кусочно-линейного многообразия, мы умеем вычислять и в общем случае, для любого многообразия M. Диагональная часть хитрая, зависит от комбинаторики, а недиагональная часть зависит только от гомологий M. Это даёт прикольный источник примеров орграфов с определенными магнитудными гомологиями.
https://arxiv.org/abs/2405.04748
arXiv.org
On diagonal digraphs, Koszul algebras and triangulations of...
The article is devoted to the magnitude homology of digraphs, with a primary focus on diagonal digraphs, i.e., digraphs whose magnitude homology is concentrated on the diagonal. For any digraph...
Мой друг Цзюйсинь под руководством Джи Ву досчитал 33-ю диагональ (33-stem) в 2-кручении гомотопических групп сфер. Порядки всех групп были известны ещё 45 лет назад, но проблема расширений оставалась открытой для трёх групп:
π_{39}(S^6), π_{40}(S^7), π_{41}(S^8)
Например, было неизвестно, чему равно 2-кручение в
π_{39}(S^6).
Либо (ℤ/2)^8, либо (ℤ/2)^6⊕ℤ/4.
Они показали, что это (ℤ/2)^8.
Для этого им потребовалось определить новый вид скобки Тоды, которую они назвали Z-образной скобкой Тоды.
https://arxiv.org/abs/2406.08621
π_{39}(S^6), π_{40}(S^7), π_{41}(S^8)
Например, было неизвестно, чему равно 2-кручение в
π_{39}(S^6).
Либо (ℤ/2)^8, либо (ℤ/2)^6⊕ℤ/4.
Они показали, что это (ℤ/2)^8.
Для этого им потребовалось определить новый вид скобки Тоды, которую они назвали Z-образной скобкой Тоды.
https://arxiv.org/abs/2406.08621
arXiv.org
On the extension problems for three 33-stem homotopy groups
This paper tackles the extension problems for three far-unsatble homotopy groups $π_{39}(S^{6})$, $π_{40}(S^{7})$, and $π_{41}(S^{8})$ localized at 2, the puzzles having remained unsolved...
Forwarded from tropical saint petersburg
Книга Saint Petersburg mathematicians and their discoveries закончена. Правим последние опечатки, картинки, скоро напечатаем. В Питере, однако. Формат 165*235 (B5), обложка твёрдая. Черно-белая, поэтому иллюстрации выглядят не так классно. Впрочем, смотрите сами.
На английском. (На русском книгу, возможно, МЦНМО доделают к осени).
Цветная версия на обоих языках будет бесплатно доступна в интернете.
Книгу на русском (если доделают) можно будет купить в магазине МЦНМО в Москве уж точно. Может, ещё где-то. Книгу на английском купить нигде нельзя будет. Самиздат. Редкое. Первое и последнее издание.
Но! можем напечатать чуть больше экземпляров (сейчас печатаем только авторам и друзьям), а вы потом зайдёте, например, в ПОМИ в Питере, или может быть специальный человек из ПОМИ пошлёт по почте. Стоить примерно 700-800руб это будет + пересылка. Я бы на пересылку не сильно надеялся, впрочем, я пока не понимаю, кто бы хотел это делать. Ну и по России почта в целом работает, а пересылка в заграницы и дорогая, и непонятно как работает. В общем, лучше лично забирать.
__________________
Итого, кому нужна бумажная версия книги на английском (та, что выше по ссылке) — пишите на [email protected]
В письме опишите, сколько вам надо экземпляров, и сможете ли вы их забрать в Питере в ПОМИ, или куда требуется пересылка (и сразу сами узнайте, сколько стоит пересылка). Начнём печатать через пару недель. Сейчас надо понять, сколько экземпляров. Как напечатаем, всем подписавшимся напишем, что можно забирать.
Кроме того, ищите ошибки и опечатки в электронной версии, пока не ушло в печать!
От моноидов к ∞-монадам
Один коллега вовлёк меня в проект, где мне нужно пользоваться ∞-категориями, и ∞-монадами. В меня как-то ∞-монады с трудом заходили, и это побудило меня начать писать этот пост. Замысел был в том, чтобы рассказать про то, как идея моноида развивается на разных уровнях: обычный моноид, моноид в категории, моноидальная категория, моноид в моноидальной категории, монада, моноидальная ∞-категория, моноид в моноидальной ∞-категории, ∞-монада. Хотелось красиво показать, что это такая непрерывная спираль развития идей, в которой предыдущий этаж необходим для следующего. Однако в процессе написания этого поста я узнал, что есть эквивалентное определение ∞-монады, для которого не обязательно знать, что такое моноидальная ∞-категория. К тому моменту пост уже был очень большим, и мне он показался какой-то совершенно бессмысленной графоманией, и я передумал его постить. Но потом я вспомнил, что группа называется свалкой, и решил его запостить всё равно. Можете считать, что это что-то типа дневника моих попыток понять, что такое ∞-монада, и просто рассуждения на тему моноидального.
