Здравствуйте, коллеги!
На Ёжике опять объявлен набор новых авторов! Мы предлагаем вам поработать в дружной команде людей, которые любят математику, набраться опыта в написании научных и научно-популярных статей, стать известным и (при удаче) завести своих почитателей! Кроме того, уже почти 3 года, как почти все авторы Ёжика получают за свою работу гонорар. Если ваш пост становится удачным и популярным, то вы можете получить за одну публикацию до 1000р!
Если вы хотите попробовать свои силы, напишите нашему сообществу или главному редактору, Алексею Никитину в личку. После этого от вас потребуется пробный пост, и если он зайдёт нашим читателям, то вам, обязательно будет предложено место в нашей команде!
Коллеги! Пишите письма и посты! Также мы будем очень признательны, если сможете пригласить поучаствовать в нашем новом конкурсе авторов Ёжика своих друзей, знакомых и коллег!
Ёжик ждёт вас!!
#ёжик_в_матане
На Ёжике опять объявлен набор новых авторов! Мы предлагаем вам поработать в дружной команде людей, которые любят математику, набраться опыта в написании научных и научно-популярных статей, стать известным и (при удаче) завести своих почитателей! Кроме того, уже почти 3 года, как почти все авторы Ёжика получают за свою работу гонорар. Если ваш пост становится удачным и популярным, то вы можете получить за одну публикацию до 1000р!
Если вы хотите попробовать свои силы, напишите нашему сообществу или главному редактору, Алексею Никитину в личку. После этого от вас потребуется пробный пост, и если он зайдёт нашим читателям, то вам, обязательно будет предложено место в нашей команде!
Коллеги! Пишите письма и посты! Также мы будем очень признательны, если сможете пригласить поучаствовать в нашем новом конкурсе авторов Ёжика своих друзей, знакомых и коллег!
Ёжик ждёт вас!!
#ёжик_в_матане
Дорогие коллеги!
В редакции Ёжика до недавнего времени числился химик Константин Пайчадзе из Новосибирска. К огромному сожалению, он так и не смог доделать до конца ни один свой пост, и был выведен из списка авторов 😩
Но сейчас мы публикуем его пост про комплексные числа, который он нам прислал ещё в предложку, когда автором Ёжика не был. ИМХО, он весьма интересный!
--------------------------------------------------------------------------------
1. Введение. В прошлый раз мы рассмотрели решения степенных уравнений в вещественных числах. Однако теорема Гаусса требует, чтобы количество корней любого полинома, включая кратные, было бы ровно n. но как этого достичь для случая
x2 + 1 = 0 (1.1)?
2. Комплексные числа. Для разрешения этого вопроса введем комплексные числа, а именно комплексную единицу вида
i2 = -1 (2.1).
Строгих правил записи комплексной единицы печатно i или курсивом i нет. От руки будет курсивом, на компьютере проще печатной буквой. Общий же вид комплексного числа имеет характер бинома
a + bi (2.2)
Где a и b некоторые вещественные числа. Для случая a = 0, речь идет о чистом случае комплексных чисел, при b = 0, это случай вещественных чисел. При неравенстве нулю обоих параметров говорят о комплексном числе. Комплексно-сопряженным к заданному комплексному числу вида (2.2), является комплексное число вида
a - bi (2.3).
Верно и обратное утверждение.
Сложение и вычитание любых комплексных чисел есть операция эквивалентная сложению и вычитанию произвольных биномов и является коммутативной
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a2 + b2i) + (a1 + b1i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
Умножать тоже легко, коммутативно и ассоциативно, чтобы в ваших глазах это не значило (когда это будет не так – уточним)
(a1 + b1i)•(a2 + b2i) = a1a2 – b1b2 + (a1b2 + a2b1)i
А вот с делением придется «попрыгать». Чтобы разделить на комплексное число, нужно умножить числитель и знаменатель на величину комплексно сопряженную знаменателю. Например
(3+8i)/(2-4i) = (3+8i)/(2-4i)•(2+4i)/(2+4i) =
= (3+8i)•(2+4i)/(4 – 16i2) =
= (6 + 32i2 + 28i)/20 =
= (-26 + 28i)/20 =
= -1,3 + 1,4i
3. Деление многочленов. Модуль комплексного числа. Решим теперь уравнение
x3 – 1 = 0 (3.1)
Очевидно, что x1 = 1. Два других корня нам неизвестны, поскольку с трудами Анри Муавра, мы еще не знакомы. Однако, любой многочлен, если xi его корни. можно представить в виде
a0xn + a1xn-1 + … an-1x + an = a0(x - x1)(x – x2)•…•(x-xn)
Значит x-1, есть делитель (3.1) и тривиально
(x3-1)/(x-1) = x2+x+1 (3.2)
Квадратное уравнение такого вида имеет дискриминант D = - 3, что, разумеется, исключает его из школьной программы. Но теперь, когда у нас введено понятие комплексного числа, мы его легко решаем, правда, уже в области комплексных чисел.
Однако, как мы так ловко получили (3.2)? Разумеется, ответ подглядели в справочнике, неверен.
Упражнение. Вспомните метод столбика из какого-то там тертого класса средней (если не начальной) школы. Взял и поделил. С остатком.
Ответ для двух оставшихся корней (через дискриминант) имеет вид x2,3 = -1/2 ± (√3/2)i. Довольно легко убедиться, что квадратный корень из суммы квадрата чисто вещественного коэффициента и квадрата вещественного коэффициента перед комплексной единицей, есть единица.
Определение. Модулем z комплексного числа называется квадратный корень из сумм квадратов его вещественной и вещественного коэффициента его комплексной части.
В редакции Ёжика до недавнего времени числился химик Константин Пайчадзе из Новосибирска. К огромному сожалению, он так и не смог доделать до конца ни один свой пост, и был выведен из списка авторов 😩
Но сейчас мы публикуем его пост про комплексные числа, который он нам прислал ещё в предложку, когда автором Ёжика не был. ИМХО, он весьма интересный!
--------------------------------------------------------------------------------
1. Введение. В прошлый раз мы рассмотрели решения степенных уравнений в вещественных числах. Однако теорема Гаусса требует, чтобы количество корней любого полинома, включая кратные, было бы ровно n. но как этого достичь для случая
x2 + 1 = 0 (1.1)?
2. Комплексные числа. Для разрешения этого вопроса введем комплексные числа, а именно комплексную единицу вида
i2 = -1 (2.1).
Строгих правил записи комплексной единицы печатно i или курсивом i нет. От руки будет курсивом, на компьютере проще печатной буквой. Общий же вид комплексного числа имеет характер бинома
a + bi (2.2)
Где a и b некоторые вещественные числа. Для случая a = 0, речь идет о чистом случае комплексных чисел, при b = 0, это случай вещественных чисел. При неравенстве нулю обоих параметров говорят о комплексном числе. Комплексно-сопряженным к заданному комплексному числу вида (2.2), является комплексное число вида
a - bi (2.3).
Верно и обратное утверждение.
Сложение и вычитание любых комплексных чисел есть операция эквивалентная сложению и вычитанию произвольных биномов и является коммутативной
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a2 + b2i) + (a1 + b1i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
Умножать тоже легко, коммутативно и ассоциативно, чтобы в ваших глазах это не значило (когда это будет не так – уточним)
(a1 + b1i)•(a2 + b2i) = a1a2 – b1b2 + (a1b2 + a2b1)i
А вот с делением придется «попрыгать». Чтобы разделить на комплексное число, нужно умножить числитель и знаменатель на величину комплексно сопряженную знаменателю. Например
(3+8i)/(2-4i) = (3+8i)/(2-4i)•(2+4i)/(2+4i) =
= (3+8i)•(2+4i)/(4 – 16i2) =
= (6 + 32i2 + 28i)/20 =
= (-26 + 28i)/20 =
= -1,3 + 1,4i
3. Деление многочленов. Модуль комплексного числа. Решим теперь уравнение
x3 – 1 = 0 (3.1)
Очевидно, что x1 = 1. Два других корня нам неизвестны, поскольку с трудами Анри Муавра, мы еще не знакомы. Однако, любой многочлен, если xi его корни. можно представить в виде
a0xn + a1xn-1 + … an-1x + an = a0(x - x1)(x – x2)•…•(x-xn)
Значит x-1, есть делитель (3.1) и тривиально
(x3-1)/(x-1) = x2+x+1 (3.2)
Квадратное уравнение такого вида имеет дискриминант D = - 3, что, разумеется, исключает его из школьной программы. Но теперь, когда у нас введено понятие комплексного числа, мы его легко решаем, правда, уже в области комплексных чисел.
Однако, как мы так ловко получили (3.2)? Разумеется, ответ подглядели в справочнике, неверен.
Упражнение. Вспомните метод столбика из какого-то там тертого класса средней (если не начальной) школы. Взял и поделил. С остатком.
Ответ для двух оставшихся корней (через дискриминант) имеет вид x2,3 = -1/2 ± (√3/2)i. Довольно легко убедиться, что квадратный корень из суммы квадрата чисто вещественного коэффициента и квадрата вещественного коэффициента перед комплексной единицей, есть единица.
Определение. Модулем z комплексного числа называется квадратный корень из сумм квадратов его вещественной и вещественного коэффициента его комплексной части.