∙ Моноиды
∙ Моноидальные категории
∙ Моноиды в моноидальных категориях
∙ Монады
∙ Ходячий моноид
∙ О бухгалтерском учёте
∙ Расслоения Гротендика
∙ Псевдофункторы и расслоения
∙ Моноидальные категории как оп-расслоения
∙ Моноиды как сечения оп-расслоений
∙ Выпрямление-развыпрямление
∙ Моноидальные ∞-категории и моноиды в них
∙ Моноидальная ∞-категория эндофункторов
∙ ∞-монады
∙ Список литературы
https://medium.com/@ivanov.s.o.1986/от-моноидов-к-монадам-46cac1e0fae6
Один коллега вовлёк меня в проект, где мне нужно пользоваться ∞-категориями, и ∞-монадами. В меня как-то ∞-монады с трудом заходили, и это побудило меня начать писать этот пост. Замысел был в том, чтобы рассказать про то, как идея моноида развивается на разных уровнях: обычный моноид, моноид в категории, моноидальная категория, моноид в моноидальной категории, монада, моноидальная ∞-категория, моноид в моноидальной ∞-категории, ∞-монада. Хотелось красиво показать, что это такая непрерывная спираль развития идей, в которой предыдущий этаж необходим для следующего. Однако в процессе написания этого поста я узнал, что есть эквивалентное определение ∞-монады, для которого не обязательно знать, что такое моноидальная ∞-категория. К тому моменту пост уже был очень большим, и мне он показался какой-то совершенно бессмысленной графоманией, и я передумал его постить. Но потом я вспомнил, что группа называется свалкой, и решил его запостить всё равно. Можете считать, что это что-то типа дневника моих попыток понять, что такое ∞-монада, и просто рассуждения на тему моноидального.
∙ Моноиды
∙ Моноидальные категории
∙ Моноиды в моноидальных категориях
∙ Монады
∙ Ходячий моноид
∙ О бухгалтерском учёте
∙ Расслоения Гротендика
∙ Псевдофункторы и расслоения
∙ Моноидальные категории как оп-расслоения
∙ Моноиды как сечения оп-расслоений
∙ Выпрямление-развыпрямление
∙ Моноидальные ∞-категории и моноиды в них
∙ Моноидальная ∞-категория эндофункторов
∙ ∞-монады
∙ Список литературы
https://medium.com/@ivanov.s.o.1986/от-моноидов-к-монадам-46cac1e0fae6
Medium
От моноидов к ∞-монадам
Математическая свалка Сепы
от_моноидов_к_бесконечность_монадам.pdf
494.6 KB
Предыдущий пост "От моноидов к ∞-монадам" в виде pdf.
Forwarded from jaadukiichadi
Только что позвонили и сказали, что ушел Илья Рипс. Мой друг. Последние 20 лет мы много общались и вживую, и переписывались... не знаю, что сказать еще. Когда-нибудь расскажу что-нибудь... Это был уникальный человек. Вот фильм про него https://vk.com/video163902031_456244261
VK Видео
Burning, 2016. Eliyahu Rips, Ivo Ceplevics.
A documentary about mathematician Eliyahu Rips. Eliyahu Rips was a child prodigy growing up in the Soviet Union. On 13 April 1969, at the age of 20 he tried to set fire to himself in protest against the Soviet occupation of Czechoslovakia. His attempt was…
Путевые гомологии — это не гомологии пространства.
Когда я впервые услышал о путевых гомологиях орграфов, меня удивило сочетание дурацкости определения и замечательности свойств. Сразу захотелось найти нормальное определение, из которого эти свойства бы легко следовали. Самое очевидное желание — построить по орграфу пространство, гомологии которого — это путевые гомологии орграфа. Прошло уже больше двух лет с тех пор, как я впервые начал заниматься путевыми гомологиями, и вот только сейчас наконец вдвоем с постдокшей по имени Син разобрались, что построить такое пространство невозможно. Во всяком случае, невозможно построить пространство, гомологии которого совпадают с путевыми гомологиями орграфа с коэффициентами во всех кольцах одновременно.
Для нарисованного выше орграфа G не существует топологического пространства X, гомологии которого совпадали бы с путевыми гомологиями G с коэффициентами одновременно и в ℤ, и в ℤ/2.
https://arxiv.org/abs/2407.17001
Когда я впервые услышал о путевых гомологиях орграфов, меня удивило сочетание дурацкости определения и замечательности свойств. Сразу захотелось найти нормальное определение, из которого эти свойства бы легко следовали. Самое очевидное желание — построить по орграфу пространство, гомологии которого — это путевые гомологии орграфа. Прошло уже больше двух лет с тех пор, как я впервые начал заниматься путевыми гомологиями, и вот только сейчас наконец вдвоем с постдокшей по имени Син разобрались, что построить такое пространство невозможно. Во всяком случае, невозможно построить пространство, гомологии которого совпадают с путевыми гомологиями орграфа с коэффициентами во всех кольцах одновременно.
Для нарисованного выше орграфа G не существует топологического пространства X, гомологии которого совпадали бы с путевыми гомологиями G с коэффициентами одновременно и в ℤ, и в ℤ/2.
https://arxiv.org/abs/2407.17001
Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.
Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.
Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств
F : D —> sSets.
Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора)
B_{n,d} ⊆ F(d)_n,
которые замкнуты относительно вырождений
s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d},
и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм
f : d' —> d
и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что
F(f)(b)=x.
Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).
Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.
Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества
S' <—< S >—> S'',
то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств
S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ...,
то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.
Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми.
... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ...
Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки
S_n = *.
Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество
... —> (n-2) —> (n-1) —> (n),
составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения
S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.
Список литературы:
[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets."
(Определение свободной диаграммы §2.4.
Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)
[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces."
(Прежде всего §2.4)
[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization"
(Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").
Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.
Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств
F : D —> sSets.
Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора)
B_{n,d} ⊆ F(d)_n,
которые замкнуты относительно вырождений
s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d},
и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм
f : d' —> d
и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что
F(f)(b)=x.
Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).
Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.
Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества
S' <—< S >—> S'',
то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств
S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ...,
то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.
Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми.
... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ...
Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки
S_n = *.
Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество
... —> (n-2) —> (n-1) —> (n),
составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения
S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.
Список литературы:
[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets."
(Определение свободной диаграммы §2.4.
Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)
[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces."
(Прежде всего §2.4)
[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization"
(Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").