4. Формула Муавра. Тригонометрическое представление. Извлекать корень из (2.2) удовольствие так себе, да и возводить в бином в «жирафью» степень, «неспортивно». Пока он без i, еще худо-бедно треугольником Паскаля, но когда это 10-я степень, счастье сомнительное. Оказывается, однако, что комплексному числу на соответствующей комплексной плоскости, можно сопоставить точку. В самом деле, отложим на оси абсцисс некое произвольное вещественное число, а на оси ординат – некое произвольное сугубо комплексное. Тогда на плоскости xy можно построить набор комплексных чисел, вида a+bi, которым можно сопоставить, вообще говоря, прямоугольный треугольник. Его вещественный катет равен вещественной части a, комплексный = b, а гипотенуза равна модулю комплексного числа. И хотя модуль чисел 1+2i и 2 + i, одинаков, эти два числа между собой не равны. Они лежат на радиусе круга √5. Но такому кругу можно сопоставить бесконечное число углов φ отсчитываемых от начала координат. Угол φ образует континуум, а значит, на модуле z = R, где R – радиус круга, имеется бесконечное число поворотов и бесконечное множество комплексных чисел одного модуля. Круг, разумеется, конечен – всего 3600, но мы можем делать бесконечно малые шаги. Эта неприятность существенна в задачах физики, посвященных теории поля. Вещественным же числам одного модуля, как известно, отвечает всего два числа.
Но вернемся к мнимой единице. Произвольному комплексному числу модуля z, отвечает некоторая точка на комплексной плоскости.
На вещественной (привычной нам числовой) оси абсцисс, откладываем значение a, на комплексной - ординат, b. А теперь из данной точки с координатой (a, b) проводим гипотенузу в точку (0, 0). В этой точке гипотенуза и катет вдоль оси абсцисс образуют угол φ. Тогда можно сопоставить произвольному комплексному числу некую точку с расстоянием z от начала координат, по следующее формуле
а + bi = z(cosφ + isinφ) (4.1)
z = √(a2 + b2) (4.2)
Для φ = 0 имеем положительное вещественное число, для φ = 1800 – отрицательное вещественное. 90 и 270 градусов отвечают соответствующим строго комплексным случаям. Угол отсчитывается от положительного луча оси абсцисс.
Тогда, помня, что корень n-й степени есть 1/n, получаем
(а + bi)n = zn(cosnφ + isinnφ) (4.1)
n√(а + bi) = z1/n(cos(φ/n) + isin(φ/n))
Вернемся к комплексным корням уравнения (3.1). Где они будут расположены на комплексной плоскости? Косинус превращается в -1/2 при 1200 и 240 0 (это дает равномерный шаг в 120 0 между корнями), вещественный же корень будет равен +1.
Задание. Рекомендуем показать, что решению уравнения x5-1 = 0, соответствуют корни с шагом в 72 0.
Но вернемся к мнимой единице. Произвольному комплексному числу модуля z, отвечает некоторая точка на комплексной плоскости.
На вещественной (привычной нам числовой) оси абсцисс, откладываем значение a, на комплексной - ординат, b. А теперь из данной точки с координатой (a, b) проводим гипотенузу в точку (0, 0). В этой точке гипотенуза и катет вдоль оси абсцисс образуют угол φ. Тогда можно сопоставить произвольному комплексному числу некую точку с расстоянием z от начала координат, по следующее формуле
а + bi = z(cosφ + isinφ) (4.1)
z = √(a2 + b2) (4.2)
Для φ = 0 имеем положительное вещественное число, для φ = 1800 – отрицательное вещественное. 90 и 270 градусов отвечают соответствующим строго комплексным случаям. Угол отсчитывается от положительного луча оси абсцисс.
Тогда, помня, что корень n-й степени есть 1/n, получаем
(а + bi)n = zn(cosnφ + isinnφ) (4.1)
n√(а + bi) = z1/n(cos(φ/n) + isin(φ/n))
Вернемся к комплексным корням уравнения (3.1). Где они будут расположены на комплексной плоскости? Косинус превращается в -1/2 при 1200 и 240 0 (это дает равномерный шаг в 120 0 между корнями), вещественный же корень будет равен +1.
Задание. Рекомендуем показать, что решению уравнения x5-1 = 0, соответствуют корни с шагом в 72 0.
5. Теория функции комплексного переменного (ТФКП, он же жаргонный тээфкап). По аналогии с математическим анализом, для теории «обычных» функций и его обобщением на вещественный анализ, где идет рассмотрение всякого веселого в стиле интегралов Данжуа-Хинчина, когда можно вычислять нечто уж совсем непотребное и зачем – непонятное, можно построить теорию дифференцирования и интегрирования функций комплексного переменного. Здесь следует остановиться на следующих соображениях.
А) Функция комплексного переменного не может быть нарисована в общем случае. В самом деле, соорудить такую
z = f(x+yi),
что
Imz = 0,
Rez ≠ 0
где Imz – комплексная, а Rez – вещественная часть функции, затруднительно.
Б) Рассмотрение какого-либо физического процесса, с помощью комплексной функции, должно приводить непременно к вещественному результату. В самом деле, описание состояния электрона в атоме дает нам строго вещественные параметры его скорости, координаты (с той точностью, с которой определено соотношениями неопределенности, но про квантовую механику не здесь), энергии. Однако, описывающая это движение Ψ-функция, является вообще говоря комплексной. Впрочем, учить ТФКП, если вы не будете математиком или физиком, вам не придется. Так, у химиков Новосибирского государственного университета, помимо семестра квантовой механики, имеется два семестра строения вещества. И хотя там постоянно надо выделывать с пси-функцией всякое непотребство, производя дифференцирование, интегрирование и прочие изящества с помощью оператора «плющЕния и оттопыривания» (что такое оператор, следует говорить отдельно), нигде то, что изложено в книжках по ТФКП, химику не потребуется. Даже если, он пойдет потом, работать в ИХКиГ СО РАН (Институт химической кинетики и горения, Сибирского отделения Российской Академии Наук). Физики же и математики – им да, семестр-другой перепадет.
Впрочем, мой одногруппник Саша, делал физиков НГУ как стоячих на 4-м курсе. Мы с ним влетели на осеннюю пересдачу по «Строению вещества». Но я-то твердотельщик, у меня группы симметрии в символике Германа-Могена. У него - в Шёнфлисе.
Так, кто сказал, что я ругаюсь матом? Я еще не начинал. Прежде чем перейти, к гиперкомплексным числам, поговорим о матрицах. Вроде бы линейная алгебра. Но кто сказал, что матанализ живет отдельно?
#ёжик_пишет
#комплексный_анализ
А) Функция комплексного переменного не может быть нарисована в общем случае. В самом деле, соорудить такую
z = f(x+yi),
что
Imz = 0,
Rez ≠ 0
где Imz – комплексная, а Rez – вещественная часть функции, затруднительно.
Б) Рассмотрение какого-либо физического процесса, с помощью комплексной функции, должно приводить непременно к вещественному результату. В самом деле, описание состояния электрона в атоме дает нам строго вещественные параметры его скорости, координаты (с той точностью, с которой определено соотношениями неопределенности, но про квантовую механику не здесь), энергии. Однако, описывающая это движение Ψ-функция, является вообще говоря комплексной. Впрочем, учить ТФКП, если вы не будете математиком или физиком, вам не придется. Так, у химиков Новосибирского государственного университета, помимо семестра квантовой механики, имеется два семестра строения вещества. И хотя там постоянно надо выделывать с пси-функцией всякое непотребство, производя дифференцирование, интегрирование и прочие изящества с помощью оператора «плющЕния и оттопыривания» (что такое оператор, следует говорить отдельно), нигде то, что изложено в книжках по ТФКП, химику не потребуется. Даже если, он пойдет потом, работать в ИХКиГ СО РАН (Институт химической кинетики и горения, Сибирского отделения Российской Академии Наук). Физики же и математики – им да, семестр-другой перепадет.
Впрочем, мой одногруппник Саша, делал физиков НГУ как стоячих на 4-м курсе. Мы с ним влетели на осеннюю пересдачу по «Строению вещества». Но я-то твердотельщик, у меня группы симметрии в символике Германа-Могена. У него - в Шёнфлисе.
Так, кто сказал, что я ругаюсь матом? Я еще не начинал. Прежде чем перейти, к гиперкомплексным числам, поговорим о матрицах. Вроде бы линейная алгебра. Но кто сказал, что матанализ живет отдельно?
#ёжик_пишет
#комплексный_анализ
Уважаемые коллеги!
Разрешите представить вам сегодня весьма интересную лекцию Д.С. Ватолина "Как устроена наука Краткий субъективный взгляд". Дмитрий Сергеевич прочитал её пару недель назад для аспирантов факультета ВМК МГУ, но мы с самого начала предполагали, что выложим её и для читателей/зрителей Ёжика.
https://vkvideo.ru/video-186208863_456244148
Смотрите, комментируйте. Если у вас появятся вопросы к автору, попробуем их ему задать 😊
#колючие_лекции
#рекреационная_математика
Разрешите представить вам сегодня весьма интересную лекцию Д.С. Ватолина "Как устроена наука Краткий субъективный взгляд". Дмитрий Сергеевич прочитал её пару недель назад для аспирантов факультета ВМК МГУ, но мы с самого начала предполагали, что выложим её и для читателей/зрителей Ёжика.
https://vkvideo.ru/video-186208863_456244148
Смотрите, комментируйте. Если у вас появятся вопросы к автору, попробуем их ему задать 😊
#колючие_лекции
#рекреационная_математика
VK Видео
Ватолин Д.С. | Как устроена наука Краткий субъективный взгляд | ВМК МГУ
Смотрите онлайн Ватолин Д.С. | Как устроена наука Краткий субъективный.. 1 ч 40 мин 26 с. Видео от 21 мая 2025 в хорошем качестве, без регистрации в бесплатном видеокаталоге ВКонтакте! 20670 — просмотрели. 197 — оценили.
📚М. И. Каргаполова и Ю. И. Мерзлякова «Основы теории групп»
Это не просто учебник а фундаментальное пособие, охватывающее как классические, так и современные аспекты теории групп. Книга основана на лекциях, прочитанных авторами в Новосибирском университете, и неоднократно переиздавалась, что свидетельствует о её значимости в математическом сообществе. Она переведена на английский, французский и польский языки. Среди тем, рассмотренных в книге, гомоморфизмы групп, абелевы группы, конечные группы, свободные группы и многообразия, нильпотентные группы, разрешимые группы и условия конечности. Особое внимание уделено примерам, разъясняющим основные понятия и результаты теории, а также приведено большое количество упражнений для закрепления материала.
С первых страниц ощущается стиль ясный,последовательный и с тонким педагогическим чутьём. Здесь нет места абстракциям ради абстракции каждое понятие работает, каждое определение встроено в ткань доказательств и упражнений. Особенно мне понравилось, как изложения сопровождаются примерами и задачами. Отдельно стоит отметить новые добавленные разделы про индуктивные и проективные пределы, а также о корнях из подгрупп в нильпотентных группах. Это не просто расширение, это шаг к современному пониманию структуры групп, к мосту между алгеброй и категорией.
Чтение этой книги как разговор с автором, у которого за плечами не только знания и опыт, но и глубокое уважение к теме. Если вы студент, исследователь или просто математик по духу, то вам сюда. Книга служит отличным введением в теорию групп и может быть полезна как для начинающих, так и для опытных математиков.
#ТеорияГрупп #АбстрактнаяАлгебра #Каргаполов #Мерзляков #Алгебра #МатематическоеОбразование #Группы #НильпотентныеГруппы #Ёжик_читает
Это не просто учебник а фундаментальное пособие, охватывающее как классические, так и современные аспекты теории групп. Книга основана на лекциях, прочитанных авторами в Новосибирском университете, и неоднократно переиздавалась, что свидетельствует о её значимости в математическом сообществе. Она переведена на английский, французский и польский языки. Среди тем, рассмотренных в книге, гомоморфизмы групп, абелевы группы, конечные группы, свободные группы и многообразия, нильпотентные группы, разрешимые группы и условия конечности. Особое внимание уделено примерам, разъясняющим основные понятия и результаты теории, а также приведено большое количество упражнений для закрепления материала.
С первых страниц ощущается стиль ясный,последовательный и с тонким педагогическим чутьём. Здесь нет места абстракциям ради абстракции каждое понятие работает, каждое определение встроено в ткань доказательств и упражнений. Особенно мне понравилось, как изложения сопровождаются примерами и задачами. Отдельно стоит отметить новые добавленные разделы про индуктивные и проективные пределы, а также о корнях из подгрупп в нильпотентных группах. Это не просто расширение, это шаг к современному пониманию структуры групп, к мосту между алгеброй и категорией.
Чтение этой книги как разговор с автором, у которого за плечами не только знания и опыт, но и глубокое уважение к теме. Если вы студент, исследователь или просто математик по духу, то вам сюда. Книга служит отличным введением в теорию групп и может быть полезна как для начинающих, так и для опытных математиков.
#ТеорияГрупп #АбстрактнаяАлгебра #Каргаполов #Мерзляков #Алгебра #МатематическоеОбразование #Группы #НильпотентныеГруппы #Ёжик_читает
Проект Стекс (Stacks project) — самый большой открытый учебник по алгебраической геометрии.
Сегодня, не имя возможности написать хороший содержательный пост, я предлагаю вам покопаться, порассуждать и помедитировать над очень объемным онлайн учебником по алгебраической геометрии. Это проект Стекс.
https://stacks.math.columbia.edu/
Учебник сделан по аналогии с ПО с открытым кодом, размещенном на Гитхабе. Каждый может внести свою лепту в наполнение учебника (какую именно, написано ниже), выполнив пул реквест главреду проекта, а он уже решит судьбу запроса.
Учебник изначально ориентирован на чтение в онлайне. Поэтому никто не заботится о длине глав: они могут быть как очень краткими, так и сверх длинными. Также учебник нельзя прочитать как обычную книгу от начала до конца — правильное чтение заключается в переходах от раздела к разделу по ссылкам. То есть вы сами выстраиваете нужный порядок чтения.
Однако вы все же можете скачать версию учебника в пдф. На момент написания этой заметки доступна версия от 18 июня 2024 года, состоящая из 7609 страниц! На-минуточку, это самый большой по объему учебник по математической дисциплине из когда-либо мною виденных. Он прикреплен к этому посту.
» Цель
Цель учебника — построить теорию алгебраической геометрии, затем использовать ее как основу для теории алгебраических стеков. Коммутативные алгебры, схемы, многообразия, алгебраические пространства, идеалы, модули, кольца и прочие алгебраические приблуды наполняют учебник весомым содержанием.
Учебник следует нескольким основополагающим правилам:
1. Каждый математический результат сопровождается доказательством.
2. В доказательствах не используются сторонние результаты.
3. Нет циклических ссылок.
4. Каждый раз, когда используется какой-то результат, на него дается ссылка.
5. В каждом утверждении явно используются все допущения.
6. Авторы не добавляют гипотез для упрощения доказательства.
7. Авторы избегают длинных доказательств, вводя промежуточные леммы.
8. Каждый результат размещен в соответствующей ему главе.
» Теги
Чтобы не заблудиться в алгебраических дебрях, каждому разделу, лемме, теореме, определению, пометке, упражнению, уравнению и другим элементам текста сопоставлен уникальный постоянный тег. Он не меняется при перемещении элемента в новое место, поэтому его можно и нужно использовать для ссылок. Вот пример тега, ссылающегося на лемму:
https://stacks.math.columbia.edu/tag/04DO
Если лемма или теорема окажутся неверными, и редакторы вырежут их из учебника, ссылочный тег все равно останется и будет ссылаться на текст с объяснением, почему элемент был удален. Все теги, а их сейчас примерно 21,5 тыс., перечислены здесь:
https://github.com/stacks/stacks-project/blob/master/tags/tags
» Как помочь
Учебник — это труд совместного творчества. И каждый может дополнить его смыслом. А для того, чтобы вы не метались в поисках места, где можно применить свои способности, редакторы проекта любезно классифицировали разнообразие необходимых задач по времени выполнения.
Здесь есть задачи на 5 минут. Например, найти помарку и исправить ее.
Есть задачи на полчаса-час. Например, такая. Пусть леммы А и В вместе используются в нескольких доказательствах. Отсюда часто следует, что из лемм А и В вытекает лемма С, которая либо отсутствует (тогда ее нужно вывести), либо есть, но не упоминается. Задача заключается в том, что найти те места, где вместо лемм А и В можно вставить лемму С.
И, конечно же, есть задачи, требующие большего времени. Например, найти альтернативное доказательство.
Все необходимые задачи перечислены здесь:
https://stacks.math.columbia.edu/todo
В общем, здесь есть где развернуться.
Напоследок скажу, что даже инициатор проекта не знает, когда он закончится и к чему приведет. Все зависит от вас, дорогие читатели.
--------
Ну а если вам понравилась эта заметка и вы, вдруг, захотите прочитать про похожий учебник по другой дисциплине, лайкните этот пост, или поощрите меня чашечкой кофе (надеюсь, что главред Ежика не накажет меня за это)
https://yoomoney.ru/to/410012594693931
Сегодня, не имя возможности написать хороший содержательный пост, я предлагаю вам покопаться, порассуждать и помедитировать над очень объемным онлайн учебником по алгебраической геометрии. Это проект Стекс.
https://stacks.math.columbia.edu/
Учебник сделан по аналогии с ПО с открытым кодом, размещенном на Гитхабе. Каждый может внести свою лепту в наполнение учебника (какую именно, написано ниже), выполнив пул реквест главреду проекта, а он уже решит судьбу запроса.
Учебник изначально ориентирован на чтение в онлайне. Поэтому никто не заботится о длине глав: они могут быть как очень краткими, так и сверх длинными. Также учебник нельзя прочитать как обычную книгу от начала до конца — правильное чтение заключается в переходах от раздела к разделу по ссылкам. То есть вы сами выстраиваете нужный порядок чтения.
Однако вы все же можете скачать версию учебника в пдф. На момент написания этой заметки доступна версия от 18 июня 2024 года, состоящая из 7609 страниц! На-минуточку, это самый большой по объему учебник по математической дисциплине из когда-либо мною виденных. Он прикреплен к этому посту.
» Цель
Цель учебника — построить теорию алгебраической геометрии, затем использовать ее как основу для теории алгебраических стеков. Коммутативные алгебры, схемы, многообразия, алгебраические пространства, идеалы, модули, кольца и прочие алгебраические приблуды наполняют учебник весомым содержанием.
Учебник следует нескольким основополагающим правилам:
1. Каждый математический результат сопровождается доказательством.
2. В доказательствах не используются сторонние результаты.
3. Нет циклических ссылок.
4. Каждый раз, когда используется какой-то результат, на него дается ссылка.
5. В каждом утверждении явно используются все допущения.
6. Авторы не добавляют гипотез для упрощения доказательства.
7. Авторы избегают длинных доказательств, вводя промежуточные леммы.
8. Каждый результат размещен в соответствующей ему главе.
» Теги
Чтобы не заблудиться в алгебраических дебрях, каждому разделу, лемме, теореме, определению, пометке, упражнению, уравнению и другим элементам текста сопоставлен уникальный постоянный тег. Он не меняется при перемещении элемента в новое место, поэтому его можно и нужно использовать для ссылок. Вот пример тега, ссылающегося на лемму:
https://stacks.math.columbia.edu/tag/04DO
Если лемма или теорема окажутся неверными, и редакторы вырежут их из учебника, ссылочный тег все равно останется и будет ссылаться на текст с объяснением, почему элемент был удален. Все теги, а их сейчас примерно 21,5 тыс., перечислены здесь:
https://github.com/stacks/stacks-project/blob/master/tags/tags
» Как помочь
Учебник — это труд совместного творчества. И каждый может дополнить его смыслом. А для того, чтобы вы не метались в поисках места, где можно применить свои способности, редакторы проекта любезно классифицировали разнообразие необходимых задач по времени выполнения.
Здесь есть задачи на 5 минут. Например, найти помарку и исправить ее.
Есть задачи на полчаса-час. Например, такая. Пусть леммы А и В вместе используются в нескольких доказательствах. Отсюда часто следует, что из лемм А и В вытекает лемма С, которая либо отсутствует (тогда ее нужно вывести), либо есть, но не упоминается. Задача заключается в том, что найти те места, где вместо лемм А и В можно вставить лемму С.
И, конечно же, есть задачи, требующие большего времени. Например, найти альтернативное доказательство.
Все необходимые задачи перечислены здесь:
https://stacks.math.columbia.edu/todo
В общем, здесь есть где развернуться.
Напоследок скажу, что даже инициатор проекта не знает, когда он закончится и к чему приведет. Все зависит от вас, дорогие читатели.
--------
Ну а если вам понравилась эта заметка и вы, вдруг, захотите прочитать про похожий учебник по другой дисциплине, лайкните этот пост, или поощрите меня чашечкой кофе (надеюсь, что главред Ежика не накажет меня за это)
https://yoomoney.ru/to/410012594693931
Дорогие коллеги!
Недавно мы объявляли конкурс новых авторов Ёжика, и сегодня мы рады представить вам работу нашего первого конкурсанта, Сергея Постникова. Поддержите коллегу своими реакциями и комментариями. Тема, которую он здесь затрагивает — действительно очень важная!
-------------------------------------------------------------------------
Очередной май. Очередной этап: студенты технического университета закончили двухлетний курс высшей математики. Очередные благодарности от восторженных учеников. И очередное разочарование… И чувство, что ты – немного Мюнхгаузен. - Чем ты недоволен? Мало часов? - Нет! - Слабая школьная подготовка? - Не то! - Претензии специальных кафедр? - Неважно! - Структура программы, Карл! Тебе не нравится структура! - Вот! Из года в год, и не одно десятилетие: линейная алгебра, аналитическая геометрия, пределы, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, дифуры, ряды, комплексный анализ, теория вероятностей и матстатистика. Кусочки мозаики, которые не складываются в одну картину. Вчерашние школьники мучают метод Гаусса решения систем уравнений, совершенно не понимая, за что им такие муки и воспринимая матрицу просто как таблицу чисел. Даже если ведётся разговор о линейных преобразованиях, всё равно остаётся неясным когда и зачем они нужны. А в это время на физике уже дифференциальные уравнения, графики, функции… До которых на математике мы дойдём совсем нескоро. Да и когда дойдём, посмотрим только простейшие типы уравнений и основные методы интегрирования. Потому что ещё нужно рассказать про ТФКП, теорию вероятностей и – да! – исследовать ряды на сходимость. Как сказал однажды в сердцах один мой студент: «Да мне вообще поровну, сходится этот ряд или нет!» И все наши аргументы типа «это вам потом понадобится» или «для тренировки ума» – просто нелепое оправдание нашего бессилия перед Программой. Сюда же ещё накладываются и другие проблемы. Да, и часов маловато, и подготовка хромает, и специальные кафедры… зачастую справедливо… И как результат – даже для лучших студентов такая красивая наука как математика остаётся мёртвым набором несвязанных между собой разделов. Попытки что-то поменять наталкиваются на стену всяких «всегда так было», «так все делают», «они все это должны знать» и прочего. Один раз, когда мне позволяло высокое административное положение, я таки сделал по-своему, построив программу следующим образом: 1. Типовые функции, их свойства и графики. 2. Пределы (понятие) – производная – пределы (вычисление). 3. Исследование фунекций. 4. Ряды (Тейлора и Маклорена). 5. Интегрирование и приложения. 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Включая вопросы линеаризации и устойчивости. Здесь во всей своей красоте и включается линейная алгебра. 7. Математическое моделирование – описание окружающего мира на языке дифференциальных уравнений. 8. Переход в процессе моделирования к функциям нескольких переменных и элементам векторного анализа. 9. Уравнения в частных производных: постановка и решение типовых задач. Первый блин, честно признаться, оказался несколько недопечён. Мы со студентами настолько увлеклись матмоделированием (кстати, кафедра физики была безмерно благодарна), что на уравнения математической физики просто не хватило времени. Но даже в этом случае результаты меня порадовали: ребятишки понимали, как работать с тем инструментом, который я им дал в руки и находили ему всё новое и новое применение. Тогда же я узнал, что похожей структуры придерживались Фихтенгольц и Зельдович («о! я-то вовсе не дурак!»), что послужило дополнительным стимулом к дальнейшему совершенствованию. Но… ни второго, ни третьего раза в силу жизненных обстоятельств не случилось. В итоге – очередной май. И очередное разочарование. Поскольку очередная же попытка формально соблюсти программу, но фактически научить живой математике оказалась неудачной… Может, что посоветуете?..
#предложка_ёжика
#ёжик_дискутирует
Недавно мы объявляли конкурс новых авторов Ёжика, и сегодня мы рады представить вам работу нашего первого конкурсанта, Сергея Постникова. Поддержите коллегу своими реакциями и комментариями. Тема, которую он здесь затрагивает — действительно очень важная!
-------------------------------------------------------------------------
Очередной май. Очередной этап: студенты технического университета закончили двухлетний курс высшей математики. Очередные благодарности от восторженных учеников. И очередное разочарование… И чувство, что ты – немного Мюнхгаузен. - Чем ты недоволен? Мало часов? - Нет! - Слабая школьная подготовка? - Не то! - Претензии специальных кафедр? - Неважно! - Структура программы, Карл! Тебе не нравится структура! - Вот! Из года в год, и не одно десятилетие: линейная алгебра, аналитическая геометрия, пределы, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, дифуры, ряды, комплексный анализ, теория вероятностей и матстатистика. Кусочки мозаики, которые не складываются в одну картину. Вчерашние школьники мучают метод Гаусса решения систем уравнений, совершенно не понимая, за что им такие муки и воспринимая матрицу просто как таблицу чисел. Даже если ведётся разговор о линейных преобразованиях, всё равно остаётся неясным когда и зачем они нужны. А в это время на физике уже дифференциальные уравнения, графики, функции… До которых на математике мы дойдём совсем нескоро. Да и когда дойдём, посмотрим только простейшие типы уравнений и основные методы интегрирования. Потому что ещё нужно рассказать про ТФКП, теорию вероятностей и – да! – исследовать ряды на сходимость. Как сказал однажды в сердцах один мой студент: «Да мне вообще поровну, сходится этот ряд или нет!» И все наши аргументы типа «это вам потом понадобится» или «для тренировки ума» – просто нелепое оправдание нашего бессилия перед Программой. Сюда же ещё накладываются и другие проблемы. Да, и часов маловато, и подготовка хромает, и специальные кафедры… зачастую справедливо… И как результат – даже для лучших студентов такая красивая наука как математика остаётся мёртвым набором несвязанных между собой разделов. Попытки что-то поменять наталкиваются на стену всяких «всегда так было», «так все делают», «они все это должны знать» и прочего. Один раз, когда мне позволяло высокое административное положение, я таки сделал по-своему, построив программу следующим образом: 1. Типовые функции, их свойства и графики. 2. Пределы (понятие) – производная – пределы (вычисление). 3. Исследование фунекций. 4. Ряды (Тейлора и Маклорена). 5. Интегрирование и приложения. 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Включая вопросы линеаризации и устойчивости. Здесь во всей своей красоте и включается линейная алгебра. 7. Математическое моделирование – описание окружающего мира на языке дифференциальных уравнений. 8. Переход в процессе моделирования к функциям нескольких переменных и элементам векторного анализа. 9. Уравнения в частных производных: постановка и решение типовых задач. Первый блин, честно признаться, оказался несколько недопечён. Мы со студентами настолько увлеклись матмоделированием (кстати, кафедра физики была безмерно благодарна), что на уравнения математической физики просто не хватило времени. Но даже в этом случае результаты меня порадовали: ребятишки понимали, как работать с тем инструментом, который я им дал в руки и находили ему всё новое и новое применение. Тогда же я узнал, что похожей структуры придерживались Фихтенгольц и Зельдович («о! я-то вовсе не дурак!»), что послужило дополнительным стимулом к дальнейшему совершенствованию. Но… ни второго, ни третьего раза в силу жизненных обстоятельств не случилось. В итоге – очередной май. И очередное разочарование. Поскольку очередная же попытка формально соблюсти программу, но фактически научить живой математике оказалась неудачной… Может, что посоветуете?..
#предложка_ёжика
#ёжик_дискутирует